AT
on trouvera
Déplus, il est clair que la valeur de o(a) donnée par l'équation (122) deviendra
çp(a)
(A — a)(B -+- a)c^^— ■fi{\ 4- a)(Ji — a)e-"=
( A 4- a ) ( B — a ) t' -«='— -n ( A — a ) ( B + a j e"* Les formules (i23) et (124) coïncident exactement avec les for-
268 MEMOIRE SUR LE; CALCUL INÏEGliAL.
mules (102) et (m). Pour achever la solution du problème et retrouver la formule (79), il suffira de recourir à l'équation
(io3) \'{jc)=:—f r e'(^-i^)'|'(^)6?^c^À,
et d'observer qu'on aura généralement
Revenons maintenant à l'équation des cordes vibrantes. On a, dans ce cas, pour déterminer /(.r), les deux équations
De plus, nous appellerons encore ((^) une fonction qui sera égale à la valeur connue de f(^) entre les limites ^ == o, ^ = «, et qui deviendra constamment nulle hors de ces limites. Cela posé, on tirera des équations (126)
et, par suite, en nommant i, y], deux nombres inférieurs à la limite i, mais dont le dernier q diffère infiniment peu de l'unité,
f{x)z=.ri"e~-"-"-'^f{x) pour x=i{'?.n-^i)a (n^o),
— /(j;)=z:/( — ^) =-/]'»e-«"*/(— x) » —x = {2n-h'.)a in = o),
En remplaçant dans les seconds membres des équations précédentes /(ce) par i'(cc), f(— ce) par |'(— x), puis réunissant toutes les valeurs particulières de f{x) qui en résulteront, on obtiendra la valeur gêné-
raie clo/(^), savoir :
OU, ce qui revient au même,
OU à très peu près
I — Ti (e'-'** -r- e~-"*) -h •/!■
On a d'ailleurs
(128) f(^) — iX— ^) = — / f (e^(^-!^!'-e>(-^+H-'i)f(fjL)^|/rf).;
puis, en désignant par p une racine de l'équation
oCÙ~i
g-a>i-Q QQ sinaXmo,
on trouve
Donc, par suite, on aura
J ^ I — 2r] cos(2a/.) -h-r,- c/p c (i — YîC0S2aX)-
(Y)sin2aX)'^ 2 a
= — 7 / [cosp(.r — jU) — cos p(j7 + /Jt.)] I'(j^) <f,a
siiip.r sinp/JL f(p.) <^/jt.
zir - \ sinpa- / sinp/i. ('(/J^) '^'^i^, ce qui est exact.
Il est a4sé de voir que les méthodes ci-dessus exposées sont applicables à tous les problèmes du même genre.
§ VII. — Développement des principes établis dans le paragraphe
précédent .
Adoptons les notations du paragraphe III, en sorte qu'on ait
(1) Y{^,)f{x)=^f f e>-^-V-y^¥{ri)fWdixd\,
quelles que soient les fonctions F(a) et /(a). On en conclura, siF(a) désigne une fonction entière de a et de e", en sorte qu'on ait
on en conclura, dis-je,
(3) cp(a,e«)/(.r)=:9(l),,i + A,)/(^).
De plus, si, la valeur de F(a) restant quelconque, on a
alors, en posant
(5) . '/(a)/(.r) = cT(j7),
on trouvera
(6) F(a)/(^) = 9(«)^(^), OU
(7) [9(«)x(«)]/(^-) = 9(^)[z(«)/(^)]=X(«)[?(^)/(^)]- Enfin, si l'on a
V indiquant une somme quelconque de termes finis bu infiniment
petits, on trouvera
(9) F(a)/(^)=— r f F(}.i)rÇ9(A')e't!x1eV^-ix)i^^^,. et, parce que
(10) ~ f f «'^'^"^■^'F()J)c?X^fx = F(A-),
on aura
Ainsi, par exemple, l'équation
(12) f{jc)=: 1 e"'''o{u)du entraînera la suivante :
(i3) F(a)/(.r)=r F(«i)9(«)e"^-'rf«.
Si l'on désigne par \'(^) une fonction de x qui soit toujours connue entre les limites œ = o, x = a, et toujours nulle hors de ces limites, on aura
et l'on en conclura
Vice) r(x)z:r— f F(?J)e>-^— l-)'f(fJL)rffJl,
F(a)|'(— ^) = — f F(>.i)e>(^+H-)if'(/JL)^i^.
