r--^ + j- +;■■'— 12'- ib t y
\ il^—91"-' '~~ 9. x-"^ y- -i- z"-— 12'"=' C- En vertu de ces dernières équations, la formule (i4) donnera
('8) — T^^—, -FJ-.f-^-"^— T- -, c^.^-^— T^^-l ÔF?^"=I-
L'équation (i8) est précisément celle qui représente la surface des ondes. Lorsqu'on y fait disparaître les dénominateurs, le terme
qui est du sixième degré, se trouve écrit dans les deux membres et, en l'effaçant, on obtient l'équation du quatrième degré, donnée par Fresnel, savoir
or THE
UNlVERSiTY
OF
Si l'on coupe la surface des ondes par l'un des plans coordonnés, par exemple par le plan des x,y, on aura
et, par suite, on vérifiera l'équation (i8) ou (19), soit en prenant (20) x^ + y'=^'"t\
afin que le troisième des termes renfermés dans le premier membre de la formule (t8) se présente sous la forme -:. soit en posant
ou, ce qui revient au même,
(21) çr-^'^tF-^^'-
Donc, la surface des ondes, coupée par le plan des œ, y, donnera pour sections un cercle dont le rayon sera
et une ellipse dont les demi-axes, respectivement parallèles aux axes des a; et des y, seront
9"i et ^'t.
Donc, les sections faites dans la surface par les trois plans coordonnés, se réduiront, dans chaque plan, à un cercle et à une ellipse, les rayons des trois cercles étant
^'t, ^"t, PJ't,
et chaque ellipse ayant pour demi-axes les rayons des cercles non situés dans son plan.
On a vu avec quelle facilité l'équation de la surface des ondes se déduit de la méthode exposée dans ce paragraphe. J'ignore si cette méthode diffère ou non de celle que M. d'Ettingshausen m'a dit avoir substituée avec avantage à l'analyse dont je m'étais servi pour le même objet dans mes Exercices de Mathématiques.
MEMOIRE
SUR
ET
LA QUADRATt)RE DES SURFACES COURBES (').
Mémoires de l'Académie des Sciences, t. XXIf, p. 3; i85o.
Les formules que j'ai récemment obtenues pour la résolution directe des équations de tous les degrés et qui sont mentionnées dans la Gazette piémontaise du 22 septembre, fournissent les moyens, non seulement de développer dans tous les cas en séries convergentes les racines réelles l)u imaginaires d'une équation donnée, mais encore de fixer les limites des erreurs commises quand on arrête les séries convergentes après un certain nombre de termes. Or, la fixation de ces limites est fondée en partie sur quelques théorèmes relatifs à la rectification des courbes et dont la connaissance peut être fort utile dans un grand nombre de questions diverses, ainsi que dans la Géométrie pratique. Je vais énoncer, en peu de mots, ceux qui me paraissent les plus dignes d'être remarqués.
Théorème \. — p désignant l'angle polaire que forme une droite 00', tracée à volonté dans un plan 000", avec un axe fixe, S le système d'une ou de plusieurs longueurs mesurées sur une ou plusieurs lignes droites ou courbes, fermées ou non fermées, A la somme des projections absolues des divers éléments de S sur la droite 00' et tz le rapport de la
(') Présenté le 2->. octobre i83'Jt.
circonférence au diamètre, on aura
Démonstration. — On démontre ce théorème en considérant d'abord le cas où l'on remplacerait les quantités S, A par une longueur rectiligne s et par la projection a de cette longueur sur la droite 00', puis en décomposant, dans le cas contraire, les longueurs S, A en éléments infiniment petits et correspondants.
Corollaire. — Lorsque S représente une longueur rectiligne, la quantité A se réduit à la projection absolue de cette longueur sur la droite 00'. Lorsque S représente une courbe fermée et convexe, en sorte qu'elle ne puisse être coupée par une droite en plus de deux points, A se réduit au double de la projection de cette courbe sur 00'.
Exemples. — Si 5 représente la circonférence d'un cercle décrit avec le rayon R, A sera évidemment le double du diamètre. On aura donc
et la formule (i) donnera
S— f ■Rdp = 2Tin.
