ABC

abc

par conséquent

(79) et

^ ' abc

il est clair que, dans un milieu où la lumière se propagera en tous sens suivant les mêmes lois, les vibrations des molécules d'éther seront, en vertu de la formule (77) ou (80), comprises dans les plans des ondes, ou perpendiculaires à ces mêmes plans, suivant qu'il s'agira des ondes de l'une ou de l'autre espèce, c'est-à-dire des ondes qui correspondront ou de celles qui ne correspondront pas aux rayons lumineux observés.

Au reste, on arriverait aux mêmes conclusions en partant des formules (50), (58), qui peuvent être substituées aux formules (i5) et (18) dans le cas où le milieu réfringent offre trois axes de polarisation parallèles aux axes rectangulaires des ^, j, :?, et où l'on néglige la dispersion. Car, en supposant que la propagation de la lumière s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois, et ayant égard aux conditions (64) ainsi qu'à la formule (']), on tirera des équations (5i)

(81) ::iT=i3 = € = R + i,

OEuvrcs de C. — S. I, t. II. I7

130 MÉMOIRE SUR LA POLARISATION REGTILKiNK

et, par suite, les formules (56), (58 ) donneront

/ {^'-~E — l)A = 2na{aA-hbB-i-cC),

(82) ) {^^—R-l)n=2l\b{aA-i-bB-i-cC), { (^2-R — I)C :=2Rc(«A + ^B-+-cC);

Or, l'équation (83), résolue par rapport à ù^, fournira deux racines égales à R + I, une seule égale à 3R4- I; et il est aisé de s'assurer qu'en vertu des formules (82) l'équation

entraînera les formules (76), (77), tandis que l'équation

entraînera les formules (79) et (80).

Lorsque la propagation de la lumière s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois, non pins autour d'un point quelconque, mais seulement autour de tout axe parallèle à une droite donnée, alors, en prenant cette droite pour axe des x, on voit les valeurs de 5 et de Di, considérées comme fonctions de u, v, w, se réduire à celles que fournissent les équations (12), (i3) du paragraphe VI du Mémoire lithographie, par conséquent à des fonctions des seules quantités u et

Alors aussi, en posant, pour abréger,

i di

"'il)

on trouve

( 90 ) .'^rt = (; 4- /j v\ .X, = cj + /j ,v2,

et, par suite, les formules (i5) et (18) deviennent

( is^--(J,)C =iv[VA +/j((.B + tPC)] et

(94) {s' - g)[(,92 ,l^)(,.2 CJ -Pjl'-)- VH-] :--= O.

Or, comme les deux dernières des formules (93) donnent

(95) {s'-(j){niv-Cv) = o,

on vérifiera ces formules, soit en posant

(96) s'=cj et, par suite,

(97) A =0, lîr + C(v' = o, excepté dans le cas où, la condition

étant remplie, les équations (97) devront être remplacées par la seule équation

(99) . l')A+/3(l'B-^(PC)=:rO,

soit en posant

et, par suite,

('oi) (.Ç— .C)(^--(j'-i)^*)-U-'- = o.

132 MÉMOlRi: SUR LA POLARISATION RECTILIGNE

On tire, d'ailleurs, de la formule (loo), combinée avec la première des équations (qS),

puis, des formules (97) et (102), combinées avec les formules (i), (io3) ^ = 0, Vf] -h i\'< = o,

(io4)

En vertu des formules (io3) et (io4), jointes aux formules (5), les déplacements moléculaires s'exécuteront parallèlement à la droite représentée par les équations

(lo5) J7 =z O, hy -\- CZ^::zO,

OU parallèlement à la droite représentée par la formule

suivant que la relation entrer- etX: se trouvera exprimée par l'équation (96) ou par l'équation (loi). Il est d'ailleurs facile de reconnaître que ces deux droites sont perpendiculaires Tune à l'autre, et que la première coïncide avec la trace du plan dés y, z sur le plan mené parallèlement au plan d'une onde par l'origine des coordonnées.

