ET EX PARTICULIER SUR CELLES QUI CONDUISENT

AUX LOIS DE LA RfiFLLXION ET DE LA RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE (').

Mémoires de l'Jcadémie des Sciences, t. XXII, p. 17; i85o.

Comme j'en ai fait ailleurs la remarque, la solution des questions les plus importantes de la Physique mathématique dépend surtout des équations relatives aux limites des corps considérés comme des systèmes de molécules. La recherche de ces conditions est indispensable, par exemple, quand on se propose d'appliquer l'analyse aux phénomènes que présentent les vibrations des plaques élastiques, la transmission du son d'un milieu dans un autre ou bien encore la réflexion et la réfraction de la lumière. D'ailleurs, dans ces divers phénomènes, les lois recherchées par les physiciens sont ordinairement celles qui se rapportent à des mouvements infiniment petits, représentés par des équations linéaires aux diff'érences partielles ou même aux différences mêlées et à coefficients constants. Enfin, tout mouvement vibratoire de cette nature, propagé dans un milieu homogène, ou se réduit à l'un de ceux que j'ai nommés mouvements simples, ou du moins peut être censé résulter de la superposition d'un nombre fini ou infini de mouvements simples. Donc, ce qu'il importe surtout d'étudier, ce sont les lois suivant lesquelles un mouvement simple se modifie en passant d'un milieu dans un autre.

(1) Présenlé à l'Académie, le 'i\ juillet 1848.

Or, dans tout mouvement simple, les déplacements symboliques de chaque point matériel, c'est-à-dire les variables imaginaires, dont les . parties réelles représentent les déplacements effectifs de ce point, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, sont les produits de certains coefficients relatifs à ces axes par une exponentielle généralement imaginaire, dont l'exposant est une fonction linéaire des coordonnées et du temps.

Cela posé, considérons deux milieux, séparés l'un de l'autre par une surface plane, que nous supposerons perpendiculaire à l'axe des a? et que nous prendrons pour le plan des r, z, chaque milieu étant d'ailleurs homogène et pouvant contenir un ou plusieurs systèmes de points matériels. Parmi les mouvements simples qui pourront se propager, soit dans le premier, soit dans le second milieu, on devra surtout distinguer ceux qui ne différeront les uns des autres qu'en raison du coefficient par lequel l'abscisse x, c'est-à-dire la distance d'un point matériel à la surface de séparation des deux milieux, se trouvera multipliée dans l'exposant de l'exponentielle ci-dessus mentionnée. Ces mouvements, que nous avons nommés correspondants, ont entre eux, comme nous l'avons vu, des relations dignes de remarque. En effet, deux mouvements simples correspondants sont toujours deux mouvements isochrones, c'est-à-dire deux mouvements où les vibrations moléculaires s'effectuent dans le même temps. De plus, ils propagent des ondes planes dont les traces sur la surface de séparation sont parallèles à une même droite. Enfin, les longueurs d'ondulation dans ces deux mouvements sont proportionnelles aux sinus des angles formés par les plans des ondes avec la même surface. Or, une première loi de réflexion et de réfraction peut être facilement saisie d'après les considérations précédentes. Suivant cette première loi, que j'ai démontrée dans mes Exercices d' Analyse et de Physique mathématique, si un mouvement simple, propagé dans le premier milieu, pénètre la surface de séparation et donne ainsi naissance à des mouvements réfléchis et réfractés, tous ces mouvements incidents, réfléchis, réfractés, seront des mouvements correspondants.

Dans l'application de cette première loi, il y a une remarque importante à faire. Lorsqu'un mouvement simple qui se propage sans s'affaiblir est du nombre de ceux que comporte un milieu donné, la propagation peut avoir lieu dans deux sens différents, opposés l'un à l'autre; mais, s'il s'agit d'un mouvement réfléchi ou réfracté par la surface de séparation de deux milieux, la propagation devra s'effectuer dans un sens tel que les ondes réfléchies ou réfractées s'éloignent de plus en plus de la surface réfléchissante. Cette loi, indiquée par l'expérience et que l'on pourrait, en quelque sorte, considérer comme évidente par elle-même, se trouve aussi indiquée par le calcul. Si un mouvement réfléchi ou réfracté, au lieu de se propager sans s'affaiblir, était du nombre de ceux qui s'éteignent en se propageant, les vibrations devraient, non pas croître, mais diminuer pour des valeurs croissantes de la distance à la surface. Cette dernière condition est nécessaire pour que les vibrations réfléchies ou réfractées deviennent très petites à de grandes distances et que le mouvement ne cesse pas d'être, suivant l'hypothèse admise, infiniment petit.