Si 5" représente le périmètre de l'ellipse dont les demi-axes a, h sont le premier parallèle, le second perpendiculaire à l'axe fixe, on aura
^1 = 4 v/<^'' cos*/> -h ^>* sin-yy, ■5=/ V^a^ cos'jw 4- b- sin^/? dp;
Etc.
Théorème II. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent : soient menées, par un point du plan 00' 0", n droites qui comprennent entre elles des angles égaux et nommons J/ la moyenne arithmé-
tique entre les n valeurs de A correspondant à ces n droites. On aura sensiblement, pour de grandes valeurs de n,
et l'erreur que l'on commettra en prenant le produit -r, M pour valeur de S sera inférieure au rapport qui existe entre ce produit et le carré de n, c'est-à-dire à
I TlM
pourvu que le nombre entier n surpasse i.
Démonstration. — Ce théorème se déduirait sans peine du précédent et peut encore se démontrer de la manière suivante : Soient
^ une longueur rectiligne ;
a sa projection absolue sur la droite 00';
Lf. la moyenne arithmétique entre les n valeurs de a qui correspondent
aux n droites mentionnées dans le théorème II; inu, sera la somme des projections absolues de s sur les in côtés d'un
polygone régulier, parallèles deux à deux à ces mêmes droites, ou.
ce qui revient au même, nu, sera la projection sur un de ces côtés
d'un polygone régulier semblable au premier, mais qui aurait pour
côté la longueur s.
Or, si l'on nomme R le rayon du cercle circonscrit à ce dernier polygone, son apothème sera
R cos — in
et son côté
s =r 2 /f SI II :
tandis que sa projection sur une droite quelconque sera comprise entre le diamètre du cercle circonscrit et le diamètre du cercle inscrit.
OEuvres de C. — S. I, t. II.
170 IMÉMOIHE SUK LA RECTIFICATION DES COURBES
c'est-à-dire entre les limites
71 2/1 ^ Tl
sin — . laiig- —
Donc nu, sera compris entre ces limites et s entre les suivantes
(4) /lasui — > /iatang — j
* qui, pour de grandes valeurs de n, se réduisent sensiblement à
(5) -TTfZ.
Ajoutons que, si l'on prend l'expression (5) pour valeur approchée de s, l'erreur commise sera inférieure au produit de cette expression par la plus grande des différences
sin — tang — 2/1 2/1
et que ces deux différences, pour /ï>3, deviennent l'une et l'autre inférieures à — r- Effectivement, si l'on nomme 0 un nombre compris entre les limites o, i, on aura, en vertu de formules connues,
co'bBx I /sin^ \ cos9x
's,\nx :=z X — X' — - — , I =
puis on conclura, en posant ^c = -^5
— rCOS9x < — 7 < I.
D'autre part, le développement de tang^ suivant les puissances ascendantes de x ne renfermant que des termes positifs pour x^o
et subsistant pour toutes les valeurs de x inférieures à ^, la fonction
I 7 tanffjr
croîtra avec x depuis x = o jusqu'à ^ = - et, par suite, le produit
décroîtra pour des valeurs croissantes de n. Or, pour rt = 3, ce produit devient
Le théorème II étant ainsi démontré pour le cas particulier où la quantité S se réduit à une longueur rectiligne s, il suffira, pour le démontrer dans le cas contraire, de décomposer 5 en éléments infiniment petits.
Corollaire I. — La valeur approchée de S étant calculée à l'aide de la formule (2), l'erreur commisQ ne dépassera pas la neuvième partie de cette valeur si l'on prend n = 3, la vingt-cinquième partie si l'on prend « = 5 et la centième partie si l'on prend /^ = 10. Dans le premier et le second cas, M sera la moyenne arithmétique entre les sommes des projections des éléments de 5 sur trois ou cinq droites respectivement parallèles aux côtés d'un hexagone ou d'un décagone régulier.
Exemple. — Si la longueurs est égale et parallèle à l'un des côtés
d'un hexagone régulier, on trouvera M = ^S et, par suite.
