LIVRE I
Les coordonnées x, y, z sont fonctions des coordonnées primitives et du temps /; soient a, b, c ces coordonnées primitives; on aura
- dx ^ dx -,
aa 00
da
dy db
- - de,
^r=Làa-^^èb-i-~^^~dc,
- dz ^ dz ^, dz .
ôz --- -,- àa + -r â6 H- -r- àe.
da ob oc
En substituant ces valeurs dans l'équation (F), on pourra égaler séparément à zéro les coefficients de ^a, Ib, le, ce qui donnera trois équations à différences partielles entre les trois coordonnées œ, y, z de la molécule, ses coordonnées primitives a, b, c, et le temps t.
Il nous reste à remplir les conditions de la continuité du fluide. Pour cela, considérons à l'origine du mouvement un parallélépipède fluide rectangle, dont les trois dimensions soient da, db, de. En désignant par (p) la densité primitive de cette molécule, sa masse sera (p)dadbdc. Nommons (A) ce parallélépipède : il est aisé de voir qu'après le temps t il se changera dans un parallélépipède obliquangle; car toutes les molécules situées primitivement sur une face quelconque du parallélépipède (A) seront encore dans un même plan, du moins en négligeant les infiniment petits du second ordre : toutes les molécules situées sur les arêtes parallèles de (A) se trouveront sur de petites droites égales et parallèles entre elles. Nommons (B) ce nouveau parallélépipède, et concevons que par les extrémités de l'arête formée par les molécules qui, dans le parallélépipède (A), composaient l'arête de, on mène deux plans parallèles à celui des oo et des j. En prolongeant les arêtes de (B) jusqu'à la rencontre de ces deux plans, on aura un nouveau parallélépipède (G), compris entre eux et égal à (B); car il est clair qu'autant l'un des deux plans retranche du parallélépipède (B), autant l'autre lui ajoute. Le parallélépipède (G) aura ses deux bases parallèles au plan des X et des y : sa hauteur comprise entre ses bases sera évidemment
égale à la différence de z, prise en n'y faisant varier que c; ce qui donne -^ de pour cette hauteur.
On aura sa base, en observant qu'elle est égale à la section de (B)
par un plan parallèle à celui des x et des y, nommons (s) cette section.
Par rapport aux molécules dont elle sera formée, la valeur de z sera la
même, et l'on aura
dz , dz „ dz , o ^= -;— da-r vr db f -r de.
da db de
Soient S/? et ^q deux côtés contigus de la section (s), dont le premier soit formé par des molécules de la face dbdc du parallélépipède ■ A), et dont le second soit formé par des molécules de sa face dadc. Si par les extrémités du côté ^p on imagine deux droites parallèles à l'axe des X, et que l'on prolonge le côté du parallélogramme 3), parallèle à ^p, jusqu'à la rencontre de ces droites, elles intercepteront entre elles un nouveau parallélogramme {\) égal à (s), et dont la base sera parallèle à l'axe des x. Le côté ^p étant formé par des molécules de la face dbdc, relativement auxquelles la valeur de z est la même, il est aisé de voir que la hauteur du parallélogramme [\) est la différence de y, en supposant a, z ti t constants, ce qui donne
dz „ dz j D =:= -T-,- Éf 0 -h :r- de, db de
d'où l'on tire
dy dz dy dz
j db de de db ,
de
c'est l'expression de la hauteur du parallélogramme (1). Sa base est égale à la section de ce parallélogramme par un plan parallèle à l'axe des x\ cette section est formée par des molécules du parallélépipède (A) par rapport auxquelles z ei y sont constants; sa longueur est
donc égale à la différentielle de x, prise en supposant z, y et t constants, ce qui donne les trois équations
ax =z -r- aa -h -rr- do oa 00
da
da
dx ôb
db
dx te
de, de,
dz j ôz „ dz j o=-T— a«-f--r7-ao + -— de.
oa ôb de
Soit, pour abréger,
dx df dz dx dy dz dx dj dz dx dy dz dx df dz dx dy dz
da db de da de db db de da db da de de da db de db da '
eda
dy dz db de
dy dz 'de db
c'est l'expression de la base du parallélogramme (X); la surface de ce parallélogramme sera donc — ^ Cette quantité exprime encore la
de
dz
surface du parallélogramme (e); en la multipliant par y-cfc, on aura
^dadbdc pour le volume des parallélépipèdes (C) et (B). Soit p la densité du parallélépipède (A) après le temps t; on aura ^^dadbdc pour sa masse; en l'égalant à sa masse primitive (^)dadbdc, on aura
pour l'équation relative à la continuité du fluide.
33. On peut donner aux équations (F) et (G) une autre forme d'un usage plus commode dans quelques circonstances. Soient u, ç et w les vitesses d'une molécule fluide, parallèlement aux axes des a?, des jet des z; on aura
dx dr
â7=="' df = ''
dz^ dt
= tv.
OEuvres de L.
Différentions ces équations, en regardant u,vetw comme fonctions des coordonnées x, y, z de la molécule, et du temps t-, nous aurons
d^x df^
du du dl dx
du du
■+- V-. hiV-T-j
djr dz
df'
dv dv dt dx
dv dv dy dz
d'-z df^
dw dw dt dx
dw dw
■+- P-r HW-T—
dy dz
L'équation (F) du numéro précédent deviendra ainsi
'E=èx P
(du du du du^ \dt dx dy dz ^
+ ày
(dv dv dv dv \dt dx dy dz
+ èz
( dw dw dw dw \dt dx dy dz
Pour avoir l'équation relative à la continuité du fluide, concevons que, dans la valeur de ê du numéro précédent, a, b, c soient égaux à x, y, z, et que Xj y, z soient égaux di x -\-udt, y + vdty z -\-wdt, ce qui revient à prendre les coordonnées primitives a, b, c infiniment près de
X, y, z\ on aura
« , (au dv^ dw\
~ \dx dy dz } "*
l'équation (G) devient
,Jdu dv dw\ . ,
Si l'on considère p comme fonction de Xj j, z et de /, on a
^^' ^ dt dx dy dz *
l'équation précédente se change ainsi dans la suivante
,ir\ àp à. pu d.pv d.pw
dt dx dy Oz '
