ARC
A lî C y;' "^ 9 "^ A
(J? ^ SI ^A àl^X' 'i^
\ <-i\s'-—i:) 3(5'- — i«) c-îi(5'^ — îi)
et, par suite,
ou, ce qui revient au même,
(18) ^ t'ài'-{s'- i^){^'--l^) -^ A^''-£'{s-'-\^){s'-- C) -^ ^Pl'is-^- qis-^- M) i — (-X'^Ais- — £) (52 — iH) (,ç2 m ).
L'équation (18) étant du troisième degré, par rapport à^-, fournira trois valeurs de s- et, par suite, trois valeurs de la quantité positive s.
auxquelles répondront trois systèmes de valeurs des rapports
•déterminés par les équations (2) et, par suite, trois droites, représentées chacune par une formule semblable à la formule (10). Or, d'après la forme des équations (2), on reconnaît immédiatement que les trois droites dont il s'agit sont respectivement parallèles aux trois axes de l'ellipsoïde représenté par l'équation
(J9) 4^a;'-+0rtj-2+,3b^2^ 2(-£yz -^ 2^za: -h 2Accy = j,
OU, ce qui revient au même, par la suivante
(20) i'a:^+iiîy^+ît.-+(i'^,îi(^f + |+|-y=i,
tandis que les trois valeurs de s' sont respectivement égales aux quotients qu'on obtient en divisant l'unité par les trois demi-axes de cet ellipsoïde.
Soient maintenant :
r la distance de la molécule m, ou du point (j^,y, -) avec laquelle elle coïncide, à une molécule voisine m, dont les coordonnées sont ce -f- Ax, y -h Aj, ^ -h A:; ;
mmf(r) l'action mutuelle des deux molécules m, m;
a, Ç, Y les angles formés par le rayon /• avec les demi-axes des coordonnées positives;
0 l'angle formé par le même rayon avec la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan de l'onde. •
Enfin, posons
On aura (22) cosô = a cosa + 6 cosê 4- ccosy,
116 MÉMOIRE SUR LA POLARISATION RECTILIGNE par conséquent
(23) kcosô-= a cosa -+- v cosS + tvcosy.
Cela posé, si l'on fait pour abréger
,'\ = S ' jn \ I — cos ( kr cos ô )] .■ ,
1 ,„ „ ^ cos(A-/- cosô) - k- cos^o -A i
le signe S indiquant une somme de termes semblables, relatifs aux diverses molécules m voisines de m; les valeurs de <5, ^, déterminées par les formules (24), (23), ou, ce qui revient au même, par les suivantes
- — [i — COS r{u cosa + v coso -+- w cosy)]:,
(u cosa + V cos6 + w cosy)^
cos/-(« cosa -4- (' cos 6 H- w co9y)1^
pourront être considérées comme des fonctions des seules quantités u, ^, «^; et les valeurs des coefficients
J^, D\L, dZ, (^\ ^, ai,
contenus dans les équations (2), seront déterminées en fonction de w, V, w par les formules
dw au
iK =
du di>
Les formules (26), (27), (28), (29) supposent que les deux conditions
(3o) S /«-^^sin(A/'cos<5) =:o, S
fir)
sin( Avcoso) == o
ou, ce qui revient au même, les deux suivantes
— — sin/'(« COSOC + V cosê + tvcos-/) =::0,
ni — — - sinr(f/cosa -j- v cos o -^ w cosy) = o,
se trouvent vérifiées, quelles que soient les valeurs attribuées à m, v, w ; ce qui arrivera, par exemple, si dans l'état d'équilibre du fluide éthéré les diverses molécules sont deux à deux égales et distribuées symétriquement de part et d'autre d'une molécule quelconque m, sur des droites menées par le point avec lequel cette molécule coïncide.
