L-R)(M — R)=6RS
obtenues dans les Exercices de Mathématiques. En effet, la première des conditions (r7o) peut s'écrire ainsi
[2P + (M — 3P)][o.p + (N 3P)]^4.p2, ou
2P(Mh-N-6P) + (M-3P)(N — 3P) = o,
et, en négligeant dans le premier membre de la dernière formule le
produit
qui est une quantité très petite du second ordre, on retrouve la première des équations (169).
IH MÉMOIllE SUR LA POLARISATION RECÏILIGNE
§ IL — Axes optiques.
Nous appellerons ici axes optiques les directions que devra prendre la perpendiculaire au plan des ondes, dans un milieu doué de la double réfraction, pour que l'un des deux rayons lumineux observés se réunisse à l'autre. Or, les deux rayons ne peuvent se réunir que dans le cas où leur vitesse de propagation est la même. D'ailleurs, si l'on considère un milieu réfringent qui offre des axes de polarisation respectivement parallèles aux axes coordonnés et si l'on néglige la dispersion, la vitesse de propagation £i d'une onde plane se trouvera déterminée par la formule (58) du paragraphe I"", qui peut même être réduite, pour chacun des deux rayons lumineux, à l'équation (124) ou (i65). Donc, pour déterminer les directions des axes optiques, il suffit de chercher quelles doivent être les valeurs des trois cosinus a, b, c, pour que l'équation (58), ou (124), ou (i65) du paragraphe F'", étant résolue par rapport à 12-, fournisse deux racines égales entre elles.
Remarquons maintenant que l'équation (58) du paragraphe I*"" peut être présentée sous la forme
(1) • (.q^-vI)(.q-^-î3)(o^-q:).s = o,
la valeur de a étant la suivante
^J \QJ VR
•^'■—:^ iV—'a pj—a 2PQR
D'autre part, les racines égales de cette équation, dont le premier membre est une fonction entière de Q-, doivent vérifier non seulement l'équation elle-même, mais encore sa dérivée prise par rapport à Ù-.
Enfin, si l'on nomme s' la dérivée de §, prise par rapport à Q-, on aura
Eï LA DOUBLE RÉFRACTION. 145
et la dérivée de l'équation (i), prise par rapport à Q-, pourra s'écrire comme il suit
( [o^j3)(£2^-a:)4-(<p-a:)(î2^-a) + (-Q^-a)(i2-^-î3)].s Donc, les valeurs des cosinus
correspondant à un axe optique, devront être telles qu'on puisse satisfaire par une même valeur de Qr aux équations (i) et (4). ALiis il est impossible que les équations (i) et (4) soient vérifiées simultanément, tant que Qr ne devient pas égal à l'une des trois quantités
^, ît, (C.
Car, si O"-* diffère de chacune d'elles, l'équation (i) sera réduite à
^ = o, et, par suite, la formule (4) donnera
ou, ce qui revient au même,
{Qr—:^y (122— 13)2 "^ (12^— c)^
Or, la formule (5), dont chaque terme est positif, quand il n'est pas nul, entraînerait les trois équations
(6) <7=io, bzizo, c — o,
qui ne peuvent subsister simultanément, puisque l'on doit avoir
Donc, pour que les valeurs de a, h, c correspondent à un axe
optique, il faut que la valeur de Ù- se réduise à une ou à deux des
trois quantités
OEuvres de C. — S. I, t. II Iq
lie MÉMOIRE SUR LA POLARISATION RECTILIGNL
ou à toutes trois à la fois et vérifie, en conséquence, au moins l'une des trois formules
en offrant une racine double de l'équation (i), que l'on peut écrire comme il suit
D'ailleurs, lorsqu'on suppose vérifiée une seule des équations (7), par exemple la dernière, l'équation (8), réduite à
entraîne la suivante
c'est-à-dire une seule des équations (6); et, lorsqu'on suppose vérifiées deux des équations (7), par exemple les deux dernières, l'équation (8), que la condition