Puisqu'on supposant la lumière propagée suivant les mêmes lois en tous sens autour de tout axe parallèle à l'axe des x, on voit les valeurs de ^ et de ^ se réduire à des fonctions des seules quantités

« et (''■'+ W^-rz: t-,

on doit avoir alors, dans les formules (4G) et (47),

G«-+ IIr^4- I(v2=: G«2|.jj,2 (;,^2^ H(r2 i w"-), LM* + Mr*4-Niv'* + 6P«^y2^6Qiï^2M2+ 6R«2,-2

ET LA DOUBLi: REFRACTION. 133

quels que soient u, r, w, et, par suite,

Les conditions exprimées par ces dernières formules font évidemment partie de celles que donnent les formules (G4).

En vertu des formules (107), jointes à la formule (86), les équations (46) et (4/) donnent

(108) ;^ — G«2^It2 4-...,

(109) ^XnzSm^^-h - f^L«*+R«-t^+ -PlA+...;

et, par suite, on tire des formules (87), (88), (89),

(iio) f,' = (Ll^^x)«2^(P + I),2^...,

(Ml) <)= aP +...,

tandis que la première des formules (28) donne (ii3) r ^(L-hG)«--+-(R4-I)<^2-i-....

Les seconds membres de ces dernières équations peuvent être réduits à leurs premiers termes, lorsqu'on néglige la dispersion. On peut donc prendre alors

(Il4) (? = (H + rr)«-+ (P + 1)(('2+ U'-),

(ii5) /) = ^^P,

(116) t') = 2lV/,

(117) 4:=(L4-G);/-+(R+ l)(r-^-}- iT'2).

Alors aussi des formules (96) et (roi), combinées avec les formules (5) et (12), on tire

( X [0^'(R + G)a'-— (..îP + R-hI)(6î-I-c-)] —^W}a^b^ + c'-) = o

13i MÉMOIRE SUK LA POLARISATION RECTI LIGNE

Quand on se propose seulement de tirer de l'équation (57) les valeurs approcfhées des il- relatives aux deux rayons lumineux observés, on peut remplacer cette équation par une autre plus simple. En effet, quoiqu'il existe un grand nombre de milieux doués de la double réfraction, et dans lesquels la lumière ne se propage pas en tous sens suivant les mêmes lois, par conséquent, un grand nombre de milieux dans lesquels les conditions (64) cessent d'être rigoureusement remplies, néanmoins, comme dans ces milieux mêmes la différence entre les vitesses de propagation des deux rayons observés est ordinairement très petite, il est naturel de penser que les conditions (G4) s'y vérifient approximativement, ainsi que les formules (81), et qu'en conséquence les valeurs de ù- relatives aux deux rayons lumineux y diffèrent très peu de chacune des quantités

Gela posé, les valeurs de il relatives aux deux rayons lumineux fourniront généralement de très petites valeurs des différences

par conséquent, de très grandes valeurs de chacune des fractions comprises dans le premier membre de l'équation (37). On pourra donc, dans un calcul approximatif, négliger le second membre par rapport aux fractions dont il s'agit, et réduire l'équation (57) à celle-ci

OU même, puisque les quantités P, Q, R sont peu différentes l'une de l'autre, à la simple formule

Lorsque, dans cette dernière formule, on fait disparaître les déno-

niinateurs, l'équation que l'on obtient, savoir

(123) aM-^-i3)(^'— a:) + 6^(-Q— C)(i2-— a)^c^(i2-a)(i2-J3)=:o, OU

(124) ^'—l^{b'-hc'-)^'ô{c''-i-a'-)-i-€{a'--hb'')]a'--hî5({:a'-^<t^b'-^Mc''=o,

est par rapport à Q-, non plus du troisième degré, mais du deuxième degré seulement, et ses deux racines représentent les carrés des valeurs approchées des vitesses avec lesquelles se propagent les deux rayons lumineux observés dans un milieu doué de la double réfraction. On arriverait encore aux mêmes conclusions en partant de l'équation (58). En effet, si l'on considère comme très petites du premier ordre les différences qui existent soit entre les trois quantités G, H, I, soit entre les six quantités

les différences (120) seront elles-mêmes très petites du premier ordre, et comme, dans l'équation (58), les termes que renferme le premier membre seront du deuxième ordre, on pourra, vis-à-vis de chacun de ces termes, négliger le dernier membre, qui sera du troisième ordre, et réduire l'équation (58) à

ou, ce qui revient au même, à

aM^--î3)(î^'-C) + ^-(i2-— €)(£2^— a) + c^(i2-^— ^)(12^— Î3)

pi -

Or, les différences

p2 " (V' ¥'~ îï'

p2Q2 VV ' ^ [^2pî *^ '^ * /

étant évidemment du premier ordre, le second membre de la dernière formule pourra encore être négligé comme étant du deuxième ordre, et, par suite, cette formule pourra être réduite à l'équation (124).