La loi générale que je viens de rappeler suffit pour déterminer les directions des ondes planes, liquides, sonores, lumineuses qui peuvent être réfléchies ou réfractées par la surface de séparation de deux milieux isotropes ou non isotropes. Elle détermine, en conséquence, les directions des rayons lumineux réfléchis ou réfractés, soit par les surfaces extérieures des corps transparents ou opaques, soit par la surface intérieure d'un corps transparent.

On conclut de cette loi que, dans les milieux isotropes ou isophanes, l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence, et qu'alors aussi, pour une longueur d'ondulation donnée, le sinus de réfraction est au sinus d'incidence, suivant la règle trouvée par Descartes, dans un rapport constant. Enfin, la même loi fournit immédiatement les règles établies par Malus et par M. Biot pour la détermination des rayons réfléchis par la seconde surface des cristaux à un ou à deux axes optiques et montre comment ces règles doivent être modifiées dans le cas où les milieux donnés sont doués l'un et l'autre de la double réfraction.

Parlons maintenant des lois qui déterminent, non plus les directions des ondes planes réfléchies et réfractées, mais la direction et les amplitudes des vibrations moléculaires dans ces mêmes ondes, par conséquent, le mode de polarisation et l'intensité de la lumière réfléchie ou réfractée par la surface d'un corps transparent ou opaque. La recherche de ces lois sera plus ou moins compliquée, suivant les données du problème; et, pour ce motif, il convient de traiter l'un après l'autre les deux cas bien distincts qui peuvent se présenter, savoir : le cas où chacun des milieux que l'on considère renferme un seul système de points matériels et le cas où plusieurs systèmes de points matériels se trouvent contenus dans chaque milieu.

Considérons d'abord le cas où deux milieux de nature diff*érente, mais dont chacun renferme un seul système de points matériels, se trouvent séparés l'un de l'autre par le plan des j, z. Concevons, d'ailleurs, que de part et d'autre de ce plan on mène deux plans parallèles à des distances très petites, mais cependant supérieures au rayon de la sphère d'activité sensible de deux molécules; et construisons un cylindre droit dont les bases soient comprises dans ces mêmes plans. Si les dimensions de chaque base, en demeurant très petites en elles-mêmes, sont néanmoins très considérables par rapport à la hauteur du cylindre, les pressions totales supportées par les deux bases du cylindre seront sensiblement égales, et l'on pourra en dire autant des variations que ces pressions totales subiront dans un mouvement infiniment petit. Par suite, si chacun des milieux donnés est homogène et si des mouvements simples propagés dans ces milieux offrent des longueurs d'ondulations notablement supérieures au rayon de la sphère d'activité sensible de deux molécules, les pressions, non plus totales, mais partielles, supportées par les deux bases du cylindre en deux points correspondants, situés sur une droite perpendiculaire au plan des j, z, seront deux forces sensiblement égales, dirigées suivant des droites parallèles, mais en sens contraires et l'on pourra en dire autant des pressions que subira sur ses deux faces le plan des 7, -, c'est-à-dire la surface de séparation des deux milieux, ces

dernières pressions et leurs variations étant calculées comme si la constitution de chaque milieu n'éprouvait aucune modification dans le voisinage de cette surface. Le principe qui consiste à égaler ainsi entre elles, mais sous la condition ci-dessus rappelée, les pressions intérieure et extérieure supportées par la surface de séparation de deux milieux, se trouvait déjà exposé dans un Mémoire que j'ai présenté à .l'Académie en i843. ( Voir les Comptes rendus des séances de V Académie desSciences, t. XVI, p. i5i)('). Ce principe fournit immédiatement trois conditions relatives à la surface de séparation des deux milieux que l'on considère. Ces trois conditions sont effectivement celles que l'on emploie dans la théorie des corps élastiques, où l'on suppose que chaque milieu renferme un seul système de points matériels. Elles deviendront insuffisantes, si chaque milieu renferme un ou plusieurs systèmes de points matériels, comme il arrive dans la théorie de la lumière ou dans des cas semblables dont nous allons maintenant nous occuper. Supposons, pour fixer les idées, que les deux milieux séparés l'un de l'autre par le plan des j, z- soient deux corps solides ou fluides dont chacun renferme deux systèmes de molécules, savoir : ses molécules propres et les molécules de l'éther ou du fluide lumineux. Supposons encore, pour simplifier les calculs, que l'on réduise chaque molécule à un point matériel. Les équations des mouvements infiniment petits propagés dans chaque corps renfermeront six inconnues, qui représenteront les déplacements infiniment petits des molécules de ce corps et des molécules de l'éther, mesurés parallèlement aux axes coordonnés. De plus, les pressions supportées en un point donné de chaque corps par un plan quelconque ou plutôt leurs composantes parallèles aux axes coordonnés, s'exprimeront en fonction de ces déplacements et de leurs dérivées partielles; et, si l'on néglige dans le calcul les actions exercées ou subies par les molécules éthérées, le principe de l'égalité entre les pressions intérieure et extérieure supportées par le plan des j, z fournira, pour les points situés dans ce plan, entre les déplacements correspondants des molécules des deux