Observons enfin que, si la fonction ts(x), étant propre à vérifier l'équation
(•6) [9(a) — i]ro(a.-) =0,
est donnée par la formule
(17) ou
Tn{a:)
i — riO[(x) -n
I —rr
cp(a)
Y] représentant un nombre très rapproché de l'unité; on trouvera, en désignant par p une racine réelle de l'équation
et posant
<p(pi) = i,
Q=:±o'(pi),
ou, ce qui revient au même, en représentant par Q la valeur numérique de la fonction 9' (a) correspondant à a = pi.
ii--n')dl
©(AljJ
£ étant un nombre très petit; et, par suite,
(21) ^("^'=2-oc f ^eP^^-\>-y^Uix)dix.
C'est là, en effet, ce que l'on conclura de l'équation (18) combinée avec la formule
Si la fonction f(^) était assujettie à s'évanouir hors des limites X = o, X ^ a, on aurait
(23) f(cc) = ^ f I f{iJ.)e''('^-\'y'dixdl,
et l'équation (21) serait remplacée par la suivante :
(24) ^(■^)=2--/ ^^P'"-^^'f(^)^f^- Enfin, si l'on supposait
(25) • f{^)=f xO-)e'-'''dl,
on trouverait
le signe V devant s'étendre à toutes les racines réelles de 1 équation (19) comprises entre les limites )/ et A". Si l'on supposait
l'équation (19), qui fournit les valeurs de p, deviendrait
et la valeur de Q serait donnée par la formule
. , f. ^^'(pi) + ^H-pi) (^9) ^=- ^Uï^)
Appliquons maintenant les formules qui précèdent à des exemples particuliers.
Problème L. — La fonction
étant assujettie à vérifier l'équation
(3o) /(.r + a)=/(^) ou e-^f{œ)=f{a:),
et la valeur de cette fonction étant connue entre les limites
a? = o, a: = a, on demande sa valeur générale.
OEuvrcs de C. — S. 1, t. II.' 35
Solution. — Désignons par |'(^') une fonction qui obtienne la même valeur que f{x) entre les limites x ^ o, x =^ a, et qui soit constamment nulle hors de ces limites. L'expression
e""*f(a^) = {{x -\- na)
(n étant un nombrie entier quelconque) sera toujours nulle, excepté entre les limites x = — na, x = — na -i- a, et l'expression
sera pareillement nulle, excepté entre les limites x = na, x = na -h a. De plus, on aura généralement, en désignant par
£ et -rj =: I — £
deux nombres, l'un infiniment petit, l'autre infiniment rapproché de l'unité,
\ f{'x)=i-f\" e- ''"'<■ f{x), et l'on en conclura évidemment
(32) /(^)=r( VJ-/^"e'^'»='-f-VJ-o«é;-«"='— i\{x).
On a retranché l'unité des deux sommes V^yj^e'"'*, V"'^''^"''"''»
afin de ne pas trouver i^{x) au lieu de {{x) entre les limites x = o, x = a, correspondantes 'à n = o. Pour déduire l'équation (32) de la formule (17) il suffit de remplacer cj(x) par f{x), î{x) par {{x) et 9 (a) pare"*. Cela posé, on aura
o'(a) ^ ae'^^.
L'équation (19) deviendra
(33) e"P'=i ou cosap=i, et la valeur de Q sera
(34) Q = ae^P'zz: «-.
Par suite la formule (24) donnera
(35) ' =â2-«/ cosp(^-^)f'(jx)f/fz
= ~ / ~ + X cos — (^ — M
f(fi)f//z.
Problème II. — Supposons qu'il s'agisse de résoudre l' équation
de manière que l'on ait :
Pour X ^= o et pour x = a,
quel que soit t, et, de plus, pour t =: o,
^ = f{^) et ^=0,
entre les limites x = o, x = a [f(^) désignant une fonction qui s' évanouisse hors de ces limites].
Solution. — Dans ce cas, comme on l'a déjà prouvé^ on est conduit aux équations
la valeur de f{x) étant déterminée par les formules
La première de ces formules pouvant s'écrire comme il suit
on aura o{ol) = e-«*, et de plus
Cela posé, on trouvera, pour déterminer p, l'équation
(4o) e2api-j oy C0S2ap=rl,
et la valeur de Q deviendra (40 Q-2a.
Comme on aura d'ailleurs
on tirera de la formule (26)
sin(p^)f(^)rf^
ce qui est exact.