Concevons maintenant que, dans un milieu réfringent qui offre trois axes de polarisation respectivement parallèles aux axes rectangulaires des ^, j, ~-, le plan d'une onde soit perpendiculaire à l'un de ces axes, par exemple à l'axe des ce, on aura

et les formules (56), (^7), relatives au cas où l'on néglige la dispersion, donneront

(127) (pj 3^aA(pj i3)(Ç22(i:)^o,

ou, ce qui revient au même, eu égard aux formules (5i),

(128) ) {Oj^i\Cj)n = o,

(129) {9J-L-G){Oj-i\-Cj){9J-Q-G)=o.

Des trois valeurs de Q- fournies par l'équation (129), savoir (j3o) L + G, R+G, 0 + G,

la première se réduit à 3R -f- 1, et les deux dernières à R -f- 1, lorsque les conditions (64) sont rigoureusement remplies. Les deux dernières sont donc celles qui se rapportent aux deux rayons lumineux observés, et, en vertu des formules (128), on aura pour ces deux rayons, en supposant les plans des ondes perpendiculaires à l'axe des œ, ou

par conséquent

(i33) ^^zizQ + G, A = o, 13=0,

par conséquent

(l34) Ç-~0, Y]=rO.

Donc, lorsque les plans des ondes sont perpendiculaires à l'axe des^ et parallèles au plan des y, z, les vibrations des molécules sont parallèles à l'axe des y, en vertu des formules (i32), et se propagent avec la vitesse v/R4-G,ou bien elles sont, en vertu des formules (i34), parallèles à l'axe des :; et se propagent avec la vitesse \jQ-hG. Par des raisonnements semblables, on prouve généralement que les vitesses de propagation des ondes renfermées dans des plans perpendiculaires aux axes de polarisation pris pour axes des x, y, z sont respectivement égales aux racines carrées des quantités

si les plans des ondes sont perpendiculaires à l'axe des x, (i36) P + H, ll + II

si les plans des ondes sont perpendiculaires à l'axe desj, (•37) Q + I, P + I

si les plans des ondes sont perpendiculaires à l'axe des z.

Ajoutons que les vibrations des molécules sont parallèles à l'axe dës X, ou à l'axe des j, ou à l'axe des z, suivant qu'il s'agira des ondes dans lesquelles la vitesse de propagation aura pour carré l'une des quantités

(Wuvres fie 6'. - S. I, t. II. j8

Ce que Fresnel appelle le plan de polarisation d'un rayon lumineux, , c'est le plan perpendiculaire aux droites suivant lesquelles sont dirigées les vibrations des molécules éthérées. Cela posé, comme l'expérience démontre que, parmi ces ondes dont les plans sont perpendiculaires aux axes 'de polarisation, celles qui répondent à des rayons dont les plans de polarisation sont les mêmes se propagent avec la même vitesse, il est clair qu'il devra y avoir égalité entre les deux expressions (i38), ou (139), ou (i/jo)- Ainsi

devront généralement vérifier les trois conditions

(,4i) Q4-I=:R + H, R + G = P-hI, P + H = Q + G,

que l'on peut réduire aux deux équations comprises dans la formule

Si la propagation de la lumière s'effectue en tous sens, suivant les mêmes lois, autour de tout axe parallèle à l'axe des x, les conditions (i4i) se réduiront à la seule équation

et la vitesse de propagation deviendra indépendante de a, h, c, pour l'un des deux rayons lumineux observés, savoir, pour celui qui correspond aux formules (io3), (118) et à des vibrations lumineuses dirigées, dans les plans des ondes, perpendiculairement à l'axe des x. En effet, on tirera de la formule (r 18), jointe à la condition (r43),

Alors le rayon, dont la vitesse de propagation sera indépendante de a, b, c, par conséquent indépendante de la direction du plan de l'onde et déterminée par la formule (i44)» se nommera le rayon ordinaire. L'autre rayon, correspondant à des vibrations moléculaires comprises,

non plus rigoureusement, mais sensiblement dans les plans des ondes,et perpendiculaires aux vibrations excitées dans le premier, se nommera le rayon extraordinaire.

