HT.X . riTiu
— sin — sm —'
ia a a
Cela posé, il est aisé de voir qu'on tirera de la formule (27)
, Tloc r" . Tiu- ,, , , . 2T:.r f" . "ît.ix ^, , ,
'"^r/ SI" — l(/^)^/^ + siii— — / sm— i=f(^)rf^
On peut vérifier directement la formule (29). En effet, si l'on pose
,0 \ -e t \ . TZJC . 2 7rJ7
(^o) /o(^) = Co+ Cl sm 1- C2 sm
c,. sm
on en conclura, en multipliant les deux membres par
sin
UTIX
puis intégrant entre les limites x = o, x = a.
nnr.x \ , a
cos dx = — Cn.
ai 1
Donc
En général, lorsque à l'aide des conditions prescrites on aura prolongé les fonctions initiales hors des limites entre lesquelles leurs valeurs étaient connues, les valeurs des fonctions ainsi prolongées se trouveront représentées par des expressions différentes, suivant qu'elles correspondront à tels ou tels systèmes de valeurs de x, y, z, — Si, pour fixer les idées, a;, y, s, désignent des coordonnées rectangulaires, une fonction initiale de la forme /„(^) se trouvera successivement représentée par des expressions diverses, suivant que le point correspondant à l'abscisse x appartiendra à telle ou telle portion de l'axe des x; une fonction initiale de la forme /„ (a;, y) se trouvera représentée par des expressions diverses, suivant que le point (x,y) se trouvera compris dans telle ou telle portion du plan des x, y; enfin, une fonction initiale de la {orme/f,(x,y,z) sera représentée par des expressions diverses, selon que le point (x,y\z) appartiendra à tel ou tel volume compris dans telle ou telle enveloppe extérieure. Cela posé, pour obtenir les expressions générales de
correspondant à toutes les valeurs possibles de x, y, z, ..., il suffira évidemment de transformer chaque expression particulière en une autre, qui ait précisément la même valeur dans les limites prescrites, mais qui devienne constamment nulle, hors de ces limites; puis de faire la somme de toutes les expressions nouvelles ainsi obtenues. Or, la formule de M. Fourier et une formule semblable que j'ai donnée dans le XIX*" Cahier du Journal de l'École Polytechnique fournissent le moyen de résoudre complètement les problèmes de ce genre. C'est ce que nous allons faire voir en peu de mots.
Problème I. — Trouver une fonction o(j?) qui soit constamment
égale à
entre les limites x = a, x^h^ a, et constamment nulle hors de ces limites.
Solution. — Il suffira de prendre
(..Si) <p(^)=z— f f e='(^-i>-^'/{ix)dixdc(.
Si, dans cette formule, on pose
jx^i a -h {b — a) m,
elle donnera
(32) o{a:) = — I I e'"-^-»- (*-«''"" /(a 4- b — a.m){b — a) dm dx.
Ainsi l'intégrale relative à [x, qui était prise entre les limites a = «, jx = è, se trouve remplacée par une autre intégrale prise entre les limites m = o, m = i .
Problème II. — Trouver une fonction ^(x^ qui soit constamment égale à /(x) entre les limites déterminées par les deux équations
et constamment nulle hors de ces limites. Solution. — Il suffira de prendre
M étant une fonction de m, déterminée par l'équation
(34) mF(M) + (i — m)f(M)=o.
Si l'on pose, dans l'équation (33),
ï{x)z:^x — a, Y{x)z=zx — b, on retrouvera la formule (32).
Problème IIL — Trouver une fonction o{x,y) qui soit constamment égale à f(^, j) entre les limites
et constamment nulle hors de ces limites. Solution. — H suffira de prendre
V I V == F(/Jt.), lJ- = b, a -- + co, 6 = + GO ^
Cette formule se démontre avec la même facilité que celle de M. Fourier dans le cas de plusieurs variables.