En vertu des formules (26), (27), (28), (29), jointes aux équations (i4)» les coefficients
r, aiL, X, tP, ^, A, f, iïï, ÎT
représentent des fonctions déterminées des trois quantités
u, V, w ou ka, kb, kc,
par conséquent des trois cosinus
et de la quantité k. Considérés simplement comme fonctions de ^, ces coefficients sont développables en séries qui, ordonnées suivant les puissances ascendantes de k, off*riront des premiers termes proportionnels à k-. Cela posé, étant donnés les trois cosinus a, b, c, qui déterminent la direction d'une onde plane et l'épaisseur /de cette onde, ou, ce qui revient au même, la quantité k, l'équation (18) fournira trois valeurs différentes de s et, par suite, trois valeurs différentes
Çl=z -, qui se trouveront immédiatement exprimées en fonctions de a,
//, c, k. Il y a plus : comme l'équation (18) fait dépendre ^ de ^ et réciproquement ^- de s, on pourra supposer les trois valeurs de inexprimées en fonctions de a, b, c, s. D'ailleurs, la constante s ou T est celle qui détermine la nature de la couleur. Donc, la propagation de la lumière
118 MÉMOIKE SUH LA POLARISATION UECTILIGNE
dans une direclion donnée donnera généralement naissance, pour chaque couleur, à trois systèmes d'ondes planes, qui se propageront dans un milieu doublement réfringent, avec trois vitesses différentes. De ces trois systèmes d'ondes planes, deux correspondront évidemment aux deux rayons lumineux qui ont été observés dans les milieux doués de la double réfraction, et qui se réunissent de manière à n'en plus former qu'un seul dans les milieux où la réfraction est simple. Quant au troisième système d'ondes, il répond à des vibrations d'une nature particulière dans le fluide éthéré,-qui n'ont point été encore observées, à moins qu'elles ne soient précisément les vibrations calorifiques. Si l'on réduisait les développements obtenus à leurs premiers termes, respectivement proportionnels à P , les trois valeurs de s seraient proportionnelles à k; par conséquent, les trois valeurs de £2 = v deviendraient indépendantes de k, ou de s, et dépendraient uniquement des cosinus a, h, c. Donc, alors la vitesse de chaque système d'ondes deviendrait indépendante de la nature de la couleur; et les formules obtenues seraient celles auxquelles on parvient quand on néglige la dispersion. Alors aussi les valeurs de
tirées des équations (2") seraient elles-mêmes indépendantes de k ou de s, et pour une direction donnée du plan représenté par l'équation (8), c'est-à-dire pour des valeurs données de a, h, c, on obtiendrait trois espèces d'ondes propagées avec trois vitesses différentes, et dans lesquelles les vibrations moléculaires seraient parallèles à trois axes rectangulaires, savoir aux trois axes de l'ellipsoïde représenté par l'équation (19). Il y a plus : les trois espèces d'ondes qui rempliront ces dernières conditions pourront être censées correspondre à la même valeur de ^ et à trois couleurs différentes, ou bien à la même couleur et à trois valeurs différentes de k, puisque les trois valeurs de chacune des quantités
dépendront uniquement de a, h, c. Mais, si l'on cesse de négliger la dispersion, les valeurs de
dépendront, en vertu des formules (i5) et (i8), non seulement de a, b, c, mais encore de la quantité k ou /, par conséquent de l'épaisseur d'une onde; et les trois espèces d'ondes, dans lesquelles les vibrations moléculaires seront respectivement parallèles aux trois axes de l'ellipsoïde représenté par l'équation (19), correspondront à une même valeur de iî: et à trois valeurs différentes de s = kù, ou à trois couleurs différentes, les trois valeurs de ^ étant déterminées par l'équation (18), ainsi que les trois valeurs correspondantes de la vitesse de propagation 12. Il ne sera pas inutile d'observer que l'ellipsoïde représenté par l'équation (19) peut l'être encore parla suivante
ô-iK O-^yi â-^K
y- â:7:ï77, + ^--^xttttt: + ^^y
âv àiv dwdu ^ àadv
à laquelle on parvient en substituant dans l'équation (19) les valeurs de J^, oïl-, .3b, ^i?, :^, A, tirées des formules (28) et (29).
