PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I

c'est l'équation relative à la continuité du fluide, et il est aisé de voir qu'elle est la différentielle de l'équation (G) du numéro précédent, prise par rapport au temps t.

L'équation (H) est susceptible d'intégration dans un cas fort étendu, savoir, lorsque u%x + vty -+- w'^z est une variation exacte de x, y, z\ P étant d'ailleurs une fonction quelconque de la pression p. Soit alors ^9 cette variation; l'équation (H) donne

ÔV

'dt

d'où l'on tire, en intégrant par rapport à S,

J p dt 2.\\dx

d9^2 dz

Il faudrait ajouter à cette intégrale une constante arbitraire, fonction de t; mais cette constante peut être censée renfermée dans la fonction cp. Cette dernière fonction donne la vitesse des molécules fluides, parallèlement aux axes des a?, des y et des z ; car on a

dcp

ày

dx dy dz

L'équation (K) relative à la continuité du fluide devient

dt dx dx dy dy

dp dy ^ /d^-<f dz dz ^\d^2

d^ ày'^

dz-^

ainsi Ton a relativement aux fluides homogènes

d^ dx-^

ày'^

dz'^

On peut observer que la fonction utx ^ v'hy -\- w%z est une variation exacte de x, y, z sl tous les instants, si elle l'est à un seul histant. Supposons, en eff'et, qu'à un instant quelconque elle soit égale à Sy; dans l'instant suivant, elle sera

- j l'du ^ dv ^ dw . \

elle sera donc encore, à ce nouvel instant, une variation exacte, si -r-Sa? H- jrfy + ^^^ ^^^ ^"^ variation exacte au premier instant; or l'équation (H) donne à cet instant

>-pr^'i^^^-^--f-m)H^ï-{m-'

le premier membre de cette équation est par conséquent une variation exacte en œ, y, z; ainsi la fonction u'^ac -}- v^y -}- w^z est une variation exacte dans l'instant suivant, si elle l'est dans un instant; elle est donc alors une variation exacte à tous les instants.

Lorsque les mouvements sont très-petits, on peut négliger les carrés et les produits deu,vetw; l'équation (H) devient alors

-„ 8p du , dv . div . p dt dt -^ dt

ainsi, dans ce cas, u^x + v'^y -{- w'^z est une variation exacte, si, comme nous le supposons,/? est fonction de p; en nommant donc encore S(p cette différence, on aura

ô/> ddf

et, si le fluide est homogène, l'équation de continuité deviendra

()2m d'^O d^CÛ

âx^ ây^ ôz-*

Ces deux équations renferment toute la théorie des ondulations trèspetites des fluides homogènes.

34. Considérons une masse fluide homogène douée d'un mouvement uniforme de rotation autour de l'axe des x. Soit n la vitesse angulaire de rotation, à une distance de l'axe que nous prendrons pour unité de distance; on aura ç ~ — nz^ w = ny; l'équation (H) du numéro précédent deviendra ainsi

^ =è\-hn^{y$y-\-zdz).