IN = 3R
c'est-à-dire à une condition qui est remplie toutes les fois que l'élasticité d'un milieu reste la même en tous sens autour d'un point quelconque. Ajoutons que l'intensité de la lumière déterminée par le calcul, pour chacun des deux rayons polarisés que nous considérons ici, est précisément celle que fournit l'observation. Quant au troisième rayon polarisé, le calcul montre qu'il est très difficile de l'apercevoir, attendu que l'intensité de la lumière y demeure toujours très petite quand elle n'est pas rigoureusement nulle. Nous rechercherons plus tard les moyens d'en constater l'existence.
Concevons à présent que, dans le fluide éthéré, l'élasticité cesse d'être la même en tous ^ens autour d'un axe parallèle à l'axe des :;. Si l'on coupe la surface des ondes lumineuses par les plans coordonnés, les sections faites dans deux nappes de cette surface pourront se réduire aux trois cercles et aux trois ellipses représentés par les équations
et, pour que cette réduction ait lieu, il suffira que, les coefficients G, H, I étant nuls, les trois conditions
^ (M-P)(N-P) = /,P% (N-Q)(L-Q) = 4QS ^.^ j (L-U)(M-R)=:4R%
toutes trois semblables à la condition (2), soient vérifiées. Il y a plus, si les excentricités des trois ellipses sont assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés, les conditions (()) entraîneront la sui-
OF.avrcs de 6'. — S. I, t. U. '4
106 mi:moire sur la théorie de la lumière.
vante
(M-P)(N-Q)(L-R) = (N-P)(L-Q)(M-R)=r8PQR,
et l'équation de la surface des ondes pourra être réduite à
Or, les trois cercles, les trois ellipses et la surface du quatrième degré représentés par les équations (î) et (7) sont précisément ceux que ?>esnel a donnés comme propres à indiquer la marche des deux rayons polarisés, aperçus jusqu'à ce jour dans les cristaux à deux axes optiques; et l'on sait d'ailleurs que, dans ces cristaux, les excentricités des ellipses sont fort petites. Donc, les conditions (6) doivent y être sensiblement vérifiées. Au reste, il est bon d'observer que, si les excentricités devenaient nulles, ou, en d'autres termes, si l'on avait
(8) P=zQ=.R,
les conditions (6) donneraient
et que les conditions (8), (9) sont précisément celles qui doivent être remplies pour que l'élasticité d'un milieu reste la même dans tous les sens.
Quant au troisième rayon polarisé, comme l'intensité de sa lumière est fort petite, il sera généralement très difficile de l'apercevoir, ainsi que nous l'avons déjà remarqué.
En résumant ce qu'on vient de dire, on voit que, les conditions (6) étant supposées rigoureusement remplies, les sections faites dans la surface des ondes lumineuses par les plans coordonnés coïncideront exactement avec celles que Fresnel a. données. Quant à la surface même, elle sera peu différente de la surface du quatrième degré que cet illustre physicien a obtenue, et, par conséquent, cette dernière est, dans la théorie de la lumière, ce qu'est le mouvement elliptique des planètes dans le système du monde.
Les excentricités des ellipses suivant lesquelles la surface des ondes se trouve coupée par les plans coordonnés, étant généralement fort petites pour les cristaux à un ou à deux axes optiques, il en résulte qu'on peut déterminer avec une grande approximation, dans ces cristaux, les vitesses de propagation des ondes planes et les plans de polarisation des rayons lumineux à l'aide de la règle que je vais indiquer.