Problème IV. — Trouver une fonction o(x,y) qui soit constamment égale àf(œ,y) entre les limites déterminées par les équations
f{a--,y) = o, x — a ou 'i^{x) — o,
F(.r,y) = o, x — b ou Fo(^) = o,
et constamment nulle hors de ces limites. Solution. — 11 suffira de prendre
X ggi«F(^,r)+(>-»)f(ar,r)iie<='i'«F„(a;)+(i--m)f,(:r)iiy(]y|^ |Sf ) p dm dn dcx. d^y
les valeurs de M et de N étant déterminées par les équations
( /i-F(M,N) + (i — /i)f(M,N) = o, ^^"■* i mFo(M) + /tfo(M) = o,
et la valeur de P étant positive et donnée par la formule
(38) P=±:[Fo(.r)-fo(^)][F(^.7)-f(-^,/)]-
OEuvres de C. - S. \, t. U. ^^
Problèmi: V. — Trouver une fonction o{x,y, z, ...) qui soit constamment égale à f{oD,y, z, . . .) entre les limites déterminées par les équations
et constamment nulle hors de ces limites.
Solution. — Il suffira de prendre {n étant le nombre des variables x,
X ^a[[iF„u)+(i-5x)f„(a:)iieg[vF.(x,r)+(i-v)f,(x,y)]i ./(M,N, .. .)V d^dvdado. ..,
les valeurs de M, N, . . .étant déterminées par les équations
^//Fo(M) +(,-^)f„(M) =0, (40 vF,(M,N) + (i-v) f,(M,N)=o,
et celle de P, qui est toujours censée positive, par la formule
{^1) P=±[F„(^)-fo(^)][Fi(x,y)-f,(^,r)].... .
Nota. — Les formules (36) et(4o) peuvent être démontrées par la méthode qui a servi à établir les formules du même genre que j'ai données dans le XIX" Cahier du Journal de l'École Polytechnique (' ).
Ajoutons que la formule (4o) subsistera encore, si l'on remplace
fo(^), Fo(^), fi(^,y), ..., fo(M), ... par
Faisons voir maintenant comment, à l'aide de certaines conditions données, on peut prolonger une fonction hors des limites entre lesquelles sa valeur était connue.
(«) OEuvrex de Caiichy, S. II, T. I, p. 275 et suivantes.
Problème I. — Intégrer l'équation
de manière que l'on ait, pour t = o,
ôz
Supposons, d'ailleurs, la fonction initiale /(ce) connue seulement entre les limites o, a. Mais ajoutons la condition que l'on ait, pour
X = o et pour x = a,
quel que soit t.
Solution. — On trouvera
(44) = = -U'" +e"'" j/(^) = e9"'^cp(0^-e-^'"^X(0• De plus, les conditions prescrites donneront
Donc, par suite,
(46) z — ^\e'"-j-e '" j/(a:) = (e^'«-^— e-^'"*)cp(0,
et
(4;) (e^'""— e-^^'"'*)cp(f) =io.
Faisons maintenant pour abréger
On aura, en vertu de l'équation (47).
F(a)[(eQ"'*— e-O'"-^) (p(0]
= [F(e/n)e«'«^— F(— em)?-^"'-^] cp(0 = (e9'«-r-i- e"^"'^) ¥{0m) (p(0 = o,
et, par suite, on tirera de la formule (46)
Cette dernière devant être satisfaite, quel que soit t, on en conclura
(49) F(a)/(a.)=o, ou
(e«a— e-«*)/(^) = o, OU encore
Enfin, comme on tire de l'équation (46)
'({t,x) désignant la fonction e®'"-^cp(^), on en conclura évidemment, en
posant / = G,
et, par suite,
Les équations (5o)et(5i) suffisent pour prolonger la fonction f{x) au delà des limites ;r = o, ^ = «.
Problème II. — Intégrer l'équation
/-s au ^d-U r> . „
(32) — ni^ —^ -^ ruz=iO, ou B — rn^oc.- ->r r = o,
de manière que l'on ait, pour / = o,
f{x) étant connue entre les limites x = a, x = h, et que l'on ait aussi, pour X ^= a,
du
— -i- \u = o, ou (A + a)« — o,
pour X = b.
au ,ï / r» \
|-R« = o, ou (D-i-a)M=:0,
quelque soit t.
Solution. — On trouvera, en posant 0 = >
(53) w izret '«'«'-'■"/( a; ) = e^®(p(0 +e-^®x(0»
et les conditions prescrites donneront
(A + 0)e«0 9(O 4-(A — 0)e-«®x(O = o, (B +0)e''0cp(O + (B — 0)e-*®x(O = o-
On satisfait à la première des équations (54) en prenant
alors la seconde se réduit à
la fonction F(a) étant déterminée par l'équation
De plus, la valeur de M devient
On satisfait à cette dernière formule en posant
Comme on a d'ailleurs
on tirera de la première des équations (09)
Cette dernière sera satisfaite, quel que soit /, si l'on pose
(60) F(a)GT(^) — o.