Or, la différence entre le nombre 1,047... et l'unité est effectivement inférieure ii -•
Corollaire II. — Si le nombre n devient infini, on aura évidemment
j A dp ^
(0) M='-^^ = — f Adp,
fdp ■^^^-^
et la formule (2) se réduira, comme on devait s'y attendre, à la formule (i).
On déduit immédiatement du théorème II un troisième théorème, qu'on peut énoncer comme il suit :
Théorème III. — Si, dans l'intérieur d'un cercle décrit avec le rayon R, on trace une ou plusieurs courbes fermées et si le système de ces courbes ne peut être traversé par une même droite en plus de im points, la somme des contours ou périmètres de ces courbes ne dépassera pas le produit de la circonférence ir^R par le nombre m.
Démonstration. — En effet, dans l'hypothèse admise, on aura évidemment, quel que soit/?,
A < 2ni.2B,
et, par suite, la formule (2) donnera
(7) S <i m.2TcB.
Corollaire. — Si S se réduit au périmètre d'une courbe convexe, on aura, m = i,
Des théorèmes, analogues à ceux qui précèdent, peuvent être appliqués à la quadrature des surfaces courbes et démontrés de la même manière. Nous nous contenterons d'énoncer ici l'un d'entre eux, duquel tous les autres se déduisent facilement.
Théorè31k IV. — p désignant l'angle formé par une droite quelconque 00' avec un axe fixe OP, q V angle formé par le plan des droites OP, 00' avec un plan fixe qui renferme la première, S le sys-
tème d'une ou de plusieurs surfaces planes ou courbes et A la somme des projections absolues des divers éléments de S sur un plan HIK perpendiculaire à la droite 00', on aura
(o) 5 = — / / Aslnpdpdrj.
Corollaire. — Lorsque S représente une surface plane, la quantité A se réduit à la projection absolue de cette surface sur le plan HIK. Lorsque S représente une surface fermée et convexe, en sorte qu'elle ne puisse être coupée par une droite en plus de deux points, A se réduit au double de la projection de cette surface sur le plan HIK.
Exemple. — Si 5 représente la surface de l'ellipsoïde qui a pour
équation
éC' y^ Z'
(lo) -J + '"m -+- 7^ " ' '
A sera la section transversale du cylindre circonscrit à l'ellipsoïde et dont les arêtes sont parallèles à la droite 00'. Soient R le rayon de l'ellipsoïde parallèle à la droite 00' et a, ê, y les angles formés par cette droite avec les deux axes des coordonnées positives. On aura
(il) cosa=:cos/?, cosê=: sin/;>cos^,- cosy = sin/)sinç',
I cos^a cos-ê cos-y ^ ' W a- b- c-
et l'équation du cylindre ci-dessus mentionné deviendra
Or, la section faite dans le cylindre par le plan des a;, r étant l'ellipse qui a pour équation
y cosê"^ *
la surface de cette section sera
Tzabc y?cosy
et, par conséquent, l'aire de la section faite par un plan perpendiculaire aux arêtes sera
'Kabc On aura donc
(i4) A= ^ , S = abc- / '-j^
dq
Dans le cas particulier où l'ellipsoïde se réduit à une sphère, on a
et, par suite, comme on devait s'y attendre,
/ s'inp dp dq =: ^zR-.
Ajoutons que si, dans la seconde des formules (i4), on substitue la valeur de fi tirée des formules (ii) et (12), on pourra effectuer dans tous les cas l'intégration relative h p et réduire ainsi la valeur de 5 à une intégrale simple. L'intégration s'effectuera complètement, si l'ellipsoïde est de révolution.
