PREMIERE PARTIE. - LIVRE I

autres, la fonction lfm{Pdoo + Qdy-^ IXdz) est une intégrale exacte. En effet, les parties de cette fonction, relatives aux forces attractives dirigées vers des points fixes, sont, par le n° 8, des intégrales exactes. Cela est également vrai par rapport aux parties qui dépendent des attractions mutuelles des corps du système; car, si l'on nomme/ la distance de m à m', et m'¥ l'attraction de m' sur m, la partie de m[Vdx -\- Qdy-\-Rdz), relative à l'attraction de m' sur m, sera, par le numéro cité, égale à —mm'¥d/, la différence df étant prise en ne faisant varier que les coordonnées ^, y, z. Mais, la réaction étant égale et contraire à l'action, la partie de m! (Vdx' -h Q^dy' -t- '^dz'), relative à l'attraction de m sur m\ est égale à — mm'Ydf, en ne faisant varier, dans/, que les coordonnées x' , y', z' -, la partie de la fonction lm(V dx + (^dy -\-^dz) , relative à l'attraction réciproque de m et de nï , est donc — mm'Ydf, tout étant supposé varier dans/ Cette quantité est une différence exacte lorsque F est une fonction de / ou lorsque l'attraction est comme une fonction de la distance, ainsi que nous le supposerons toujours; la fonction ^m[Vdx + Qdy -\-^dz) est donc une différence exacte, toutes les fois que les forces qui agissent sur les corps du système sont le résultat de leur attraction mutuelle, ou de forces attractives dirigées vers des points fixes. Soit alors d<^ cette différence, et nommons v la vitesse de m, V celle de m', etc. ; on aura

(R) ^mi'S =: c -f- 2Cp.

Cette équation est analogue à l'équation {g) du n*' 8; elle est la traduction analytique du principe de la conservation Aes forces vives. On nomme force vive d'un corps le produit de sa masse par le carré de sa vitesse. Le principe dont il s'agit consiste en ce que la somme des forces vives, ou la force vive totale du système, est constante, si le système n'est sollicité par aucune force; et, si les corps sont sollicités par des forces quelconques, la somme des accroissements de la force vive totale est la même, quelles que soient les courbes décrites par chacun de ces corps, pourvu quêteurs points de départ et d'arrivée soient les mêmes. Ce principe n'a lieu que dans les cas où les mouvements des corps

changent par des nuances insensibles. Si ces mouvements éprouvent des changements brusques, la force vive est diminuée d'une quantité que l'on déterminera de cette manière. L'analyse qui nous a conduits à l'équation (P) du numéro précédent donne alors, au lieu de cette équation, la suivante

-^-TT' -^TTT et A j^ étant les différences àe —•> 4t ^i ^ d'un instant dt dt dt dt dt dt

à l'autre, différences qui deviennent finies lorsque les mouvements des

corps reçoivent des altérations finies dans un instant. On peut supposer

dans cette équation

èx^=dx -t- \ dx, df=zdf-\- à dy, èz r=: dz ■+■ \ dz,

parce que, les valeurs de dx, dy, dz se changeant, dans l'instant suivant, dans dx -+- \dx, dy-h AcÇy, dz -h ^dz, ces valeurs de ^x, fy, '^z satisfont aux conditions de la liaison des parties du système ; on aura ainsi

dt/^ dt) dl\ ^dz)'].

Cette équation doit être intégrée comme une équation aux différences finies relative au temps t, dont les variations sont infiniment petites, ainsi que les variations de x, y, z, x\ . . . . Désignons par 2, les intégrales finies résultant de cette intégration, pour les distinguer des intégrales finies précédentes, relatives à l'ensemble des corps du système. L'intégrale de mV[dx -ir ù^dx) est visiblement la même que fmVdx; on aura donc

eo„s..=..^i±|-:^...,..4(.^^)V(.|:)'.(4)"]

~2lfm[Vdx + Qdy-}-Kdz].

r/dx

. dx\ . dx

^ \dt

.dr\

K^y '■^dt

dx-\-Adx]

3(rfr+

Ady)+:

K[dz

En désignant donc par ç, v\ r", ... les vitesses de m, m', m",..., on aura

.™.=co„s..^.,..4(.^)v(a|)v(4)^]

-h22/m(P</x-f-Qc?/ + Rc?z). . •

La quantité renfermée sous le signe 2, étant nécessairement positive, on voit que la force vive du système diminue par l'action mutuelle des corps, toutes les fois que, durant le mouvement, quelques-unes des va-

(13C dy* m • rw\

nations ^-rri A -—■>-- sont finies. L'équation précédente offre de plus

un moyen fort simple d'avoir cette diminution.

A chaque variation brusque du mouvement du système, on peut concevoir la vitesse de m décomposée en deux autres, l'une i^ qui subsiste dans l'instant suivant, l'autre V détruite par l'action des autres corps;

or la vitesse de m étant — — ~~zn avant cette décomposition,

et se changeant, après, dans

\^/[dx-ir Adx)- + {dy-{- Adr]^ -+- [dz + Ac?z)- ~~dt ' '

il est facile de voir que l'on a

l'équation précédente peut donc être mise sous cette forme : 2m(;2 = consl. — 2, .^mV^ + al/m (Pc?^ + Q </j + R</z). 20. Si dans l'équation (P) du n** 18 on suppose

àx"=: èx + ôv; , èx"= ^r -^ Yt » ^^"= ^^ + ^A »

en substituant ces variations dans les expressions des variations ^, y\ y", . . . des distances mutuelles des corps du système, dont on a donné

les valeurs dans le n° 15, on voit que les variations S^r, ^j, ^z disparaissent de ces expressions. Si le système est libre, c'est-à-dire, si aucune de ses parties n'a de liaison avec les corps étrangers, les conditions relatives à la liaison mutuelle des corps ne dépendant que de leurs distances mutuelles, les variations Sa?, ^y, ^z seront indépendantes de ces conditions ; d'où il suit qu'en substituant, au lieu de ^x', ^y\ Sz', Sa?",..., leurs valeurs précédentes dans l'équation (P), on doit égaler séparément à zéro les coefficients des variations ^œ, ^y, Iz ; ce qui donne les trois équations

Supposons que X, Y, Z soient les trois coordonnées du centre de gravité du système; on aura, par le n° 15,

partant

le centre de gravité du système se meut donc comme si, tous les corps m, m',... étant réunis à ce centre, on lui appliquait toutes les forces qui sollicitent le système.

Si le système n'est soumis qu'à l'action mutuelle des corps qui le composent et à leurs attractions réciproques, on aura

o = 2 mP, o t:.z 2 mQ, o 2 m R ;

car, en exprimant par/? l'action réciproque de m et de m\ quelle que soit sa nature, et désignant par/ la distance mutuelle de ces deux corps, on aura, en vertu de cette action seule,

^p^£(£-^^ „Q,^Kr-r:), „R=£(ipi:),

Imz 2/n '

d^Y ImQ

~ dt^ 2 m '

''=' dt^ -

2mR