Dans un milieu doué de la double réfraction, on peut, en général, faire passer par un point quelconque trois plans rectangulaires entre eux et tellement choisis que, étant données deux droites symétriquement placées par rapport à l'un de ces plans, les ondes planes perpendiculaires soit à l'une, soit à l'autre droite, se propagent avec la même vitesse et que, dans les deux espèces d'ondes perpendiculaires aux deux droites, les molécules symétriquement placées, par rapport au plan que l'on considère, offrent encore des vitesses de vibration égales, dont les directions soient celles de deux nouvelles droites symétriquement disposées de part et d'autre du même plan. L'expérience montre du moins qu'en chaque point d'un milieu doublement réfringent ces conditions se trouvent remplies, par rapport ii trois plans rectangulaires entre eux, à l'égard des deux systèmes d'ondes planes
qui correspondent aux deux systèmes de rayons lumineux observés. Il est naturel de supposer que les mêmes conditions se vérifieraient encore à l'égard du troisième système d'onde* planes. Nous admettrons cette hypothèse et nous appellerons axes de polarisation les trois axes rectangulaires suivant lesquels se coupent les trois plans dont il s'agit : axes qui, comme ces plans, restent parallèles à eux-mêmes, quand le point par lequel ils passent varie. Si, en faisant coïncider ce point avec l'origine des coordonnées, on prend les axes de polarisation pour axes des x, y, z\ les trois valeurs de la vitesse 11, par conséquent les trois valeurs de la quantité s = kÇi, déterminées, à l'aide de la formule (i8), en fonctions de «, b, c, k ou de u, v, w, resteront invariables, quand, des trois cosinus
un seul, par exemple a, changera de signe avec ka = u, tandis que les valeurs correspondantes de A et, par suite, celles des rapports
déterminées à l'aide des formules (13), changeront de signe. Donc alors, dans l'ellipsoïde représenté par l'équation (19) ou (32), les longueurs des trois demi-axes, respectivement égales aux quotients qu'on obtient en divisant l'unité par les trois valeurs de s, resteront invariables; tandis que chacune des trois droites, suivant lesquelles sont dirigés les trois axes de l'ellipsoïde, se trouvera remplacée par une droite symétriquement placée de l'autre côté du plan des j, z. En effet, lorsque le changement de a en —a ou, ce qui revient au même, de u en — M entraînera un changement de signe des rapports
la formule (10) se trouvera remplacée par la suivante ^^ A-B-C'
ET LA J)()UBLE UÉFHACTION. 121
et les formules (lo), (33) représentent évidemment deux droites symétriquement disposées de part et d'autre du plan des j, ^. Il y a plus : d'après ce qu'on vient de dire, dans tout milieu réfringent qui aura pour axe de polarisation les axes rectangulaires des x, y, z-, le changement de ii en — w transformera l'ellipsoïde représenté par l'équation (19) ou (32) en un autre ellipsoïde, qui offrira des axes qgaux à ceux du premier, et dirigés, non plus suivant les mêmes droites, mais suivant des droites symétriquement placées de l'autre côté du plan des y, z-. Donc, le nouvel ellipsoïde sera égal au premier, et tous deux seront symétriquement placés par rapport au plan des j, z. Donc, l'équation du nouvel ellipsoïde sera celle qu'on obtient en remplaçant, dans l'équation (32), x par — ce, savoir
,à'-tK ,â'iK ^d'^tM'
^ -^ au^ âi'^ âw^
â'iK (^2<K a^^K
ov c/i^" Ow ou -^ au ov
par conséquent, 5 restera invariable, tandis que // changera de signe; et, des six dérivées du second ordre
d-tx (P^ (P^ (PiK â-'iK a- m-
du'^^ Ov- ' dw'^ ôv âw^ OwOu dudv
les deux dernières devront seules changer de signe avec u. Or, cette condition ne pourra être remplie, pour la fonction de u, v, w, représentée par d( et développable, en vertu de la formule (27), suivant les puissances ascendantes et entières des variables u, ç, w, en une série dont chaque terme sera de degré pair relativement au système de ces trois variables, à moins que tous les termes proportionnels à des puissances impaires de la variable u ne disparaissent par la réduction de leurs coefficients à zéro. Effectivement, les termes de cette espèce étant différentiés deux fois de suite par rapport à u, ou bien une seule fois par rapport à u et une seule fois par rapport à (^ ou à w, fourniront chacun trois dérivées du second ordre qui, si elles diffèrent de zéro, changeront de signe avec u dans le premier cas, sans en changer dans
OEuvres de C. — S. I, t. U. l6
le second, et qui, en conséquence, devront disparaître des développements des trois expressions
â^ d-iK â-cK dif'^ au ai' au ôw
Or, di ne renfermant aucun terme proportionnel à la seule variable m, la disparition dont il s'agit ne peut avoir lieu que dans le cas où tous les termes proportionnels ii des puissances impaires de a disparaissent eux-mêmes et s'évanouissent avec leurs coefficients respectifs. Par conséquent, dans un milieu qui offrira pour axes de polarisation les axes rectangulaires des x, y, z, dc restera invariable avec ^, tandis que u changera de signe. On prouvera de même que, dans un tel milieu, -3 et 3C devront rester invariables, après le changement de signe de (' ou de w. Donc, en définitive, les développements de 5 et de ïK devront alors renfermer uniquement les puissances paires de chacune des variables //, v, w, et les seconds membres des formules (26), (27) ne seront point altérés quand on y remplacera ensemble ou séparément u par — u, V par — c et w par — w. Ainsi l'on aura, quels que soient //, c, w.