(') Œuvres de Cauchj, S. I, T, VII, p. 246.

corps, des équations de condition qui conduiront à des résultats confirmés par l'expérience. Mais ces équations de condition, considérées isolément, ne sauraient en aucune manière fournir une idée des modifications qu'éprouveront, en vertu de la réflexion et de la réfraction, les directions et les amplitudes des vibrations lumineuses, par conséquent, une idée du mode de polarisation ou de l'intensité des rayons réfléchis ou réfractés : car les valeurs approchées des termes que l'on négligeait dans une première approximation ne pourront se déduire des équations mêmes dans lesquelles on les omettait d'abord. Mais, pour retrouver les conditions auxquelles devront satisfaire, sur la surface de séparation des deux corps, les trois déplacements d'une molécule d'éther, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, il suffira de considérer les molécules d'éther comprises dans les deux corps comme formant un système unique de molécules, et d'admettre que, dans le mouvement de ce système, les déplacements moléculaires, et leurs dérivées prises par rapport à l'abscisse x, ou du moins celles de ces dérivées que ne déterminent pas les équations différentielles des inouvements infiniment petits, varient par degrés insensibles avec cette même abscisse. Ce dernier principe, qu'on peut appeler le principe de la continuité du mouvement dans le fluide éthéré, étant joint non seulement au principe de V égalité des pressions intérieure et extérieure supportées en un point quelconque par la surface de séparation des deux corps, et à la condition sous laquelle celui-ci était admis, mais encore à la loi qui détermine la direction et la vitesse de propagation des ondes planes réfléchies et réfractées, permettra effectivement d'établir les diverses formules qui feront connaître, après la réflexion et la réfraction du mouvement simple, la nature et les propriétés des divers mouvements réfléchis ou réfractés. Disons maintenant quelques mots de l'analyse à l'aide de laquelle on pourra construire ces mêmes formules.

Après avoir établi, pour l'un des corps donnés, les équations qui représentent les mouvements infiniment petits des molécules de ce corps et des molécules de l'éther, éliminons de ces équations toutes

18V MÉMOiiu: son les conditions

les inconnues, à l'exception d'une seule. On obtiendra ainsi l'équation caractéristique à laquelle devra satisfaire chacune des inconnues, et l'on pourra, dans cette équation caractéristique, remplacer les symboles de dérivation relatifs au temps t et aux coordonnées x, r, z par les quatre coefficients qui affectent ces quatre variables dans l'exponentielle imaginaire qui caractérise un mouvement simple. Alors l'équation caractéristique exprimera la relation qui, pour tout mouvement simple, propagé dans le corps dont il s'agit, subsiste entre ces quatre coefficients. Si le corps donné est isotrope, l'équation caractéristique renfermera seulement, avec le coefficient relatif au temps, la somme des carrés des coefficients relatifs aux coordonnées, ou, ce qui revient au même, le carré d'un nouveau coefficient. Elle pourra donc être considérée comme établissant une relation entre les deux coefficients qui caractérisent un mouvement simple isotrope. Si, d'ailleurs, le mouvement simple et isotrope est du nombre de ceux qui se propagent sans s'affaiblir, les deux coefficients en question seront réciproquement proportionnels à la durée des vibrations lumineuses et à l'épaisseur des ondes planes, ou, ce qui revient au même, à ce qu'on nomme la longueur des ondulations.

