PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I
on aura ainsi, en négligeant les quantités de l'ordre a^.
-, ds du dv
dr dd duy
Supposons qu'après le temps t la densité primitive (p) du fluide se change en (p) -i-ap'; l'équation précédente, relative à la continuité du fluide, donnera
âv MCOS(
dus sin 9
36. Appliquons ces résultats aux oscillations de la mer. Sa masse étant homogène, on a p'= o, et par conséquent
d.r^s ^ { du dv ucos9 ôr \dd dm smQ
Supposons, conformément à ce qui paraît avoir lieu dans la nature, la profondeur de la mer très-petite relativement au rayon r du sphéroïde terrestre; représentons -la par y, y étant une fonction très-petite de 6 et de cy, qui dépend de la loi de cette profondeur. Si l'on intègre l'équation précédente, par rapport à r, depuis la surface du solide que la mer recouvre jusqu'à la surface de la mer, on voit que la valeur de s sera égale à une fonction de 6, zj et t, indépendante de r, plus à une très-petite fonction qui sera, par rapport ku et kç, du même ordre de
petitesse que la fonction ^; or, à la surface du solide que la mer recouvre, lorsque les angles 9 etcr se changent dans ^-\-y.u et nt-hu-i-a.ç', il est aisé de voir que la distance d'une molécule d'eau, contiguë à cette surface, au centre de gravité de la Terre ne varie que d'une quantité très-petite par rapport à olu et ccç, et du même ordre que les produits de ces quantités par l'excentricité du sphéroïde recouvert par la mer : la fonction indépendante de r, qui entre dans l'expression de s, est donc très -petite du même ordre; ainsi l'on peut négliger généralement s vis-à-vis de u et de v. L'équation du mouvement de la mer à sa surface,
OEuvresde L. — l. l5
lU MÉCANIQUE CÉLESTE.
donnée dans le n° 35, devient par là
/•2Ô9 3-^-2nsin9cos0^ I \ dt- ot
\ H-r2Ô5j^sin20^ + 2nsm0cosô^W-g-â/+«5V'.
L'équation (L) du même numéro, relative à un point quelconque de l'intérieur de la masse du fluide, donne, dans l'état d'équilibre,
(?5V) et C^p) étant les valeurs de W et ^p qui, dans l'état d'équilibre, conviennent aux quantités r-+-ts, 6 -h km et ct + v.v. Supposons que, dans l'état de mouvement, on ait
ÔV=:(ÔV)+aaV', dp--=[dp)-hccèp'; l'équation (L) donnera
— 5-^ =-r— — 2nrsm2 9 — .
Or dt^ ot
L'équation (M) nous montre que /i-r- est du même ordre que y ou s,
et par conséquent de l'ordre ~-, la valeur du premier membre de cette
équation est donc du même ordre; ainsi, en multipliant cette valeur par dr, et en l'intégrant depuis la surface du sphéroïde que la mer recouvre jusqu'à la surface de la mer, on aura V— -^ égal à une fonction
très-petite, de l'ordre —•> plus à une fonction de 6, xs et t, indépendante de r, et que nous désignerons par X; en n'ayant donc égard, dans l'équation (L) du n° 35, qu'aux deux variables 6 et ct, elle se changera dans l'équation (M), avec la seule difl^érence que le second membre se changera dans t\. Mais, >. étant indépendant de la profondeur à laquelle se trouve la molécule d'eau que nous considérons, si l'on suppose cette
molécule très- voisine de la surface, l'équation (L) doit évidemment coïncider avec l'équation (M); on a donc Sx = SV— g'^y, et par conséquent
la valeur de W dans le second membre de cette équation étant relative à la surface de la mer. Nous verrons, dans la théorie du flux et du reflux de la mer, que cette valeur est à très-peu près la même pour toutes les molécules situées sur le même rayon terrestre, depuis la surface du solide que la mer recouvre jusqu'à la surface de la mer; on a donc, relativement à toutes ces molécules,
ce qui donne jo' égal à pgy, plus une fonction indépendante de 6, ct et r. Or, à la surface du niveau de la mer, la valeur de cep' est égale à la pression de la petite colonne d'eau aj qui s'élève au-dessus de cette surface, et cette pression est égale à ap^j; on a donc, dans tout l'intérieur de la masse fluide, depuis la surface du sphéroïde que la mer recouvre jusqu'à la surface du niveau de la mer, p'=pgy; ainsi un point quelconque de la surface du sphéroïde recouvert par la mer est plus pressé que dans l'état d'équilibre, de tout le poids de la petite colonne d'eau comprise entre la surface de la mer et la surface du niveau. Cet excès de pression devient négatif dans les points où la surface de la mer s'abaisse au-dessous de la surface du niveau.
Il suit de ce que nous venons de voir que, si l'on n'a égard qu'aux variations de 6 et de ct, l'équation (L) se change dans l'équation (M) pour toutes les molécules intérieures de la masse fluide. Les valeurs de u et de v, relatives à toutes les molécules de la mer situées sur le même rayon terrestre, sont donc déterminées par les mêmes équations différentielles; ainsi, en supposant, comme nous le ferons dans la théorie du flux et du reflux de la mer, qu'à l'origine du mouvement les valeurs de M, ^' ^» ;47 oiit été les mêmes pour toutes les molécules si-
tuées sur le même rayon, ces molécules resteront encore sur le même rayon durant les oscillations du fluide. Les valeurs de r, uetv peuvent donc être supposées les mêmes, à très-peu près, sur la petite partie du rayon terrestre comprise entre le solide que la mer recouvre et la surface de la mer; ainsi, en intégrant, par rapport à r, l'équation
dr
on aura
dm
ucos9\
sinô j'
du
dv
ucosO
de
din
sin9
, „ , „ /du dv ucos9\ ^ ' ' \dQ doj sinô /
(r^s) étant la valeur de r^* à la surface du sphéroïde recouvert par la mer. La fonction r^s — {r^s) est égale à très-peu près à /'-[^ — (*)] -'r2ry{s), {s) étant ce que devient * à la surface du sphéroïde; on peut négliger le terme 2ry{s), vu la petitesse de y et de (s); on aura ainsi
r-is-{r^s]--r^[s-{s)].
Maintenant, la profondeur de la mer, correspondante aux angles O-i-aM et nt + T3 -h af, est y -f- a [5 — [s)] : si l'on fixe l'origine des angles 0 et nt -r CT à un point et à un méridien fixes sur la surface de la Terre, ce qui est permis, comme on le verra bientôt, cette même profondeur
sera y -i- aM-r| -f- aç^-r^? plus l'élévation aj de la molécule fluide de la
surface de la mer au-dessus de sa surface de niveau; on aura donc
I \ dy dy
^ ' •' d9 dTs
L'équation relative à la continuité du fluide deviendra, par conséquent.
