Oeuvres D'Augustin ser 1 vol 2

Mémoires de r Académie des Sciences, t. III, p. xi; 1820 {Histoire de l'Académie).

Jusqu'à présent il n'est aucun Traité de Calcul intégral où l'on ait donné les moyens d'intégrer complètement les équations aux différences partielles du premier ordre, quel que soit le nombre des variables indépendantes. M'étant occupé il y a plusieurs mois de cet objet, je fus assez heureux pour obtenir une méthode générale propre à remplir le but désiré. Mais, après avoir terminé mon travail, j'ai appris que M. Pfaff, géomètre allemand, était parvenu, de son côté, aux intégrales des équations ci-dessus mentionnées. Gomme il s'agit ici d'une des questions les plus importantes du Galcul intégral, et que la méthode de M. Pfaff est différente de la mienne, j'ai pensé qu'une analyse abrégée de cette dernière pourrait intéresser les géomètres. En conséquence, je l'expose ici, en profitant, pour simplifier l'exposition, de quelques remarques faites par M. Goriolis, ingénieur des

(1) Note rédigée par l'auteur sur le dernier de ces deux Mémoires, 27 janvier 1818.

6 SUK L'INTÉGHATION D'UNE CLASSE PARTICULIÈRE

Ponts et Chaussées, et de quelques autres qui me sont depuis peu venues à l'esprit. Ainsi simplifiée, la méthode dont j'ai t'ait usage fournit, à ce qu'il me semble, la solution la plus simple que l'on puisse donner de la question proposée. On en jugera par les considérations suivantes.

Supposons, pour fixer les idées, que l'équation aux différences partielles proposée renferme, avec les trois variables indépendantes .r, j, z, une fonction inconnue // de ces trois variables, et les dérivées partielles p, g, r de la fonction u, par rapport à ces mêmes variables.

Pour que la valeur de u soit complètement déterminée, il ne suffira pas de savoir qu'elle doit vérifier l'équation donnée aux différences partielles. Il sera, de plus, nécessaire d'ajouter une condition; par exemple, d'assujettir la fonction u à recevoir, pour une valeur donnée Xa de la variable x, une certaine valeur, fonction des variables j et z. La fonction de j et de z, dont il est ici question, pouvant être choisie à volonté, est la seule fonction arbitraire que doive renfermer l'intégrale générale de l'équation aux différences partielles. Il est d'ailleurs facile, à l'aide des principes déjà connus, de ramener l'intégration de cette équation aux différences partielles, à l'intégration de cinq équations différentielles entre les six quantités

considérées comme fonctions d'une seule variable; et toute la difficulté se réduit à savoir ce que l'on doit faire des cinq constantes arbitraires introduites par l'intégration des cinq équations différentielles. Or, la méthode que je propose consiste à éviter l'introduction de ces constantes, ou plutôt à remplacer les constantes arbitraires par des valeurs particulières, attribuées aux inconnues y, z, u, g, r, et à intégrer les cinq équations différentielles, de manière que, pour x = Xç,, on ait r = Vo' - = ^0» w = "o' ^ = ^0' ^= ''oî Vp, 5„ désignant deux nouvelles variables, u„ une fonction arbitraire de ces mêmes variables, semblable à la fonction arbitraire de y et de z, qui représente la valeur