Observons, maintenant, que les mouvements simples propagés dans l'un ou l'autre corps et caractérisés comme on vient de le dire, seront de deux espèces. Parmi ces mouvements, les uns disparaîtraient avec les molécules des deux corps, les autres avec les molécules de l'éther. Or, pour obtenir, du moins avec une certaine approximation, d'une part, les lois des mouvements simples propagés dans les deux corps, d'autre part, les lois des mouvements simples propagés dans l'éther, il suffira évidemment de réduire ces mouvements, dans le premier cas, à des mouvements de première espèce, c'est-à-dire à des mouvements qui continueraient de subsister si l'éther venait à disparaître; dans le second cas, à des mouvements de seconde espèce, c'est-à-dire à des mouvements qui continueraient de subsister si les corps venaient à •disparaître; et de tirer les conditions relatives à la surface de séparation des deux corps, dans le premier cas, du principe de l'égalité des

pressions intérieure et extérieure supportées par cette surface, dans le second cas, du principe de la continuité du inouvement dans l'éther. Ajoutons que, les lois de la réflexion et de la réfraction des mouvements simples étant une fois trouvées, avec les équations de condition relatives à ces mouvements et aux points situés sur la surface de séparation des deux milieux, on pourra, eu égard aux notations que nous avons adoptées, étendre facilement ces équations de condition au cas où l'on considérerait des mouvements infiniment petits quelconques. Pour y parvenir, il suffira ordinairement de remplacer, par des symboles de dérivation relatifs au temps et aux coordonnées, les coefficients par lesquels ces quatre variables se trouvent multipliées dans l'exponentielle imaginaire qui caractérise chaque mouvement simple.

L'expérience confirme l'exactitude des conclusions ci-dessus énoncées, et semble même démontrer que l'approximation à laquelle on arrive en opérant comme nous venons de le dire est très considérable. Car la plupart des lois remarquables découvertes par le calcul, et vérifiées par l'observation dans la Physique mathématique, peuvent s'établir de cette manière, ainsi que je l'expliquerai plus en détail dans une série de Mémoires qui suivront celui-ci.

Pour montrer une application de la méthode que je viens d'exposeià un exemple utile, concevons que l'on cherche les lois suivant lesquelles un rayon lumineux et simple est réfléchi et réfracté par la surface de séparation de deux corps isophanes dont les molécules sont réduites, avec celles de l'éther, à des points matériels. Alors, dans chaque mouvement simple, les vibrations moléculaires seront ou transversales, c'est-à-dire comprises dans les plans des ondes, ou non transversales ('). Alors aussi l'équation caractéristique établira une relation entre les carrés des coefficients X-, s qui caractérisent un mouvement simple isotrope, et qui, dans le cas où le mouvement se propage sans s'afl*aiblir, sont réciproquement proportionnels, d'une part, à l'épaisseur des ondes planes, d'autre part, à la durée des vibrations

(' ) Pour plus d'exactitude, nous substituons ici les mots non transversales- aux mots longitudinales, c'est-à-dire perpendiculaires à ces plans, qui se trouvaient dans le manuscrit.

OEiwres de C. — S. I, f. II. 2^

moléculaires. Ajoutons que cette équation caractéristique du huitième degré, par rapport à s, se décomposera immédiatement en deux équations du quatrième degré, qui répondront la première, à des mouvements simples à vibrations transversales, la seconde, à des mouvements simples à vibrations non transversales. Remarquons, enfin, que chaque mouvement simple pourra se propager en deux sens opposés auxquels correspondront deux valeurs de s qui ne se différeront que par le signe. Cela posé, aux quatre valeurs de s^ que fourniront les deux équations du quatrième degré, correspondront quatre mouvements simples, dont deux seulement subsisteront si les molécules des .deux corps viennent à disparaître. D'ailleurs, ces deux derniers mouvements, qui offriront, l'un des vibrations transversales, l'autre des vibrations non transversales, seront précisément ceux dont il faudra tenir compte pour déduire du principe de la continuité des mouvements dans l'éther les équations de condition relatives à la surface de séparation des deux corps.

Lorsque, dans les équations de condition ainsi obtenues, on néglige les termes qui proviennent des actions exercées par les molécules des deux corps, ces équations reprennent, ainsi qu'on devait s'y attendre, la forme sous laquelle elles se sont présentées dans mes précédents Mémoires.

J'observerai, en finissant, que M. Laurent, auquel j'ai parlé de mes nouvelles recherchés, m'a dit avoir de son côté obtenu, par des procédés que j'ignore, des équations de condition relatives aux surfaces des corps, et spécialement applicables à la théorie de la chaleur. Il m'a dit encore que sa méthode fournissait un nombre d'équations égal au nombre des miennes. J'ai dû faira ces observations, non seulement dans l'intérêt de M. Laurent, mais aussi dans l'intérêt de la Science, qui gagne toujours à ce que les questions délicates soient éclairées par des discussions approfondies; 6t il est à désirer que cet habile géomètre, dont plusieurs fois l'Académie a eu déjà l'occasion d'apprécier tout le mérite, fasse bientôt connaître les résultats des recherches nouvelles qu'il a entreprises sur les divers points de la Physique mathématique.

MEMOIRE

SUR