De plus, on tirera de la première dos équations (39)
e("''^'-'-i'Tn{x) = f{t,a; — a) — ({t,a — x),
f(^,ir — «) désignant la fonction e'-^'"'®'^(^); et, par suite, on trouvera, en posant / = o, '
ct(^) := ('(o, ^ — a) — l'{o, a — x). Donc
(61) rx!{x)=: — rjn{2a — a^).
Les équations
I ct(^)^ — rn{2a — a;),
\f{a;)z=z{A — a) gt(^) =: Acj(^) — cj'(.3?)
suffiront pour prolonger la fonction f(x) au delà des limites entre lesquelles sa valeur est connue.
Il est bon de renrarquer que l'on tire des équations (62)
U3{œ -h a) = — cj(a — ,x),
et de plus
f{œ-i-a) = Ars{a:-+-a) — m' {a- -+- a) = {A — oc) m {x -h a), /{a — J7) = AGT(a — js) — Tn'{a — œ)
=r (A -l-a)TO(a — ^) =— (A + a)G7(a7r+- a),
et, par suite,
ou
MÉMOIRE sua LE CALCUL INTEGRAL. 255
On trouverait de même
(65) {B-^oc)f{a:+ b)'h{B — <x)/{b — a;)z=o,
OU
Si l'on élimine /(— cv) entre les équations (64) et (66) on en tirera
ou
ce que l'on pouvait également conclure des deux dernières des formules (62).
Les équations (64) et (66), dont l'une peut être remplacée par la formule (67), suffisent pour prolonger la fonction /{^).
Afin de montrer comment on peut y parvenir, faisons pour abréger a = o, et remplaçons en même temps h par a; les équations (64) et (67) donneront
( {k-^y.)f{a;)-\-{X — cc)f{—x) = o,
On en tirera
et
ou
e^ac. fia;) - (A + a)(H-a)
rr ^ ^ (A + ^)(U-a) ^. .
et, par suite,
On aura donc
Par conséquent, si l'on nomme f(a^) la valeur connue de u entre les limites œ = o, x = a, on trouvera
A — a li + a'^ ^
/A4-a R-a\ R — a,,, -U-aU + aJR + a'^^^^-
/A -H a R — aV R-a
Va— a R + a/ Ji + a'^
entre les limites
( j; = a ) i X =: a ] 1 X r=^ ia )
f .37 rr: /| a ) ( o: n: 4 a J
On aura, au contraire, en vertu de l'équation (69), A — a
entre les limites
A H- a V A + a R — Cf.
X =1 — la i
On aura donc généralement, n désignant un nonnbre entier quelconque,
fi^) =
(A + a)(R — g)' (A — a)(li ^-a)
entre les limites
({se — 2na)
R-g li +g
(A — g)(B-+-g) entre les limites
jc = 2 na
\'{2na -\- 2a — x
i X ^ {2 11 -\- \)a { X zzz{2n -\- 2)a
( A + g ) ( li — g ) entre les limites
i X -r^ — {211 — \)a { ^ = — 2na
|'( — X — 2na)
.r = — 2na
entre les limites
On aura d'ailleurs, en vertu du théorème de M. Fourier,
— / / eA(x-!x)i |'(^ A-) ./|j, dl
= — f f e'-^'^-''-\'^''({ix)diJ.ia = i'{x — k)
■=— f f e'^(^-/^+!x)i ('(|i/) r//jL dl — {{ k — x)
pour toutes les valeurs de r comprises entre les limites indiquées, tandis que les mêmes intégrales doubles s'évanouiront hors de ces
OEnvres de C. — S. I, t. II. 33
limites. On trouvera en conséquence
•^^^^- 2itJ„ J J(A-«)(li4-a) J
entre les limites
(A4-a)(R-a)^,.>, (A — a)iR -^a)
etitre les limites
^ i.CL
J- = — 2 wa
^^"*=~^/Lï^
^^('^"^^^ e'-'^>.il " eA(^-[^)i (■( a) ^jm dl a ) ( B — a ) J
entre les limites < ''
entre les limites
