LA FORMATION DIRECTE DES ÉQUATIONS

QUE PRODUIT L'ÉLLMINATION DES INCONNUES ENTRE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES DONNÉES (').

Mémoires- de l'Académie des Sciences, t. IX, p. io4; i83o.

Dans ce Mémoire, après avoir rappelé les formules que j'ai données dans le XIX*' Cahier du Journal de V École royale Polytechnique ('-), et qui servent à convertir en intégrales définies les sommes des fonctions semblables? des racines d'une équation quelconque, j'ai fait voir que le développement de ces intégrales en séries conduisait à plusieurs formules remarquables qui comprennent, comme cas particulier, la formule de Taylor et la série de Lagrange. Quelquefois les séries obtenues se composent d'un nombre fini de termes. Ainsi, par exemple, si l'on désigne par a une quantité constante, par m un nombre entier, par 9(^), f(ic) deux fonctions entières de x, dont la seconde soit d'un degré inférieur à m et par x^, x.,, ..., x,„ les racines de l'équation

(r) (.r — rt)'"— f(a:) =o,

(') Lu à TAcadémie royale des Sciences, le 9 août 1824. (2) OEuvrcsde Cnuclij, S. Il, T. I, p. 3o j.

OEuvres de C. — S. 1, t. II. 'O

n SUR QUELQUES SÉRIES ANALOGUES

on trouvera

mo{a)

da'"-'

da-'"-^

d^"'~^\^'{a)['î{a)Y da^"^-^

et il est clair que le terme général de la série comprise dans le second membre de l'équation (2), savoir

n 1.2.3 {nm — i)

da""^-''

s'évanouira, dès que le nombre nm — i deviendra supérieur au degré de la fonction 9'(a7)[f(,r)]".

Si l'on pose, en particulier,

j (.37— a)'" — {{x) —x- — 2/-^cos2^ -F r

= {x — r)- -{- \ra: s\n- z =1 {x -i- ry

-^rœ cos-^,

l'équation (2) donnera

,' (p[/-(cos2sH-v/— isin2s)J + o[r{cos>'2z — v/^siiia^)]

I dr 1.2.3 dr-^