Si l'on fait

àx.,

X"àx

» —xix - 5, , —x'$x . , . ,, —x"8x - ,,

la variation tx disparaît encore des expressions de ^/, y, y", ... ; en

supposant donc le système libre, les conditions relatives à la liaison des parties du système n'influant que sur les variations ^/, y, . . . , la variation ^x en est indépendante, et elle est arbitraire; ainsi, en substituant dans l'équation (P) du n"* 18, au lieu de ^x\ ^x", ..., ly, ^y\ ^j", . . . , leurs valeurs précédentes, on doit égaler séparément à zéro le coefficient de ^x, ce qui donne

o = lm -^ i-2/n(Pj — Qar),

d'où l'on tire, en intégrant par rapport au temps t,

c étant une constante arbitraire.

On peut, dans cette intégrale, changer les coordonnées y, y'. • • • dans z, z\..., pourvu que l'on y substitue, au lieu des forces Q, Q', . . ., parallèles à l'axe des y, les forces R, R', . . . , parallèles à l'axe des z, ce qui donne

c' = Iém -j- \-I,fm{Pz—Ra:]dtf

c' étant une nouvelle arbitraire. On aura de la même manière

c" étant une troisième arbitraire.

Supposons que les corps du système ne soient soumis qu'à leur action mutuelle et à une force dirigée vers l'origine des coordonnées. Si l'on nomme, comme ci-dessus, p l'action réciproque de m et de m', on aura, en vertu de cette action seule,

o = m{Vx — Qx)-hm'[V'y' — Q'x');

ainsi l'action mutuelle des corps disparaît de l'intégrale finie lm{Vy — Qx). Soit S la force qui sollicite m vers l'origine des coor-

données; on aura, en vertu de cette force seule,

la force S disparaît donc de l'expression de Vy — Qœ; ainsi, dans le cas où les différents corps du système ne sont sollicités que par leur action et leur attraction mutuelle et par des forces dirigées vers l'origine des coordonnées, on a

,„. ^ xdr—rdx , „ xdz — zdx ,, „ y^dz — zdr

Z c— Zm — - — ï ■) c -- 1 m j > c z^lni- r '—•

' dt dt dt

Si l'on projette le corps m sur le plan des x et des y, la différentielle

— sera l'aire que trace, durant l'instant dt, le ravon vecteur

mené de l'origine des coordonnées à la projection de m; la somme de ces aires, multipliées respectivement par les masses de ces corps, est donc proportionnelle à l'élément du temps; d'où il suit que, dans un temps fini, elle est proportionnelle au temps. C'est en cela que consiste le principe de la conservation des aires.

Le plan fixe des x et des y étant arbitraire, ce principe a lieu pour un plan quelconque, et, si la force S est nulle, c'est-à-dire, si les corps ne sont assujettis qu'à leur action et à leur attraction mutuelle, l'origine des coordonnées est arbitraire, et l'on peut placer à volonté le point fixe. Enfin il est facile de voir, par ce qui précède, que ce principe subsiste dans le cas même où, par l'action mutuelle des corps du système, il survient des changements brus(|ues dans leurs mouvements.

Il existe un plan par rapport auquel c' et c" sont nuls, et qu'il est» par cette raison, intéressant de connaître; car il est visible que l'égalité de c' et de c" à zéro doit apporter de grandes simplifications dans la recherche du mouvement d'un système de corps. Pour déterminer ce plan, il est nécessaire de rapporter les coordonnées a?, j, z à trois autres axes ayant la même origine que les précédents. Soient donc 8 l'inclinaison du plan cherché, formé par deux de ces nouveaux axes, au plan

OEmres de L. ~ l. g

des œ et des r, et ^ l'angle que forme l'axe des x avec l'intersection de

ces deux plans, en sorte que - — 6 soit l'inclinaison du troisième axe

nouveau sur le plan des x et des y, et que ^ soit l'angle que sa

projection sur le même plan fait avec l'axe des œ, - étant la demi-circonférence.

Pour fixer les idées, imaginons que l'origine des coordonnées soit au centre de la Terre, que le plan des x et des j soit celui de l'écliptique, et que l'axe des z soit la ligne menée du centre de la Terre au pôle boréal de l'écliptique; concevons, de plus, que le plan cherché soit celui de l'équateur, et que le troisième axe nouveau soit l'axe de rotation de la Terre, dirigé vers le pôle boréal; 0 sera l'obliquité de l'écliptique, et <]/ sera la longitude de l'axe fixe des x, relativement à l'équinoxe mobile du printemps. Les deux premiers axes nouveaux seront dans le plan de l'équateur, et, en nommant 9 la distance angulaire du premier de ces axes à cet équinoxe, .9 représentera la rotation de la Terre,

comptée du même équinoxe , et - + o sera la distance angulaire du

second de ces axes au même équinoxe. Nous nommerons axes principaux ces trois nouveaux axes. Cela posé :

Soient x^, /,, z les coordonnées de m rapportées : i** à la ligne menée de l'origine des coordonnées à l'équinoxe du printemps, les x^ positifs étant pris du côté de cet équinoxe; 2° à la projection du troisième axe principal sur le plan des x et des y; 3° à l'axe des z ; on aura

X—-X, COS41 -1-j, sinil, y -^ y, cos^]/ — x, sin 4^, z ~z,.

Soient a:, , y, , z^^ les coordonnées rapportées : i** à la ligne de l'équinoxe du printemps; 2** à la perpendiculaire à cette ligne dans le plan de l'équateur; 3° au troisième axe principal; on aura

^/ ~ ^u ' Ti ~ Tn cos 5 -+- ^„ sin 9, r, = r„ ces d — y„ sin B.

Enfin, soient o?^,,. y„, z^, les coordonnées de m rapportées au premier, au second et au troisième axe principal ; on aura

X., — x„ COS9 - 7„. sin 9, y„ = y,„ COS9 H- x,„ sin 9, z„ = z,„.