LIVRE I
x--^x„.(cos6 sirn]; sin9 -+- cos4' coscp) h-j^„,(cos6 sirn]; coscp — cos'j' sincp) -^ z,„ sin0 sirn|>, y-^ x,,.'cosO cos']) sintp— sin^» coscp) -;-j„,(cos0 cos^j; coscp h- sinij' sintp) -(-z„, sinôcosij^, z = z„ ces 9 — j,., sin 0 cos 9 — ^„, sin 6 sin 9.
En multipliant ces valeurs de x, y, z respectivement par les coefficients de 00^,, dans ces valeurs, on aura, en les ajoutant,
a:„^ r j; (cos 6 sin 4* sincp-i- cos 4* coscp) -\-x{cos6 cosc|> sin cp — sine]; coscp) — z sin0sincp.
En multipliant pareillement les valeurs de œ, j, z respectivement par les coefficients de j,„ dans ces valeurs, et ensuite par les coefficients de z„, on aura
y,,^z^x{cos9 sin^ coscp — cos 4^ sin 9) ^-/(cosôcos^ coscp -1- sin 4» sin 9) — z sin6cos9, z,„ = X sin 6 sin 4 -^- jsinô 0054" -1- z cos 5.
Ces diverses transformations des coordonnées nous seront très -utiles dans la suite. En marquant d'un trait en haut, de deux traits, etc. les coordonnées x, y, z, a?,,,, y^^,, s^,, on aura les coordonnées correspondantes aux corps rrî , m", ....
De là, en substituant c, c\ c" au lieu de
xdr — ydx „ xdz — z dx „ ydz — zdr
dt
il est facile de conclure
2 m -'^'-JjL^^JJi — i" .= c cos 0 — c' sin 0 cos 4^ -' c" sin ô sin 4^ ,
2 m —"L—.'H- — E — 'Ji — c sin 0 cos 9 -f - c' ( sin 4» sin 9 -\- cos Q cos 4* cos 9 ) + c"(cos4 sin 9 - cosôsin4'COS9),
— csin0sin9 h- c'{sin4'C0S9 — cos 0 cos 4» sin 9] +- c"(cos4'COS9 + cos0sin4'sin9).
dt
Si Ton détermine ^J; et ô de manière que l'on ait
sin 5 sin 4> — sin^cos^^ - -^=
\C'^ -\- C'- -\- c"' yC-
ce qui donne
on aura
cosQ
sjc-^
^mdrM,~rmdx„,
at *
dt ~ '
les valeurs de c et de c" sont donc nulles par rapport au plan des a?^, et des j;, déterminé de cette manière. Il n'existe qu'un seul plan qui jouisse de cette propriété ; car, en supposant qu'il soit celui des x et des y, on aura
1 m -^^ '^'" ~ ^'"' '^''"' r. c sin e cosy,
2 m-" ^"^Z^** "^"^ ~ — csinôsiny.
En égalant ces deux fonctions à zéro, on aura sin8 = o, c'est-à-dire que le plan des x^ et des y^ coïncide alors avec celui des x et des y.
La valeur de ^m^-——~~—^ étant égale à V^-* -i- c"^ h- c"^ , quel
que soit le plan des x et des j, il en résulte que la quantité c- + c"^ h- c'"* est la même, quel que soit ce plan, et que le plan des a;^„ et des j,,, déterminé par ce qui précède, est celui relativement auquel la fonction
';^jYi-!Ë-Jjs^ ij'. — » est le plus grande; le plan dont il s'agit jouit donc
de ces propriétés remarquables, savoir ; i° que la somme des aires tracées par les projections des rayons vecteurs des corps, et multipliées respectivement par leurs masses, y est le plus grande possible; 2° que la même somme, relativement à un plan quelconque qui lui est per-
