SUR LES DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS, ETC

le signe / par des exponentielles dans lesquelles les parties variables des exposants sont négatives. Ajoutons que l'emploi des mêmes formules fournit le moyen de substituer, dans certains cas, à la série qui représente le développement d'une fonction une intégrale définie, et que cette substitution produit de nouvelles équations fort remarquables dont on peut se servir avec avantage dans les questions de Physique mathématique.

Pour montrer une application de ces principes, considérons la série

UV" 2 71

f{ix)du.-^2j cas ~ (a: — iJ.)f{iJ.)d[x

I "*" ^ / ^^^ (J7 — /JI.)/(/J!.) t/fJL -h. . ..

Il est facile de reconnaître : i** que la fonction représentée par cette séire ne varie pas, quand on fait croître ou diminuer x d'un multiple de a; i"" que cette fonction, entre les limites x =^ o, x ^= a, est équivalente au produit af{x). En effet, si l'on désigne par i un nombre infiniment petit, et si l'on pose Ô =-. i — £, la série (i) pourra être remplacée par la suivante

f f{^)diJ.-+- e«- f(^^)dix+d e" f(^)dij.+...

0 ^d /{pi) dix ^ / —T^ -= f{^)dix+ / -^ — f{l^)d[x.

Or, 0 étant très rapproché de l'unité, et x étant compris entre zéro