PR

Or, l'équation (36) se décompose évidemment en deux autres, dont l'une,

se contond avec la formule (3i) et se rapporte au rayon ordinaire; tandis que l'autre,

fournit la valeur de £1- relative au rayon extraordinaire. Comme cette dernière valeur de Q- doit peu différer de ^ et de C, elle doit correspondre à de très petites valeurs des différences

£2^ — 3, iP—€.

En considérant ces différences comme très petites du premier ordre et négligeant dans le premier membre de l'équation (38) les quantités du second ordre, par conséquent le troisième terme proportionnel au produit de ces mêmes différences, on verra cette équation se réduire à

puis, en multipliant la formule (39) par P- et ajoutant au premier membre le produit du second ordre

on trouvera définitivement

(4o) «2(Ç22— (C). + (^2+c2)(Q2:jl) = o.

L'expérience prouve que, dans les cristaux à un seul axe optique, la vitesse de propagation de la lumière est, pour le rayon ordinaire, indépendante de la direction du plan de l'onde. Donc alors la valeur de ù- fournie par l'équation (3;), savoir

OU

doit être indépendante de la direction du plan de l'onde et rester la même, quel que soit a; ce qui entraine la condition

Cela posé, en désignant par £1" la vitesse de propagation de la lumière dans le rayon ordinaire, on aura

Si l'on nomme d'ailleurs Ù' la vitesse de propagation de la lumière, dans le rayon extraordinaire, lorsque le plan de l'onde passe par l'axe

OEuvres de C. — S. I, t. II. 20

loV MÉMOIRE SUR LA POLARISATION RECTILIGNE

des X, ù:- sera, en vertu de la formule (4o), la valeur de Jt correspondant il

ar=o, ^--i-c-=:r.

On aura donc, eu égard à la première des équations (35),

(43) i2'2=i:R + L Cela posé, si l'on fait pour abréger

les formules (35) et (4o) donneront

On se trouvera ainsi ramené aux équations (i53), (i54) du paragraphe I*'"; puis, en désignant par A l'angle formé par la perpendiculaire au plan d'une onde avec l'axe des x, on obtiendra de nouveau la formule

(47) 9?=9!"- cos^}. + 9J^ sin2}.'-+- 0' sin->. cos'-)., relative au rayon ordinaire et qui se réduit à

(48) . 9J=9J'''coin + 9J'^\nn,

lorsque, pour la faire accorder avec les résultats de l'expérience, on suppose

Considérons maintenant un milieu, dans lequel les valeurs de a, h, c, relatives à chacun des axes optiques, vérifient une seule des formules (6); par exemple la formule

Si l'on a égard aux remarques énoncées à la fin du paragraphe P'' et si, en conséquence, on suppose vérifiées les conditions (r42) et (idg) de ce même paragraphe, on pourra, en négligeant les quantités du même ordre que les carrés des différences

remplacer l'équation (8) par l'équation (i65) du paragraphe 1"', ou, ce qui revient au même, par la suivante

H\ ù', O'" désignant trois quantités qui, prises deux à deux, représenteront les vitesses de propagation des deux espèces d'ondes, dont les plans seront parallèles à l'un des plans coordonnés. D'ailleurs, on tirera, de l'équation (5 1) jointe à la formule (5o),

et, pour que les valeurs de a, h correspondent à un axe optique, il faudra qu'elles rendent égales entre elles les deux valeurs de 12fournies par l'équation (5'->), ou, ce qui revient au même, il faudra que l'on ait -

Enfin, si l'on nomme A l'angle formé par l'axe optique dont il s'agit, avec l'axe des ^, l'équation (53) deviendra

et l'on en tirera

(oo) =r lane:-A — •

^ cos^A *= '''— 9"'-^^ii'i>

par conséquent

(56) tangA — ±t/ ~ ^^ .

Les deux valeurs de tangA déterminées par l'équation (56) correspondent évidemment à deux axes optiques, qui seront situés l'un et l'autre dans le plan des x,y, en vertu de la formule (5o), et formeront entre eux des angles divisés en parties égales, soit par l'axe des x, soit par l'axe des y. D'autre part, comme en vertu de la formule (55) le rapport

(57) ^n-i ç^tii

devra être positif, les deux axes optiques ne pourront être compris, ainsi qu'on l'a supposé, dans le plan des x, y qu'autant que la valeur de Q:"^ sera moyenne entre les valeurs de û'^ 12"^ et, par suite, la valeur de Ql" entre celles de 12', £2". Donc, parmi les plans coordonnés, le seul qui pourra renfermer deux axes optiques sera le plan parallèle aux deux systèmes d'ondes planes qui auront pour vitesses de propagation la plus petite et la plus grande des trois quantités

Supposons, maintenant, que les trois cosinus a, b, a correspondent non plus à un axe optique, mais à une autre droite qui forme avec l'axe des X l'angle X. Si cette droite est comprise dans le plan des x, y, on pourra prendre

(58) a = cosX, 6 = siiiX, c = o,

et les vitesses de propagation des ondes perpendiculaires à cette même droite auront pour carrés les deux valeurs de Qr fournies par l'équation (52). D'ailleurs, on tirera, de cette équation jointe aux formules (54) et (58),

et la droite située dans le plan des x, y, de manière à former avec l'axe des X l'angle X, formera évidemment avec les axes optiques deux

angles [x, v, qui pourront être censés déterminés par les formules

(60) fjL — X — A, v = X-^A.

Cela posé, on pourra prendre

et les équations (59)deviendront

i2^ = £2"2 cos2 'i^:^ + 9J-' s\n' ^^^tJf . !^ -^ 2

Au reste, il est aisé, comme on va le voir, d'étendre les formules (62 ) au cas même où la droite perpendiculaire au plan d'une onde et correspondant aux trois cosinus a, b, c, ne serait pas comprise dans le plan des x,y. En effet, soient, dans tous les cas possibles,

jjL et V

les angles formés par cette droite avec les axes optiques. Les cosinus des angles que formeront, avec les demi-axes des coordonnées positives, d'une part la droite en question, d'autre part le premier et le second des axes optiques, seront respectivement

cosA, sinA, o, cosA, — sinA, o;

par conséquent, on pourra prendre

(63) cosfj!. — acosA + Z^siiiA, cosv r= acosA — 6 sin A,

et l'on en conclura

.Z./X i COSV-^COSfJL , . . COSV — COSf/.

(64) acosA= —^ 6sinA= ^

158 MÉMOIRE SUR LA POLARISATION RECTILIGNE D'ailleurs, de l'équation (5i), jointe à la formule

on tirera

et, comme on tirera de la formule (54)

(66) i2'"2--Q'^=(„Q"^-i2'^)cos2A, -O'"^- 12"^= (ii'^- £2"^) sin^V;

par conséquent, eu égard aux formules (64),

'cosv -f- COS/J.

è2(f^'"2 Çyf>\ __ /^'2 f2"M/ — ^'^ ^OSfz

l'équation (65) pourra être réduite à

(^,,/cosv + cosf/y ^^ /cosjjL — cosvy]

Si, dans l'équation (68), on pose pour abréger

et, par suite.

elle donnera