réduit alors à
(pj-C)j(^'^y'(i2^a:)
^ ^ 2PQR )-°'
ne peut offrir deux racines égales à C qu'autant que l'on a
par conséquent
b ZZZO, c =: o,
ou
et, par suite,
Donc, en définitive, pour que les valeurs de a, h, c correspondent à un axe optique, il faut qu'elles vérifient une ou deux des conditions (6), en sorte que le plan d'une onde soit parallèle à un ou à deux des axes coordonnés, c'est-à-dire à un ou à deux des axes de polarisation ; ou bien qu'elles vérifient les deux équations comprises dans la formule (i4)-
D'après ce qui a été dit dans le paragraphe P% les valeurs de Jt, 6» C sont respectivement
(i5) ■ -' !3=(R + G)a^+(^M-o.liIÎ + H^è=+(P + I)c%
('(da posé, les valeurs des rapports
pour lesquelles se vérifieront simultanément les deux équations comprises dans la formule (i4) se confondront évidemment avec les valeurs des rapports
pour lesquelles se vérifieront simultanément les trois équations
( ('L-2^-hGU2+([l4-I[)y^4-(Q + l)c^=:,,
(16) / (R + G)a;2+('M-2H -hHW'-+(P + I)^^=i,
D'ailleurs, les équations (i6) représenteront trois ellipsoïdes qui offriront le même centre, qui auront leurs axes dirigés suivant les mêmes droites et qui pourront : i° se réduire à un seul ellipsoïde; 2" se rencontrer tous les trois suivant certaines courbes; 3° se rencontrer tous les trois suivant deux, quatre ou huit points situés sur une, deux ou quatre droites, savoir : sur une droite qui coïncide avec l'un des axes coordonnés, ou sur deux droites situées dans l'un des plans coordonnés, ou sur quatre droites dont aucune ne soit renfermée dans l'un des plans coordonnés. Dans ces différents cas, tout rayon vecteur qui joindra l'origine des coordonnées avec un point commun aux trois ellipsoïdes ou à deux d'entre eux, sera dirigé parallèlement à un axe optique du milieu réfringent.
Pour que les trois ellipsoïdes représentés par les équations (iG) se réduisent à un seul, il faut que les coefficients de x- , y-, z- soient les mêmes dans la première, la deuxième ou la troisième des équations (i6) et que l'on ait en conséquence
RP
f PO
ou, ce qui revient au même,
(i8) P = Q = R, L = M=:N = 3P=:3Qi=3R.
Dans cette hypothèse, on trouve
(19) 2l = î3 = C = R-f-Ga2+H&^-+-Ic%
et chacune des formules (7) se réduit à
(20) i22=rR + G.a^+H6-+Ic%
tandis que les équations (5G) du paragraphe Y^ donnent
(21) «A + Z^B + cC = 0.
Alors la direction des axes optiques devient complètement indéterminée; en d'autres termes, une droite quelconque devient un axe optique et, quelle que soit la direction du plan de l'onde, les deux rayons lumineux observés se réunissent. Leur vitesse de propagation commune est celle que détermine la formule (20). Pour que cette vitesse devienne indépendante de la direction du plan de l'onde, ou, ce qui revient au même, des cosinus a, b, c, il faut que l'on ait
Les formules (18) et (22) ne diffèrent pas des formules (64) du paragraphe I"", c'est-à-dire des formules auxquelles nous sommes parvenus, en cherchant les conditions qui expriment que la propagation de la lumière s'effectue en tous sens suivant les mêmes l'ois autour d'un point quelconque. Quant à l'équation (21), elle exprime que, dans les milieux doués de la réfraction simple, les vibrations lumineuses sont comprises dans le plan de l'onde, par conséquent perpendiculaires à la direction du rayon lumineux.
