PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I

variation exacte ; ce qui donne les équations suivantes aux différences

partielles

d.pP d.pQ d.pV d.pR ().pQ d.pR

d'où l'on tire

dz dz ^ df dy ~^ dx ôx

Cette équation exprime la relation qui doit exister entre les forces P, Q, R, pour que l'équilibre soit possible.

Si le fluide est libre à sa surface ou dans quelques parties de cette surface, la valeur de/? sera nulle dans ces parties; on aura donc ^jo = o, pourvu que l'on assujettisse les variations ^œ, Sy, Sz à appartenir à cette surface; ainsi, en remplissant ces conditions, on aura

o = Pôa;H-Qar+RÔ2.

Soit ^u -- o l'équation différentielle de la surface ; on aura

Vèx ^- Q^j-i- Raz :rr I8u,

\ étant une fonction de x, y, z; d'où il suit, par le n° 3, que la résultante des forces P, Q, R doit être perpendiculaire aux parties de la surface dans lesquelles le fluide est libre.

Supposons que la variation P S^ -h Q ^y -F- R ^z soit exacte, ce qui a lieu, par le n*^ 2, lorsque les forces P, Q, R sont le résultat de forces attractives. Nommons alors ^9 cette variation : on aura S/? = p(î<p; p doit donc être fonction de p et de <p, et, comme en intégrant cette équation différentielle on a 9 en fonction de /?, on aura p en fonction de p. La pression p est donc la même pour toutes les molécules dont la densité est la même; ainsi S/? est nul relativement aux surfaces des couches de la masse fluide, dans lesquelles la densité est constante, et l'on a, par rapport à ces surfaces.

Il suit de là que la résultante des forces qui animent chaque molécule

fluide est, dans l'état d'équilibre, perpendiculaire à la surface de ces couches, que l'on a nommées pour cela couches de niveau. Cette condition est toujours remplie si le fluide est homogène et incompressible, puisque alors les couches auxquelles cette résultante est perpendiculaire sont toutes de même densité.

Pour l'équilibre d'une masse fluide homogène dont la surface extérieure est libre, et qui recouvre un noyau solide fixe et de figure quelconque, il est donc nécessaire et il suffit : i** que la diff'érentielle P ^ -h Q Sj H- R Sjs soit exacte; 2° que la résultante des forces à la surface extérieure soit dirigée vers cette surface et lui soit perpendiculaire.