Pour obtenir les vitesses de propagation des ondes planes parallèles à un plan donné ABC et correspondant aux deux rayons polarisés que transmet un cristal à un ou à deux axes optiques, il suftit de couper l'ellipsoïde que représente l'équation
par un plan diamétral parallèle au plan donné. La section ainsi obtenue sera une ellipse dont les deux axes seront numériquement égaux aux vitesses de propagation des ondes planes dans les deux rayons. De plus, celui de ces deux rayons dans lequel les ondes planes se propageront avec une vitesse représentée par le grand axe de l'ellipse, sera polarisé parallèlement au petit axe, et réciproquement le rayon dans lequel les ondes planes se propageront avec une vitesse représentée par le petit axe de l'ellipse sera polarisé parallèlement au grand axe. Si l'on fait coïncider le plan ABC avec l'un des plans principaux de l'ellipsoïde, les deux rayons polarisés suivront la même route, et les deux vitesses de la lumière dans ces rayons seront précisément les vitesses de propagation des ondes planes. Par suite, les vitesses de la lumière dans les six rayons polarisés, dont les directions coïncident avec les trois axes de l'ellipsoïde, sont deux à deux égales entre elles et à l'un des nombres.v/P, VQ» ^^' Ajoutons que les deux rayons dont la vitesse est yP ^^ont polarisés perpendiculairement à Taxe des x\ ceux dont la vitesse est \/Q perpendiculairement h l'axe des y, et ceux dont la vitesse est \l\\ perpendiculairement à l'axe des -. Dans le cas particulier où les quantités P, Q deviennent égales entre elles, la
surface représentée par l'équation (lo), ou
devient un ellipsoïde de révolution dont l'axe est ce qu'on appelle /'<2^e optique du cristal. Alors, l'un des demi-axes de la section faite par un plan diamétral quelconque est constamment égal à y/Q, ainsi que la vitesse de la lumière dans l'un des deux rayons polarisés. Le rayon dont il s'agit est celui qu'on nomme rayon ordinaire et il se trouve polarisé parallèlement à la droite qui dans le plan ABC forme le plus petit et le plus grand angle avec l'axe optique, tandis que l'autre rayon, appelé rayon extraordinaire, est polarisé parallèlement à la droite d'intersection du plan ABC et d'un plan perpendiculaire à l'axe optique. Alors aussi les deux rayons ordinaire et extraordinaire se superposent, quand ils sont dirigés suivant l'axe optique, et se réduisent à un rayon unique qui n'offre plus aucune trace de polarisation.
Lorsque les trois quantités P, Q, R sont inégales, l'ellipsoïde représenté par l'équation (lo) peut être coupé suivant des cercles par deux plans diamétraux qui renferment tous deux l'axe moyen. Donc, les deux rayons polarisés se superposent lorsque les ondes planes deviennent parallèles à l'un de ces plans. Alors, la direction commune des deux rayons est ce qu'on appelle un axe optique. Donc, pour les cristaux dans lesquels l'élasticité de l'éther n'est pas la même en tous sens autour d'un axe, il existe deux axes optiques suivant lesquels se dirigent les rayons qui n'offrent plus aucune trace de polarisation.
Toutes ces conséquences de notre analyse sont conformes à l'expérience, et même, dans des Leçons données au Collège royal de France, M. Ampère avait déjà remarqué que la construction de l'ellipsoïde représenté par l'équation (lo) fournit le moyen de déterminer les vitesses de propagation des ondes planes et des plans de polarisation des rayons lumineux. Seulement ces plans, que l'on croyait perpendiculaires aux directions des vitesses propres des molécules éthérées, renferment, au contraire, ces mêmes directions.
Nous ajouterons qu'à l'équation (lo) on pourrait substituer la suivante (12) P^«+Q/'+Rs2 = i.
En effet, les deux sections faites par un même plan dans les deux ellipsoïdes que représentent les équations (10) et (12) ont leurs axes parallèles et ceux de la seconde section sont respectivement égaux aux quotients qu'on obtient en divisant l'unité par les axes de la première.
P. S. — Pour faire mieux saisir les principes ci-dessus exposés, je développerai, dans un second Mémoire, les diverses formules que j'ai seulement indiquées dans celui-ci. Je ferai encore, au sujet des mêmes principes, deux remarques importantes; et d'abord, lorsqu'on parle de l'attraction ou de la répulsion mutuelle des molécules d'un fluide éthéré, on doit seulement entendre que, dans la théorie de la lumière, tout se passe comme si les molécules de l'éther s'attiraient ou se repoussaient effectivement. Ainsi, la recherche des lois que présentent les phénomènes si variés de la propagation, de la réflexion, de la réfraction, etc. de la lumière, se réduit au développement d'une loi plus générale qui renferme toutes les autres. C'est ainsi que, dans le système du monde, on ramène la détermination des lois suivant lesquelles se meuvent les corps célestes à l'hypothèse unique de la gravitation universelle.
Je remarquerai en second lieu que, pour établir les propositions énoncées dans ce Mémoire, nous avons eu recours aux formules ((38) de la page '20S des Exercices de Mathématiques, et que, pour réduire les équations différentielles du mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle aux formules dont il s'agit, on est obligé de négliger plusieurs termes, par (exemple ceux qui renferment les puissances supérieures des déplacements \, Tj, s Pt de leurs dérivées prises par rapport aux variables indépendantes X, j, z. Lorjiqu'on cesse de négliger ces mêmes termes, on obtient, comme je le montrerai dans un nouveau Mémoire déjà pré-
^ OFTHE A
IJNIVERSITY I
sente à TAcadémie, des formules à l'aide desquelles on peut non seulement assigner la cause de la dispersion des couleurs par le prisme, mais encore découvrir les lois de ce phénomène qui, malgré les nombreux et importants travaux des physiciens sur cette matière, étaient restées inconnues jusqu'à ce jour.