m cos/'(
cos/'( « C0S3C -^- <' coso + «' cosy) ces /■ (— u cos a 4- c cos g + (V cos y ) u cos a — r coso -}- w cosy)
m cosr(
u cos a
i' coso
(^cosy) ,
g\ jj^f(''^ '(^/cos« H- cens g -T- iT^cosy)- cos /-(//cos g -h ccoso -f- it'cosy)"]|
(— u cnsa-r- ('COSC + ivcosy)'^ cos/-(— //cosst + ccoso -f-j^cosy) |/
S^/jf'^^^^ r(^< t'osa — (>cosS -f- u'cosy)- cos/-(// cosa — c cosS + (t- cosy )1 /
(^/C()sa+ f cos S — (T' cos y)- cos/-(// cos a H- cens S — w cos y )
Eï LA DOUBLE HÉIRACTION.
ou, ce qui revient au même,
et
m — ;— sin(r(' cosê) siii (/'(v cosy) cos(/-a cosa) = o, m — — siii(/'(rcosy) sin(/v/ cosa) cos{rv cosê) =: o, m — ^sin(/'« cosa) sin(/'(^ cosê) cos(/-(vcosy) zzzo
U'...-llsl
sin(n' cos6) siii(/-tv cosy) cos(/-// cosa
(4o) < Sj/«
fir)
i-iv cosb cosy
(ï7/ cosy cosa
sin (/7/ cosa) siii (/-c cosS) cos( /'n' cosv) ifA' cosa coso ^ ■ Cl
siii(/-(T'cosy) sin(r// cosa) cos(/-('cosê)
Les formules (39) et (4o) devant, ainsi que les formules (3i), subsister indépendamment des valeurs attribuées à a, v, w, entraîneront les diverses conditions qu'on obtient quand, après avoir développé les seconds membres de ces formules en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de a, p, ^v, on égale à zéro le coefficient de chaque terme. Les conditions ainsi obtenues se vérifieront, par exemple, si les molécules d'éther sont deux à deux égales entre elles et distribuées symétriquement de part et d'autre d'un plan mené par une molécule quelconque m parallèlement à l'un quelconque des plans coordonnés.
Kii vertu des formules (39), (4o)» les équations (26). (27) donneront
I — cos(/-M cosa) cos(/Tcoso) cos(/-(i'cosy)
i/^ cos-g 4- ('- cos-g -h a' cos-y cos(/-« cosa) cos(r('cosê) cos(nt'cosy)
Si l'on développe les seconds membres de ces dernières, et si l'on
12'f MÉMOIRE SUR LA POLARISATION RECTILIGNK
fait d'ailleurs, pour abréger.
— !(/■) cos-a
— !(/•) cos-y
Mr=S
r(/") cos'S
/(/•)co
-— y(/-)cos*7
-/(/•) cos-o cos-y
— /(/•) cos-y cos^a
— j{r) cos-a cos-D
on trouvera
(46) .^ =G«^+Hc2-+-Uï^'- + ...,
puis on en conclura, eu égard aux formules (28) et (29), (48)
4^ :^(L+G)«-+(R + H)c='+(Q + I)(i^- + ..., Ororr3(R + G)«^-l-(M + H)i-2+(P +1)»'^ + ..., ( 5b =(Q -hG)/<'-+(P 4-H)r2+(N + I)tp^4-...,
^ — 2Qlï'« + . . ., ( é\ = 2R?/(" +. . .,
et, par suite, eu égard aux formules (i4)»
RP
(5o) ^ in=:(Q + G)a^+(M-2-^ +H) l'M (P-+-l)(i'
^ Il z=(R + G)«2+(P4-H)r^4-(^N-2ij5 +1),,^ + ,
Enfin, si l'on pose
I ;?l = (^L - 2 ^ + G j «^ -^- ( R + H ) h'' + ( 0 4- I ) c\ (5i) < 5 ==(R4-G)«'--h('M-2^4-H^^'- + (P +I)cS
I C = ( Q + G )«.-^ + (P + H) 6^ ^ ("n - 2 ^ + A c% on tirera des formules (49)» (5o)» jointes aux équations (5),
(52) ^=;2pèc/.-2+..., ^ =z:2Qc«A- + ..., ^ = 2 R aè/x" + . . . ,
(53) C= aA:^ +..., ilt= i3A-2 +..., 11= €k'- +
Pour obtenir l'approximation relative au cas où l'on néglige la dispersion, l'on devra, dans les développements de
a\ ^, A, c, in, n,
fournis par les équations (52), (53), conserver seulement les premiers termes, c'est-à-dire les termes proportionnels \\k'-. En opérant ainsi, l'on aura simplement
(54) ^!i:=i\^bck\ '^—2Qcak\ a=i2Ra6A% ( 55 ) C =:^ k\ 411 = Î3 A% î! = C A^
et, en vertu de ces dernières équations jointes à la formule (12), les équations (ij), (17), (i^), (20) donneront respectivement
(^^a)A=.2QR«(^+^-H^ (^^-S)R=2RP^(^4-^^^^),
^(0^-C)C=2PQc(^ + ^-+-^
ÏÏ
126 MÉMOIRE SUK LA POLARISATION RECTILIGNE et
a^-^ + î3j^+Cc^-^2PQR(^ 4-^ + ^1 =^1.