Post-scriptum. — On pouiTait donner du théorème IV une démonstration analogue à celle du théorème I, en considérant d'abord le cas où l'on remplacerait les quantités 5, .4 par une surface plane s et par la projection a de cette surface sur le plan HIK; puis, en décomposant, dans le cas contraire, les surfaces S, A en éléments infiniment petits et correspondants. On peut aussi déduire le théorème IV d'une proposition analogue au théorème II et dont voici l'énoncé :
Théorème V. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème IV, construisons un polyèdre convexe, dont les faces équivalentes entre elles soient comprises entre deux sphères concentriques décrites avec les rayons
r, /*(! + £), £ désignant une quantité positive et nommons M la moyenne arithmétique
entre les n valeurs de A , correspondant aux plans de ces mêmes faces. On aura sensiblement, pour de petites valeurs de t,
et l' erreur que Von commettra en prenant 2 M pour valeur approchée de S, sera inférieure au produit de iM par la différence
Démonstration. — Soient
s une surface plane renfermée dans un plan quelconque; a la projection absolue de s sur le plan d'une face du polyèdre; u, la moyenne arithmétique entre les n valeurs de a qui correspondent aux plans des différentes faces.
Si la surface s est équivalente à l'aire ç de chaque face du polyèdre,
a représentera non seulement la projection absolue de s sur le plan
d'une face, mais aussi la projection de cette face sur le plan de s et,
par suite, /^ a sera le double de la projection absolue du polyèdre sur le
plan de s. Cela posé, soient
la plus petite et la plus grande des valeurs que puisse acquérir la projection du polyèdre sur un plan quelconque. On aura, dans l'hypothèse admise,
rtju. > 2B, rtfji. < 2C,
et, si s cesse d'être équivalent à q,, nu, se trouvera compris entre les limites
Donc ^ sera compris entre les limites
D'ailleurs, le polyèdre ci-dessus mentionné étant convexe et ren-
17G MÉMOIRE SUR LA RECTIFICATTON DES COURRES
fermé entre les sphères décrites avec les rayons
/■, r(i4-£), la surface nç du polyèdre sera comprise entre les limites
^Tir^, ^t: r^{i ■+- e)^,
et ses projections B, C seront renfermées entre les surfaces des grands cercles
Donc, les expressions (i8) seront comprises entre les limites
^t:/'- ^tz r-{i -4- £)-
' 2 7r/-^(lH-£)^ 271/--
oa, ce qui revient au même, entre les limites
qui, l'une et l'autre, diffèrent très peu de 2a, quand £ est très petit; et, si l'on prend 2[jt, pour valeur approchée de s, l'erreur commise ne dépassera pas le produit de 2 m par la plus grande des différences
c'est-à-dire par l'expression (16). Le théorème V étant ainsi démontré pour le cas où la quantité S se réduit à une surface plane s, il suffira, pour le démontrer dans le cas contraire, de décomposer S en éléments infiniment petits.
Corollaire I. — Si le polyèdre mentionné dans le théorème V se réduit à l'un des cinq polyèdres réguliers et si l'on nomme
les quotients qu'on obtient en divisant la surface de ce polyèdre régulier par le quadruple de la projection maximum ou minimum de
ce polyèdre; l'erreur que l'on commettra en prenant 2M pour valeur de 5 sera inférieure au produit de 2i¥par le plus grand des nombres £', £". Au reste, cette proposition subsisterait encore si le polyèdre cessait
d'être régulier.
Corollaire II. — Si le nombre /z devient infini, on aura évidemment
(20) M= "-^^« — — J / / As'inpdpdq,
/ / ^mpdpdq
attendu que
sin/? dp dq
représente l'élément différentiel de la surface de la sphère décrite avec le rayon i. Or, des équations (i5)et (20) on déduit immédiatement la formule (9).
Corollaire III. — Si 5 représente un système de surfaces qui soit
renfermé dans l'intérieur d'une sphère décrite avec le rayon R et qui
ne puisse être traversé par une droite en plus de 2m points, on aura
évidemment
A <^'2mT.R^
et, par suite,
S<\mT.RK
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorèmi: Vl. — Si. dans l'intérieur d'une sphère décrite avec le rayon R, on trace un système de sur/aces ijui ne puisse être coupé par une droite en plus de '2 m points, la somme des aires de ces surfaces ne dépassera pas le produit de la surface de la sphère par le nombre im.
OEuvre;: (le C. — ^.\,\.\\. 23
MEMOIRE
SLR LKS