On n'a point trouvé de milieux qui offrent une infinité d'axes optiques situés sur une même surface courbe. Il est donc inutile de s'arrêter au cas où les trois ellipsoïdes représentés par les équations (16) se rencontreraient en une infinité de points situés sur certaines courbes. Gomme on n'a pas trouvé non plus de milieux qui offrent quatre axes optiques, on peut, en admettant que les trois ellipsoïdes offrent seulement quelques points communs, se borner à considérer le cas où ces points sont au nombre de deux et situés sur l'un des axes coordonnés, ou au nombre de quatre et situés dans l'un des plans coordonnés. Mais alors on obtiendra ou un seul axe optique pour lequel se vérifieront deux des formules (6), ou deux axes optiques pour chacun desquels se vérifiera une seule de ces formules. En rapprochant ces remarques de ce qui a été dit plus haut, on conclura, en dernière analyse, que tout milieu doué de la double réfraction et dans lequel les axes de polarisation sont parallèles aux axes coordonnés, offre ou un seul axe optique pour lequel se vérifient deux des for-
150 ME^lOIRE SUR LA POLARISATION RECTILIGNE
mules (G), ou deux axes optiques pour chacun desquels se vérifie une seule de ces formules. Nous allons examiner successivement et en détail ces deux cas spéciaux, que nous présente, en effet, l'expérience dans les cristaux à un et à deux axes optiques.
Supposons d'abord que le milieu réfringent offre un seul axe optique, pour lequel se vérifient deux des formules (6), par exemple les formules (i3). En combinant l'équation (8) avec les formules (i3) et (i5), on reproduira l'équation (129) du paragraphe I"", savoir
et cette dernière, résolue par rapport à Ù-, devra fournir deux racines égalée, relatives aux deux rayons lumineux observés. D'ailleurs, les valeurs de Q-, tirées de l'équation (23) et relatives aux deux rayons lumineux, sont celles qui se réduisent à R + I, lorsque, la réfraction étant simple, les conditions (18) et (22) se trouvent remplies; c'està-dire R 4- G et Q + G. On aura donc, dans l'hypothèse admise,
ou, ce qui revient au même,
Ce n'est pas tout; comme dans les cristaux à un seul axe la marche des rayons est symétrique autour de cet axe, les valeurs de ù- relatives aux deux rayons lumineux devront se réduire à des fonctions de a et de //- -+- c^. Or, quand on pose a = o, l'équation (8) se réduit à
Qj ^ ' \V\! ^ ' 2POR
et, en la résolvant par rapport à Qr, on obtient pour l'une des racines relatives aux rayons lumineux
D'ailleurs, pour que le second membre de la formule (26) devienne
simplement fonction de />--+- c~, il faut que l'on ait
Enfin, comme il résulte de l'expérience que, dans les cristaux à un seul axe optique, les vibrations moléculaires sont pour l'un des ravons lumineux, savoir pour le rayon ordinaire, perpendiculaires à cet axe et comprises dans le plan de l'onde, on aura tout à la fois, pour ce rayon,
(28) ^ = o- et br,-\-c'C, — o, par conséquent
(29) , A = o, ^B+cC — o,
et de ces dernières formules, jointes à la condition (24) et aux équations (56) du paragraphe I"', l'on tirera
(30) 9J~'<& — o, 9J — € — o; par conséquent
En vertu des formules (i5), l'équation (3i) donnera
et, comme la formule (32) devra subsister indépendamment des valeurs attribuées aux rapports
on en conclura
ou. ce qui revient au même,
Les formules (33) et (27) comprennent l'équation (24) avec la suivante
et s'accordent, en conséquence, avec les formules (107) du paragraphe P"", c'est-à-dire avec les conditions qui expriment que la propagation de la lumière s'effectue en tous sens, suivant les mêmes lois, autour de tout axe parallèle à l'axe des a?. Lorsqu'on suppose ces conditions remplies, les formules (i5) donnent simplement
et l'équation (8) se réduit à
(36) (i2^C)[^^Ji2-^-(Ê) + ^^^(.Q^-a)-
