J) ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, ETC

de a pour x^=^x^^, et q^, i\^ les deux dérivées partielles de w„ relatives à j„ et à ^0- Si, entre les cinq équations intégrales ainsi obtenues, on élimine q et /■, il ne restera plus que trois formules, dont le système sera propre à représenter l'intégrale générale de l'équation aux différences partielles. Ces trois formules renfermeront les quantités variables x, j, z, u; la quantité constante x^^, les deux nouvelles variables Xo, s„, et la fonction arbitraire de ces nouvelles variables représentée par z/q, ainsi que ses dérivées du premier ordre relatives à r^ et à ^0- Ce n'est qu'après avoir fixé la fonction arbitraire dont il s'agit qu'on pourra, en éliminant les nouvelles variables y^, z^, obtenir l'équation finie qui détermine a en fonction de x, y, z.

Rien n'empêche de conserver dans le calcul, avec les quantités variables x,y, z, a, q, r, la quantité/?; si l'on observe d'ailleurs qu'on peut échanger entre elles, relativement aux rôles qu'elles jouent, les variables indépendantes x, y, z, on obtiendra, pour l'intégration générale d'une équation aux différences partielles à trois variables indépendantes, et même à un nombre quelconque de variables, la règle qui suit :

Substituez, par les moyens ordinaires, à l'équation aux différences partielles donnée, autant d'équations différentielles du premier ordre (moins une) qu'elle renferme de quantités variables, y compris les variables indépendantes, la fonction inconnue et ses dérivées partielles. Les variables indépendantes seront traitées symétriquement dans les équations différentielles dont l'une pourra être remplacée par l'équation aux différences partielles données.

Cela posé, intégrez les équations différentielles dont il s'agit, par rapport à toutes les variables qu'elles renferment, à partir de certaines limites que vous considérerez comme de nouvelles variables, assujetties aux mêmes relations que les premières. Regardez ensuite, dans les équations intégrales obtenues, l'une des nouvelles variables indépendantes, comme réduite à une quantité constante, et les autres comme devant être éliminées. Vous aurez un système de formules propres à représenter l'intégrale générale de l'équation aux différences

8 SUR LIISÏÉGRAÏION D'UNE CLASSE PARÏICULIÉKE, ETC.

partielles données. Ces formules ne renferment qu'une seule fonction arbitraire avec ses dérivées partielles du premier ordre, savoir la nouvelle variable qui correspond à la fonction inconnue, et que l'on doit considérer comme une fonction arbitraire de celles des nouvelles variables qui doivent être éliminées.

SUR

LA RÉSOLIJTIOiN ANALYTIQUE