PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I

équation possible, puisque ses deux membres sont des différences exactes. L'équation (K) du même numéro deviendra

o-~dt-~- 4- udt -r- + vdt~ •- wdt—--, ot ox ay oz

et il est visible que cette équation est satisfaite, si la masse fluide est homogène. Les équations du mouvement des fluides sont donc alors satisfaites, et par conséquent ce mouvement est possible.

La force centrifuge à la distance \Jy^ -- z'^ de l'axe de rotation est égale au carré n'^{y^ -i- z"^) de la vitesse, divisé par cette distance; la fonction n^iy^y -^ z^z) est donc le produit de la force centrifuge par l'élément de sa direction; ainsi, en comparant l'équation précédente du mouvement du fluide avec l'équation générale de l'équilibre des fluides, donnée dans le n° 17, on voit que les conditions du mouvement dont il s'agit se réduisent à celles de l'équilibre d'une masse fluide, sollicitée par les mêmes forces et par la force centrifuge due au mouvement de rotation, ce qui est visible d'ailleurs.

Si la surface extérieure de la masse fluide est libre, on aura Sjo= o à cette surface, et par conséquent

d'où il suit que la résultante de toutes les forces qui animent chaque molécule de la surface extérieure doit être perpendiculaire à cette surface; elle doit être, de plus, dirigée vers l'intérieur de la masse fluide. Ces conditions étant remplies, une masse fluide homogène sera en équilibre, en supposant même qu'elle recouvre un solide de figure quelconque.

Le cas que nous venons d'examiner est un de ceux dans lesquels la variation u^x ■+■ vfy [- w^z n'est pas exacte; car alors cette variation devient — n{z^y —y^z); ainsi, dans la théorie du flux et du reflux de la mer, on ne peut pas supposer que la variation dont il s'agit est exacte, puisqu'elle ne l'est pas dans le cas très-simple où la mer n'au-

rait d'autre mouvement que celui de rotation qui lui est commun avec la Terre.

35. Déterminons, maintenant, les oscillations d'une masse fluide recouvrant un sphéroïde doué d'un mouvement de rotation nt autour de l'axe des x, et supposons-la très-peu dérangée de l'état d'équilibre, par l'action de forces très-petites. Soit, à l'origine du mouvement, r la distance d'une molécule fluide au centre de gravité du sphéroïde qu'elle recouvre, et que nous supposerons immobile; soit 6 l'angle que le rayon r forme avec l'axe des a?, et u l'angle que le plan qui passe par l'axe des X et par ce rayon forme avec le plan des x et des y. Supposons qu'après le temps t le rayon r se change dans r + a*, que l'angle 6 se change dans G + aw, et que l'angle vs se change dans 7iZH-u4-ar, a^, aw et aç^ étant de très-petites quantités dont nous négligerons les carrés et les produits; on aura

a;= (r-f- a5)cos(0 4-aM),

/= (r-i- eus) sin(0 -+- aM)cos(w/-hGJ-+- av),

z =-[r-\- cLs) sin(0 + aw) sin{nf H- nT + at').

Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (F) du n^ 32, on aura, en négligeant le carré de a,

(xr^hQ l 7)72 2nsmÔcos0-r-)

„^/.ar^^''<' ./, r.àu 2nsin!»0 ds\

\ dt^ dt r at )

= — ô[(r4-a«)sin(0 + «M)p + ÔV-^.

A la surface extérieure du fluide, on a Sp = o; on a de plus, dans l'état d'équilibre,

o = — Ô[(r4- a^) sin(ô -\- au)p -+- (ÔV),