'g).(x+!X'i j'(^^) rffzrf},
Par suite, si l'on appelle y] un nombre qui diffère infiniment peu de l'unité, on trouvera pour la valeur générale de f(x)
l'(^) dixdl
g),(x-2a-t-|J.)i ■R — ot
(A^a)(B-a) ~T li + a
['{fL) dixdl
(A — a)(B + a) . - . ( A + a)( B — a; (AH-a)(B — a)
( (JL ) G^jJL (iX
\'{ix)d}xdl,
ou, ce qui revient au même,
(77) /(^)=:^~^r ^ [(R + a)e>(«-f^^i— (R-a)e>>(!^-" ']cf(a)e>-^'f(fJ^)c^i^rfX,
la valeur do ^(a) étant donnée par l'équation
(A — a)(B + a)e«^'— ■ri(A-H a)(B — a)e-«'-'
(A -{-a)(R — a)6'-«'^i — ri(A — a)(R + a)e«'''
(X-{- a)(H — a)e-«'''+(A — oc){ïi -h ûc)e"'-'
(i — rj )- [(A + y.){B — a) e-"'-' 4- (A — a)(B -r a) e«>-i ]- -
c'est-à-dire par l'équation
( I — -0 )- [(A + a)( B — a)e-«>^i + ( a — a) ( B + a )e">-' f (i + rO-[(A + a)(B — a)e-"''— (A — a)(B 4- a)e«>-i]'-
Si, dans l'équation (77), on fait passer le facteur A — a sous le signe I f, on pourra remplacer ensuite a, qui indique une dilïerentiation relative kcc, par Xi. On trouvera de cette manière
(79) /(^)=z'^'~'^^ r r \e'--^i\^)diJ.dl,
la valeur de A étant donnée par la formule
^ ^^ ~^ '^' j (I -■r)r[(AB-i-X'-)cosaX-+-(B-A)7 sinaX]* I ^
j +(n-Y))-[(AB+A^) sinr7>. — (B- A)Xcosa>.]2 )
ou bien encore, à cause des limites A = — oc, A = :c,
(81) /(j-) = - / / {l coslx — \ s'inl.r)*^ ({p.) dij-c/l,
la valeur de ^^étant à très peu près
(82) 4^zz: [B sin(a — p.)/, + À cos(rt — fj.)'/.]
' '^ '^ '[(AB+X2)cos«/.4-(B — A)>>sina>.]
\ l- ^)*[(AB-+-},2)cos«X-f-(B — A)>. sinr7>.]2 )
( +[(AB + X2) sinaX — (B— A)Xcosrt/.]* )
Or, il est clair que la valeur précédente de ^, à cause du facteur infiniment petit ^^^j sera toujours sensiblement nulle, excepté quand la valeur de A vérifiera la condition
(83) (AR -4->.-)sina>. — (B — A)X cosflr). = o.
On aura de plus
(84) « = e^'«'*'-'')V('2^')=- / / ^-('"'^'-^'•"(XcosX^ — Asin>i^)i^f(/jL)ûffxc?À.
Enfin, si l'on désigne par p une des racines de l'équation (83), et par £ un nombre infiniment petit, on aura évidemment
i / J^(>. cos).37 — Asin>.^)^>.
I T. ip cosQx — A sinpa^)[B sin(a — iJ.)p -+- p cos(a— iJ-)p]
[ "~ 2 |)p[(AR 4-p-) sinap — (R — A)pco!>ap]
Donc, si l'on fait pour abréger
(OQ. 3^^^ [Rsin(ff — /x)p + p cos(a - /x)p] ^
^ ' ^ ^ rt[(R — A)p sinap + (ÂR-+-p'^) cosap]-!- 20 sinap — (R — A) cosap '
on trouvera
/« ipcospa: — As'mpœ)0]1f{ix)dix ('),
(1) On a
f [(B — pi)ep(F^«'''— (Bh- pi)eP«-[A)i] f([jL)o?u
'^^^ ' 2 Dp[(AB -H P'') sinap — (B — A)p cos«p]
OU
— \f [(B — pi)ep(!A-«'i— (B-+- pi)r?!«-iJ-"] f(,a)rffx
r%TL, f( I.) da = -— '-^
° / [(A — pi)6'P!J'i — (A -H pi)e-piJ-î][(B — pi)6-?>-«''i— (B-f-pi)e?^«-!^'i]c?H.
i / [(A — pi)ePiJ-'— (A-+- pi)e-p!J-'] f(ii)rtu. / [(A — pi)eP(J-'— (A -t- pi)e-P!J-']2ri'[jL
et
' ^e-'"'?"'-'-' ip cosp.x — As\î) pJc)D\L fiiJ.) dix,
le sisne ^ s'étendant à toutes les valeurs de p.