(59) Les valeurs des quantités
fournies par l'équation (37) ou (58) et par les équations (56), dépendent uniquement des cosinus a, h, c et restent indépendantes de s ou de T, par conséquent de la nature de la couleur. Donc, ces équations se rapportent effectivement au cas où l'on suppose les diverses couleurs propagées avec la même vitesse, c'est-à-dire au cas où l'on néglige la dispersion. Ces mêmes équations supposent d'ailleurs que le milieu réfringent offre trois axes de polarisation respectivement parallèles aux axes rectangulaires des oc, y, s.
Lorsque la propagation de la lumière s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois, ce qui a lieu dans le vide, les valeurs de ^^ et de ïK se réduisent aux suivantes
f(/) / sinAr'
/• \ kr
/•* Vb kl
du Mémoire lithographie. On a donc alors, eu égard à l'équation (6),
lu" + y'" + w* -h 1 ('^ w'- -\- 1 w"- lâ -H 2 //.^ ('
Ces dernières formules devant s'accorder avec les formules (J\6), (47), quelles que soient les valeurs attribuées à 11, v, w, on en conclura, dans l'hypothèse admise,
L = M = N=:3P=:3Q = 3R=:Sr-"4/(/-) .
Donc, lorsque la propagation de la lumière s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois, les valeurs de
vérifient les conditions
(64) G=H-I, L:=:M = N=r3Pr=3Q=:3R.
Au reste, pour obtenir immédiatement ces dernières formules, il suffît d'exprimer que les quantités
considérées comme fonctions de //, c, w ou de
dépendent uniquement de k, par conséquent de la somme
Car, dès lors, on doit avoir, quels que soient a, v, w,
G H- + H r- + I w"- — G k- = G ( «« 4- v- + w'^), La*+M[t''^+NiT'^4-GPi'2ip' + GQn^'«-+ ôR/z-c- = L k* = L ( a' -\- v' H- lï-''* -I- 2 ('- (V- -H -i w^ II- -+- 9. a- (^^ )
et, par suite,
G = H = I, L = M = i\, 6P = 6Qizz6Rr=2L. Des équations (28) et (29) jointes aux formules (Go) et ((h) l'on
128 MÉMOIRE SUK LA POLARISATION RECÏILIGNE
tirera
(65) Ji = g^-f)u\ o]L = ç+f)ç\ Di,=:g^(]w\
(66) (S=(}vn', ^ — /j(r«, cîl — 5«r,
les valeurs de (j", 5 étant celles qui déterminent les équations
I àïK
k àk
^ "" A^ âk
OU
sin Ar\~
fir) [ \ cos kr^ m -^-^—^ - + -j-r^ r \6 k-r-
sin A/'Y A-3;-' j
' siiiAv kr
cosy ^ k^i
kr ^ sinAv-y
Gela posé, les formules (i4) donneront
C = iîl=rn*zi=C7
et les formules (i5), (18) se réduiront à
/ ^s"- — (,') A = l] a ( «A + cB + iv'C),
! (*'— 0")<^ =5«'(«A+('B + (vC),
L'équation (yS), résolue par rapporta s'- , fournit deux racines égales à (j, une seule égale à g-\-f)h}. Les deux premières racines correspondent aux deux systèmes d'ondes planes et de rayons lumineux, qui se réduisent à un seul système dans les milieux doués de la réfraction simple. Comme on tire d'ailleurs des formules (72) et (73), jointes ' aux formules (5) et (i), ou
et
«A -h cB -F (rC r= o,
par conséquent
(76) aA + èR+cC = o
et
(77) a| + 6-^ + cC- -o;
OU bien