MÉMOIRE
SUR
ET
Mémoires de V Académie des Sciences, t. XVIII, p. i53; 1842.
Ce Mémoire sera divisé en trois paragraphes. Dans le premier paragraphe, après avoir rappelé les formules qui représentent les mouvements du fluide lumineux, dans le cas où la polarisation est rectiligne, je chercherai ce que deviennent ces formules quand on s'arrête à l'approximation du premier ordre, en négligeant la dispersion. Dans le second paragraphe, je montrerai comment on peut déduire, des formules dont je viens de parler, les axes optiques des milieux doués de la double réfraction. Enfin, dans le troisième paragraphe, j'indiquerai une méthode très simple, qui fournit immédiatement l'équation de ce qu'on nomme la surface des ondes.
§ I*'". — Polarisation rectiligne.
Considérons un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelles; supposons que ces molécules se réduisent à celles du fluide éthéré dans un milieu doué de la double rétraction et soient, au bout du temps /,
E, ï], C les déplacements de la molécule m qui coïncide avec le point
(') Présenté à l'Académie des Sciences, le 20 mai 1839.
(x,y,z), ces déplacements étant mesurés parallèlement aux axes
coordonnés; r la distance de l'origine des coordonnées au plan de l'onde lumineuse
qui passe par le point (œ, y, ^) ; /l'épaisseur d'une onde lumineuse; T le temps d'une vibration du fluide éthéré.
Enfin, posons
Les équations du mouvement de l'éther dans la polarisation recti-
ligne seront
I =: A cos ( kr — st -^rs >, -n =^ R cos ( kr — st -{-tzs), Ç = C cos {kr — st -JrTn)
(voir le Mémoire lithographie, sous la date d'août i836, p. 8i) ('), T7, A, B, C désignant quatre constantes, dont les trois dernières seront liées entre elles par trois équations de la forme
(2) ,^A + (31t — 5-)B-+-ti?C = o, ( ^A + ^^B4-(.;b-5-0C — o,
OÙ les coefficients 4^, on, SfZ, dépendront de l'épaisseur et de la direction d'une onde plane. Si, d'ailleurs, on nomme.
les cosinus des angles que forme, avec les demi-axes des coordonnées positives, la perpendiculaire au plan de l'onde qui passe par le point (x,y,z), on aura non seulement
(3) a^-^b'-hc''=i, mais encore
(4) ax + by -\- cz = r;
C) OEiwrcs (le Caucliy, S. Il, T. XV.
ET LA DOUBLK KÉFRACTION. 113
et, si l'on prend
(5) u:=ka, \':=kb, w = kc,
on tirera des équations (4) et (5)
et
(7) . ux-\-vy-^-wz=zkr.
Alors aussi le plan, mené par l'origine parallèlement à celui de l'onde lumineuse, pourra être représenté à volonté par l'une ou l'autre des deux formules
(8 ) ax H- by -\- cz z=z o, ax -h vy -1- wz -=^ o.
D'autre part, comme on tirera des équations (i)
il est clair que, dans le mouvement exprimé par ces équations, les molécules éthérées se déplaceront parallèlement à la droite représentée par la formule
Donc, A, B, (] désigneront des quantités proportionnelles aux cosinus des angles formés par cette droite avec les demi-axes des coordonnées positives et pourront représenter ces cosinus eux-mêmes, si aux formules ( 2) on joint la suivante
(II) A^+B^^C^^i.
Enfin, il est évident que les valeurs de ^, y], C, fournies par les équations (i), ne varieront pas, si l'on y fait croître simultanément t de \f et r de ilAt, pourvu que la valeur de ù vérifie la condition
OEui'res de C. — S. I. t. M. l5
tu MÉMOIRE SUR LA POLAKISAÏION RECTILIGNP:
de laquelle on tire
Donc, la vitesse de propagation de la lumière sera précisément la valeur de ù, déterminée par la formule (i3). Si l'on fait pour abréger
^tJ?
les formules (2) donneront
(-5) ; (.v^-itt)Rr=.îia^(^ + | + ^),
puis on en tirera
I {s' — £)\ (.Ç- — i«)R (.?-— îl)C