Revenons maintenant aux formules (i^i)» et désignons par

£2', Çl", Q!" .

les vitesses de propagation des ondes, lorsque les plans des ondes sont parallèles à l'un des deux plans coordonnés qui renferment l'axe des a?, s'il s'agit de O', l'axe des j, s'il s'agit de £2", l'axe des z, s'il s'agit de 12'". On aura

Posons, en outre,

OU 2liP

Les formules (Si) donneront

Si, d'ailleurs, la lumière se propage on tous sens suivant les mêmes lois autour d'un point quelconque, les formules (i45), (i46), jointes aux conditions (64), donneront

(i48) i2'^=^"'- = Çl"'-'=l\-^l,

et,, par suite, les équations (147) reproduiront la formule (81). Enfin, si la propagation de la lumière s'effectue de la même manière en tous sens autour de tout axe parallèle à l'axe des x, les formules (i45), (t4(>), jointes aux conditions (107), donneront

(i5o) £2'2=zR4-I,

par conséquent, les formules (i/jy) se réduiront à

En vertu de ces dernières, l'équation ((23) deviendra (,54) (^^— i2"^)[î2^— •i2"-a^— (O'^+0'a^)(Z;2+c'-)] = o

et fournira deux valeurs de Q-, dont l'une

(l55) 0^=:i^"2=:^RH-(; = P + I

ne différera pas de celle que présente l'équation (i44); tandis que l'autre sera

Les valeurs correspondantes de ù seront les vitesses de propagation de la lumière dans les rayons ordinaire et extraordinaire. Donc, la vitesse de propagation sera représentée dans le rayon ordinaire par ù" et par il' dans le rayon extraordinaire, si le plan de l'onde vient à passer par l'axe des x, c'est-à-dire si l'on a

Si, d'ailleurs, on nomme A l'angle formé par la perpendiculaire au plan d'une onde avec l'axe des x, on aura généralement

(••■^8) a^^cos^}., Z>2+c^=rsin^>.,

et, par suite, la formule (i5G) pourra s'écrire ainsi

(i%) Q.'^i1"-' cos2>. + Q:-^ sin^>. + 0' sin^X cos^X.

Telle est l'équation qui, dans un milieu oi:i la propagation de la lumière s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois autour de tout axe parallèle à l'axe des x, devra fournir généralement la vitesse de propagation O dans le rayon extraordinaire. Mais, pour s'accorder avec les observations des physiciens, cette formule doit se réduire à

ET LA DOUBLE RÉFRACTION. Ul

c'est-à-dire que l'on doit avoir

Donc, les trois conditions exprimées par la formule (149) se vérifient non seulement lorsque la lumière se propage en tous sens, suivant les mêmes lois, autour d'un point quelconque; mais encore lorsqu'elle se propage en tous sens, suivant les mêmes lois, autour d'une droite quelconque parallèle à l'axe des x ou, plus généralement, à l'un des trois axes de polarisation. Il est donc naturel de penser que ces conditions se vérifient toujours, quelle que soit la nature du milieu réfringent. En admettant cette hypothèse, on verra les formules (i45), (i4(>) se réduire à

ii'^-z

par suite, les formules (5i) donneront

et l'équation (122) ou (124) deviendra

^^^' ^^—9J'^ ^ 9J — 9J" "^ il'' — 9"'- ~°'

L'équation (iG5) fournit, comme on devait s'y attendre, deux valeurs de ù, respectivement équivalentes à deux des trois quantités

lorsque deux des trois cosinus

s'évanouissent, c'est-à-dire, en d'autres termes, lorsque les plans des ondes sont perpendiculaires à l'un des axes de polarisation. Les formules (162) comprennent les suivantes