Problème III. — Intégrer l'équation
, , , . au ., à- u *
^fi manière que l'on ait :
Pour t =: o.
u = ['(.37) entre les limites
ce r= a
pour X = o, pour X = a, quel que soit t.
du dx
du
Solution. — On aura, comme nous l'avons prouvé,
la valeur de x:s{x) étant assujettie aux équations
TS{x) == — C7( — X),
et devant être égale à
entre les limites ^ — o, x ~- a. Cela posé, on trouvera
et, par suite,
Déplus, l'équation (28) donnera
(A — pi)(B + pi)e«?'— (A + pi)(B — pi)-«P'=:o, OU . '
(49) (AB + p') sinap — (B — A)p cosap = 0;
et comme on aura identiquement
(AB H- p^) sinap — (B — A)pcosap
il est clair qu'en posant
'j^(pi) — 4^(— pi) 2i
u j <^[(AB -f- p^) sinap — (B — A)p cosap ] ^ 4^'(pi) + 4''(~ P'^
on tirera de la formule (29)
eu égard à l'équation
Par suite, comme on aura aussi
on tirera des formules (26) et (48)
-(-' = ïl-.iTi [^ A-pi
4^(— pi)eP^-*-^s^)''
f(ft)G^fi
A -J- pi (5i) / . ■ .
( ^ ^2-«iri t^^^ ^ pi)e(«-!^)pi (B - pi)e(i^-«)pi] (X^) J,a,
OU, ce qui revient au même,
i - ^rt
f —Zà-^ vt~ J [I^sin(a — [i)p + pcos(a — p)p]('(^t)r/^;
après quoi la formule
(53) /(^) = (A— a)cj(^) = (A-D^)cy(x)
donnera
(j-, \ V* pcosp^ — Asinp^ /(■^) =2--.' — ^-n
f x/ [B sin(a — p.)p + p cos(a — ]ljl)p] |-'(pi) û^jjL.
Problème IV. — Intégrer l'équation
de manière que l'on ait :
Pour X ^ o et pour x = a,
quels que soient y et t ;
Pour y = o et pour y = b,
z — o, quels que soient x et t ;
Pour / = o,
<■■/ . âz .
entre les limites x = o, x = a;y = o, y= b et ^(x, y) étant une fonction toujours nulle hors de ces limites.
Solution. — On trouvera, en raisonnant comme dans le second problème,
(56) { / -V6^-..'g^ £v/Fr7g^\
et de plus
(07) Ve'- -e '■ )y^{y,t) = o,
(08) le-' -e -^^ ;i];(^, 0 = 0.
Soit maintenant
On aura, en vertu des équations (3) et (37),
On aura donc, par suite, .
et, en posant ^ = o, on en conclura
F(a)/(^,7) = o, OU
On établira de la même manière l'équation
Enfin, comme on tire de l'équation (56)
L (eu^-=a«+^=g' e-^ '•^3'^-+-^-^ê^)/(^,y) = GT(^,y, t) — m{— a;, y, t),
on en conclura, en posant / = o, et, par suite,
On trouvera de même
Les équations (39), (60), (6r)et (62) suffisent pour prolonger indéfiniment la fonction f(x,y) hors des limites x = o, x = a, y = o, y = b. Ony parviendra, en suivant la méthode employée dans le second problème. En effet, si l'on désigne par m, n deux nombres entiers quelconques, on tirera des formules (Sq), (60), (61) et (62)
f{a;,y) = -n'"ri"'e^-"'''^e^-"''^f{jc,y),
f{—x, v) — ■^'"ri'"e+-'"«^e--"''°/"(— x,y),
/(— X, —y) — ri"'n'"e-^-"'"-^e'^-"''^f{— x, —y).
Y] = I — £ et ■/]'= I — £' désignant deux nombres très rapprochés de l'unité. On aura, par suite,
f{x,y) — ( 2JYi'"e2""'='4-yjr/"e-2'««=' I y y°°rt"'e'-'"'^-h^^'r,"'e~^"^^'— i
De plus, si, dans la formule qu'on obtient en égalant l'un à l'autre les derniers membres des équations (39) et (43), on remplace n par m, et \'(cc) par f(cc,y) — f(cc, —y), on trouvera
On trouvera de même
Cela posé, la formule (64) donnera
f{x,y) = —-y > sni siii— 7-^
•^•' ab .^0 ^0 au
j sui— -^sin-^f(f.,v)rf^rfv (').
(') Il m'a semblé inutile de reproduire ici des formules qui, dans le manuscrit, suivaient celles qu'on vient de lire, et qui se rapportaient uniquement à la qucslion traitée aux pages 33 et 34 du Mémoire sur l'Applicalion du calcul des résidus à la solution des problèmes de Physique mathématique ( Œ'MweA- de Caiichy, S. II, t, XV).
OF.uvre.s de C. — S. I, t. U. , 36
