EXTRAIT DU MÉMOIRE SUR L INTÉGRATION
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Enfin, on aura
= fjL\"l f f f ••■e'>-''^-^)^~^e^^y-''^^'^'. ..\/\Jf{u,v, . ..,t)dad[J.d&dv.
Cela posé, on satisfera évidemment à l'équation (7), en posant
dt
g (HJ (TV du ()v
'X-+-NY^rz:v/L\/(«,r, ...,n.
Pour que cette dernière équation se vérifie, sans que w, v, deviennent fonctions de a, 6^ . . ., il est nécessaire que l'on ait
dt
V — VV -V- = o,
DES EQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIELLES. 71 et
Si l'on veut, en outre, que ^ se réduise à
(«7) /o(^.J, •••) = (^-)'Y j f f. •••«='^""="''^"^^"'^""^'^---/o(i^,v, ...)^a^fJ^^/S^v...,
pour / = /„, il suffira d'admettre que cette supposition réduit les valeurs de w, ç^, . . ., 'J/ à celles que déterminent les formules
(18) a=:^, ç=zV, (]>=/o(j^, V, GT, ...).
On devra donc alors intégrer les équations simultanées (i.5) et (i(J), de manière que les conditions (18) soient remplies pour / = t^,.
Pour appliquer à un exemple fort simple les principes que nous venons d'établir, supposons qu'il s'agisse d'intégrer l'équation
do do do
dx -^ ôy dt ' '
de manière que l'on ait o =2 f^(^x,y,z, . . .) pour / = o. Dans ce cas particulier on trouvera
et, par suite, les équations (i j) et (16) deviendront
du dv
U /— -1=0, i^ ^-—trTO, ....
dt dt
ot
En intégrant celles-ci de manière que les conditions (18) soient vérifiées pour t = r, on trouvera
72 EXTRAIT DU MÉMOIRE SUR L'INTEGRATION, ETC, Gela posé, la formule (lo) donnera
\ / i- oc •-'[;,■ i oo<-^v'
ce qui est exact.
Comme toute équation aux différences partielles du premier ordre peut être remplacée par une équation linéaire du même ordre qui renferme un plus grand. nombre de variables, il est clair que la méthode précédente peut être appliquée à l'intégration de toutes les équations aux différences partielles du premier ordre.
En appliquant la même méthode à l'équation linéaire la plus générale du second ordre et à coefficients variables, et présentant cette équation sous la forme
.. d-^(Po) dHQo) â'iWo) à{\o) âiTo) ^,
on reconnaît qu'on peut toujours disposer de la fonction f{x,t), de manière à la rendre intégrable.
Exemple. — On intègre par cette méthode l'équation
ax' "^ dxdi dt' ~ '
et l'on trouve pour son intégrale
/.(tK/. ?