Si l'on transporte l'origine des coordonnées au point qui a pour abscisse -> il faudra remplacer x par x -{ Si de plus on fait pour
abréger
d[{]i — A )p cosap — (AR -+- 0-) s\i\ap]
dp on trouvera
( [pcos(. -^)p-Rsin(. -f)p] I
^^ 1 X p cos ( J7 4 — ) p — A si n ( .-r H ) p \
OU, ce qui revient au même,
^ °° 1* cos p .r + O si n p j?
pourvu que l'on fasse
y- Pcospj7 + Qsinp.7'^^„,p,,^
P — — j [p cos(s — /)p — B sin(- — t)p][p cos/p — A sin/p] f(G) <t^c, Q= / [pcos(s — /)p — B siii(- — Op][p sin/p -h A cos/p] f(c) flf;;,
la valeur de / étant -
Si l'on observe d'ailleurs que p désigne une des racines de l'équation
(93) (AR + p2)sin2/p — (R — A)p cosa/p = o,
on reconnaîtra immédiatement que les formules (91) et (92) coïncident avec celles que M. Poisson a données.
Les formules précédentes paraissent n'être établies que par induction, attendu que, suivant la méthode de M. Brisson, l'on a plusieurs fois considéré la lettre a comme indiquant une différentiation relative à X. Mais, pour rendre les calculs rigoureux, il suffit de revenir aux formules et aux notations du paragraphe IL En effet, en employant ces notations, l'on aura généralement
(94) cp(5c)/(.r)=^y J o{ui)f{i')e'^^-^--y^dvdu,
et, par suite, si l'on pose
(95) f(^oo)=^Ç f c3(>.i)e>(^-^^'F(^)rf^^>.,
on trouvera non seulement
(96) /(,) = ! J J^\{7:i)e->-i^-\>-y^Fiix)diJ.dl,
et
(97) e^-^'9(>.i)= -^ / / o{ui)e''0-'^)ie"'^''dvdu, mais encore, en vertu des formules (96) et (97),
(98) o{a)f{x)— — j j 9(/.i)sT(Xi)e>-^-!^)iF(fjL)^]ui(/>..
Ainsi l'équation (93) entraîne l'équation (98). Il est bon de remarquer en passant que la fonction f{x), déterminée par la formule (95), s'évanouit hors des limites x=^ o, x = a, et qu'il en est de même du second membre de la formule (98). Ajoutons que, des formules (95) et (98) réunies, l'on conclut immédiatement
l9(a)/ / nT(/.i)e'(^-!^'iF(|UL)fl'|jL^.
/ =ff 9(>^i)GT(>.i)e^'^-i'>'F(/ji)rffz^.
On aura donc aussi
=3 çj(a) nT(a) F(^) entre les limites <
Cela posé, on pourra immédiatement remplacer, dans les formules (75) et, par suite, dans les formules (76), ( 77), etc., a par Ai, et l'on obtiendra de cette manière la formule (79). Réciproquement, on pourra écrire partout dans la formule (77) a au lieu de Xi; et l'on trpuvera ainsi, au lieu de l'équation (77) ou (79), une équation de la forme
(loi) /(^) = (A — a)9(a)[(B + a)e"*|'(.i?) — (R — a)e-«*] {\— -r), pourvu que l'on fasse
(A + a)(li — a)é^- "«— -0( A — a)(M -h a)e«^
(A + a)(R -a)e-«^+ (A — a)(R 4- aie"*
( (I — ■0)'[(A + a)(R — oc)e-"'' + (A — a)(R -i- 3c)e««]2 ( — (n-Y))'-[(A ^-a)(R — a)e-'^=' — (A— a))B + a)e«=']- 2£
£■'— |(A -i-a)(B — a)e-"«— (A — :<)(R4- x)e"='Y* £ étant un nombre infiniment petit, et que l'on désigne par
(loo)
une fonction qui soit considérée comme toujours nulle, hors des limites x =: o, x = a, ci toujours connue entre ces limites.
26* MÉMOIRi: SLR LE CALCUL TNTÉCxRAL.
