PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II. lU
qu'ici de les intégrer complètement que dans le seul cas où le système n'est composé que de deux corps. Dans les autres cas, on n'a pu obtenir qu'un petit nombre d'intégrales rigoureuses, que nous allons développer.
8. Pour cela, considérons d'abord les équations différentielles en x, x , x", ... ; en les ajoutant ensemble, et en observant que, par la nature de la fonction >^, on a
on aura
da; dx' dx"
o r=2ém—rir'
On aura pareillement
dt' dr-
Soient X, Y, Z les trois coordonnées du centre de gravité du système ; on aura, par la propriété de ce centre,
zm zm 2àm
on aura donc
""^-dt^' ""--W °-"rf^'
d'où l'on tire, en intégrant,
a, b, a, b', a", b" étant des constantes arbitraires. On voit par là que le mouvement du centre de gravité du système est rectiligne et uniforme, et qu'ainsi il n'est point altéré par l'action réciproque des corps du système ; ce qui est conforme à ce que nous avons vu dans le Chapitre V du premier Livre.
Reprenons les équations différentielles du mouvement de ces corps.
Si l'on multiplie les équations différentielles en y, y', y", . . . respectivement par œ, x\ x" , . . . , et qu'on les ajoute aux équations différentielles en X, x , x", . . ., multipliées respectivement par ~ y, —y', — y", . . ., on aura
xd-y — rd'^x ,x'd-r' — r'd-x'
dt^ dt-
~^^ dx~^^ ôx' ' ■■•
ày dy' '"'
mais la nature de la fonction 1 donne
""""^dx ' ^ dx' ^"' ^ dy ^dj'~"'*' on aura donc, en intégrant l'équation précédente,
^ xdr — ydx
c = Zm — - — r-^
dt
On trouvera semblablement
, „ xdz — zdx ,, rdz — zdr
c =zm -j- •> c' = 1 m , 1
dt dt
c, c\ c" étant des constantes arbitraires. Ces trois intégrales renferment le principe des aires, que nous avons exposé dans le Chapitre V du premier Livre.
Enfin, si l'on multiplie les équations différentielles en x, x\ x", . . . respectivement par dx, dx', dx", ... ; celles en y, y\ . . . respectivement par dy, dy', ... ; celles en z, z\. . . respectivement par dz, dz\ . . ., et qu'on les ajoute ensemble, on aura
, dxd^x -\- drd'^r-\- dzd^z ,.
et, en intégrant,
, - dx^ + c/r2 -1- dz^ . ^'=^'" ^5 ^^'
