PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II
et, en intégrant.
dx- H- df-
dt-
-i-',f{Vdx + Qdr),
la constante arbitraire étant indiquée par le signe intégral. En substi-
'Y* f/y* y* (TJC
tuant, au lieu de dt, sa valeur — - — ■-— — -, donnée par la loi de la proportionnalité des aires aux temps, on aura
. c^-[dx^-hdy''^]
[xdy — fdx
4 + ?./(PJ^H-Qc?7).
Transformons, pour plus de simplicité, les coordonnées a? et j en rayon vecteur et en angle traversé, conformément aux usages astronomiques. Soit r le rayon mené du centre du Soleil à celui de la planète, ou son rayon vecteur; soit v l'angle qu'il forme avec l'axe des x', on aura
X ^= rco'iv, y'=^r?,\nv, r =: sj x'^ -\- y- ^
d'où l'on tire
dx- H- dy^ = r^dv- + dr-, xdy — ydx = r^ dv.
Si l'on désigne ensuite par «p la force principale qui anime la planète, on aura, par le numéro précédent.
C9 qui donne on aura donc
d'où l'on tire
P = <pcost', Q = cpsint^, 9 = v/P^H-Q^,
Vdx 4- Qdy^= (^dr; c-^ { r"- dv^ -^ dr^-
r^ dv'^
dv
cdr
r\J— c'^ — xr-Jd^dr
Cette équation donnera, au moyen des quadratures, la valeur de v en r, lorsque la force 9 sera connue en fonction de r; mais si, cette force
étant inconnue, la nature de la courbe qu'elle fait décrire est donnée, alors, en différentiant l'expression précédente de 2j(s^dr, on aura, pour déterminer 9, l'équation
, ,> c"^ c- r^ dv- '
(4) ^ = H-T-dr-
Les orbes des planètes sont des ellipses dont le centre du Soleil occupe un des foyers; or si, dans l'ellipse, on nomme ts l'angle que le grand axe fait avec l'axe des a?; si, de plus, on fixe au foyer l'origine des x, et que l'on désigne par a le demi-grand axe et par e le rapport de l'excentricité au demi-grand axe, on aura
i -4- ecosiv — GJ
équation qui devient celle d'une parabole, lorsque e = i et que a est infmi, et qui appartient à l'hyperbole, lorsque e surpasse l'unité et que a est négatif. Cette équation donne
dr^
r* dv^ ar[i — e''^) r'^ a-[i—e''^}
et par conséquent
ainsi, les orbites des planètes et des comètes étant des sections coniques, la force 9 est réciproque au carré de la distance du centre de ces astres à celui du Soleil.
On voit, de plus, que, si la force 9 est réciproque au carré de la distance ou exprimée par —1 h étant un coefficient constant, l'équation précédente des sections coniques satisfera à l'équation différentielle (4) entre r et v, que donne l'expression de 9, lorsqu'on y change 9 dans — •
On a alors h = — — , ce qui forme une équation de condition entre
les deux arbitraires a et e de l'équation aux sections coniques; les trois