En remettant pour 9 (a) sa valeur dans /(a?), on trouvera
■ :? £ ( A - a ) [( li -+- a ) e«» |'( X ) — ( I? — ^ ) e-"* ('(— .X- )]
£ désignant un nombre infiniment petit. Cette formule, jointe à la suivante
(io5) ^{ai)f{x)=—f f ^0.\)fiix)e'-(—i'^'dixdl,
dans laquelle 'J^(a) désigne une fonction quelconque de a, suffit pour déterminer complètement la valeur de /(^) et de •\i{y.)f{x). On aura par suite, en vertu de la formule (53),
?,£(A — a)e<f'"'«'-'-'[(H h- ot)e"°' |'(.^-) — (B — g()e-"«|'(— ^)] ^'^^^ "~ e^'— [(A-a)(li-^oc)e«='- (A-i-a)(B — a)e-"'=']'-
On peut encore présenter l'équation (io4) sous la forme
(107) /(j")==(A-a)GT(^),
la valeur de t;ô{x) étant
.,^o^ „. ^. ^^'[( H + a)e"^ (•(■^•) - (B - «)g-'-°' ix- ■^)^ ^ ' ^' ^- £-^— [(A-5«)(li-^a)e"-''— (A -T-3:)(B — aje-"^]-
Cette dernière valeur de nT(^) vérifie deux équations semblables aux formules (62), savoir
i m(3")= — Gj(— ^),
et, de plus, elle satisfait, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites œ = o, x ^= a, à la formule
(iio) rj3{x)--= l'^-^-
Remarquons enfin que, si l'on pose comme ci-dessus
( A — a ) ( B -h a ) e"=' — Yi ( A ^- a ) ( B — a ) e-«='
( A -H a ) ( B — 3c ) e-"=' — n ', A — a ) ( li -+- a )e''='
la valeur do ct(x) deviendra simplement
(m) nT(a7) = ç)(a)[(B-va)e«''f(^) — (B — a)e-««f(— ^)].
On pourrait, à l'aide des équations (109) et (110), déterminer directement la valeur de cj(^), ainsi qu'il suit : Soit d'abord
^{^)=X(^) ïi-^) + ^(°f) ïi—^)-
Si, dans cette formule, on change ^ en — x, on devra changer aussi a, en — a, et l'on trouvera, par suite,
ct(— .r) = y (— a) f(— ^) -h d;(— a) ('(x).
Si l'on ajoute les équations (112) et (ii3), on trouvera, en ayant égard à la première des équations (109),
On satisfait à cette dernière en posant Donc
(Ji4) C[T(^) = X(a)f(a,-)-x(-a)|'(-^).
Observons, de plus, qu'on tirera de la seconde des équations (109)
(A — a)(li-ha) ^ A -+- aji^B — a) ^ ''
et„ [)ar suite, q désignant un nombre très peu différent de l'unité, et n un nonibi'e entier quelconcjue.
( A -^ ot ) ( ]? - g )
C7(.r — ina).
Si, dans les formules précédentes, on remplace a? par — x, on devra
OEiiiTes ,h- C. — S. I, t. II. 34
266 MÉMOIKE SUR LE CALCUL INJÉGRAL.
remplacer aussi a par — a. On trouvera donc
CT ( — ^ — 2na), C7( — ^ -+- 2na),
et l'on aura, par suite, en vertu de la première des équations (109),
w{cc) = —
(A4-a)(B — a) (A ^oc)in — a)
in( — a: — ina),
m{ — X -+- ina).
(A-a)(H + a)J Les équations (116) et (118) peuvent encore s'écrire comme il suit :
r (A+a)(U-a)^^ L' (A — a)( lî -+- 3c)
xs{x)
'«« 1 gt( —
Si maintenant on écrit dans les seconds membres des équations précédentes
et
au lieu de m^x), au lieu de C7(— .t).
elles auront respectivement lieu pour les valeurs de
X — 2na, X -^ ina, —x — 2na, — x ^ ma,
comprises entre zéro et a; d'où il résulte qu'on devra y poser successivement
X — 2na^=iia, x -{- 2na=.La,
— X — 2na=.ia, — x + 2naz=^^a,
i désignant un nombre inférieur ii l'unité. On aura donc, par suite,
^ r= ( 2 /i + '.) a, — .r=z {2/1 — <.)a, JC ^= {2/1 -\- \)a, X=:{2/1 — i)a,
. et l'on pourra, dans ces quatre équations, prendre pour limites inférieures de n
« =^ O, /l zzz\ , /l z= O, /i := I .
En réunissant toutes les valeurs particulières de nj(.T), on aura la valeur générale, savoir :
