DE LA LOI DE LA PESANTEUR UNIVERSELLE, TIRÉE DES PHÉNOMÈNES

1. Après avoir développé les lois du mouvement, nous allons, en partant de ces lois et de celles des mouvements célestes, présentées avec détail dans l'Ouvrage intitulé : Exposition du Système du Monde, nous élever à la loi générale de ces mouvements. Celui de tous les phénomènes qui semble le plus propre à la faire découvrir est le mouvement elliptique des planètes et des comètes autour du Soleil ; voyons ce qu'il donne sur cet objet. Pour cela, nommons ^ et j les coordonnées rectangles d'une planète, dans le plan de son orbite, et fixons leur origine au centre du Soleil; nommons, de plus, P et Q les forces dont cette planète est animée, dans son mouvement relatif autour du Soleil, parallèlement aux axes des x et des y, et supposons que ces forces tendent vers l'origine des coordonnées; enfin, soit dt l'élément du temps, que nous regarderons comme constant; on aura, par le Chapitre II du premier Livre,

Si l'on ajoute la première de ces équations, multipliée par --y, à la seconde, multipliée par ce, on aura

dhcdy — ydx)

dt^

xQ -yV.

Il est aisé de voir que xdy —ydx est le dduble de Taire que le rayon vecteur de la planète décrit autour du Soleil dans l'instant dt; cette aire est proportionnelle à l'élément du temps, suivant la première loi de Kepler, en sorte que l'on a

xdy — ydx --cdt,

c étant une constante; la différentielle du premier membre de cette équation est donc nulle, ce qui donne •

xQ — yP ^= o.

11 suit de là que les forces P et Q sont entre elles dans le rapport de œ à j, et qu'ainsi leur résultante passe par l'origine des coordonnées, c'est-à-dire par le centre du Soleil. D'ailleurs, la courbe décrite par la planète étant concave vers le Soleil, il est visible que la force qui la fait décrire tend vers cet astre.

La loi des aires proportionnelles aux temps employés à les décrire nous conduit donc à ce premier résultat remarquable, savoir, que la force qui sollicite les planètes et les comètes est dirigée vers le centre du Soleil.

2. Déterminons maintenant la loi suivant laquelle cette force agit à différentes distances de cet astre. Il est clair que, les planètes et les comètes s'approchant et s'éloignant alternativement du Soleil à chaque révolution, la nature du mouvement elliptique doit nous conduire à cette loi. Reprenons, dans cette vue, les équations différentielles (i) et (2) du numéro précédent. Si l'on ajoute la première, multipliée par dûc, à la seconde, multipliée par dy, on aura

dxd^x -h drd^r , „ ,

•' -^ ^y- Pdx -\~ Qdy,

df^