OA, OA

qui joignent le pôle 0 aux points A, A', A", ..., concevons que l'on mène par l'extrémité A du rayon vecteur OA une droite AB égale et parallèle au rayon vecteur OA', puis, par le point B une droite BC égale et parallèle au rayon vecteur OA", ... ; et joignons le pôle 0 au dernier sommet K de la portion de polygone OABC...HK construite comme on vient de le dire. On obtiendra le dernier côté OK d'un polvgone fermé dont les premiers côtés seront OA, AB, BC, ..., HK. Or, ce dernier côté OK sera ce que nous appellerons la somme des quantités géométriques données et ce que nous indiquerons par la juxtaposition de ces quantités, liées l'une à l'autre par le signe -h, comme on a coutume de le faire pour une somme de quantités algébriques. En conséquence, si l'on nomme R la valeur numérique du rayon vecteur OK et P l'angle polaire formé par ce rayon avec l'axe polaire, on aura

(0 Rp— r^,+ /y+ /y, +

Observons d'ailleurs que les côtés OA, AB, BC, ..., HK, du polygone OABCD...HK, peuvent être censés représenter eux-mêmes les quantités géométriques désignées par les notations rj„ r^,, r],,., — Donc, pour obtenir la somme de plusieurs quantités géométriques, il suffit de porter, Vune après Vautre, les diverses longueurs quelles représentent, dans les directions indiquées par les divers arguments, en prenant pour origine de chaque longueur nouvelle l'extrémité de la longueur précédente, puis de joindre l'origine de la première longueur à l'extrémité de la dernière par une droite qui représentera en grandeur et en direction la somme cherchée.

Si l'on projette orthogonalement les divers côtés du polygone OABC...HK sur l'axe polaire,- la projection algébrique du dernier côté OK sera évidemment la somme des projections algébriques de tous les autres, ou, ce qui revient au même, la somme des projections algébriques des rayons vecteurs OA, OA', OA", .... Donc, l'équation (i) entraînera la suivante

(2) R cosP = /-cos^ + /•' cos/>'h- /■" 008/;»" +

On trouvera de même, en projetant les divers côfeés du polygone OABC. . .HK, non plus sur l'axe polaire, mais sur un axe fixe, perpendiculaire à celui-ci,

(3) R sinP = /-sinp H- /•' sin/>'+/'" sin/>" + . . ..

Les équations (2) et (3) fournissent le moyen de déterminer aisément le module R et l'argument P de la somme de plusieurs quantités géométriques.

Si l'on considère seulement deux rayons vecteurs OA, OA', représentés en grandeur et ea direction par les quantités géométriques /),, r'^., la somme de ces dernières sera, en vertu de la définition admise, une troisième quantité géométrique propre à représenter en grandeur et en direction la diagonale OK du parallélogramme construit sur les rayons vecteurs donnés. En d'autres termes, elle sera le troisième côté d'un triangle qui aura pour premier côté le rayon vecteur OA, le

MÉMOUÎE SUK LE CALCUL INTÉGRAL. 287

deuxième côté AK étant égal et parallèle au rayon vecteur OA'. D'ailleurs dans ce triangle, le côté OK, représenté en grandeur par le module de la somme />,+ /•,,, sera compris entre la somme et la différence des deux autres côtés, représentés en grandeur par les modules r et /•'. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème \. — Le modale de la somme de deux quantités géométriques est toujours compris entre la somme et la différence de leurs modules.

Il est bon d'observer que le module de la somme de deux quantités géométriques /),, r^, pourrait atteindre les limites qui lui sont assignées par le théorème précédent et se réduirait effectivement à la somme ou à la différence des modules r, r' , si les rayons vecteurs OA, OA' étaient dirigés suivant une même droite, dans le même sens ou en sens opposés.

Le théorème I entraîne évidemment le suivant :

Théorème IL — Le module de la somme de plusieurs quantités géométriques ne peut surpasser la somme de leurs modules.

On peut, au re^te, déduire directement ce second théorème de cette seule considération que, dans un polygone fermé OABC...HK, le dernier côté OK ne peut surpasser la somme de tous les autres.

Ce que nous nommerons la produit de plusieurs quantités géométriques, ce sera une nouvelle quantité géométrique qui aura pour module le produit de leurs modules et pour argument la somme de leurs arguments. Nous indiquerons le produit de plusieurs quantités

géométriques,

I tf * •

'pi ' p f ' p f • • • >

à l'aide des notations que l'on emploie dans le cas où il s'agit de quantités algébriques, par exemple, en plaçant ces quantités à la suite les unes des autres, sans les faire précéder d'aucun signe, (^ela posé, on aura, d'après la définition énoncée,

( 4 ) rp r\y ty . . . — ( rr' r" . . . )p+//+/,«+. . . .

On sait que, pour multiplier par un facteur donné la somme de plusieurs nombres ou de plusieurs quantités algébriques, il suffit de multiplier chaque terme de la somme par le facteur dont il s'agit. La somme Rp de plusieurs quantités géométriques /);, r'^,., . . . jouit de la même propriété. Pour le prouver, il suffit de faire voir que l'équation (i) continuera de subsister, si l'on multiplie les divers termes

Rp,

par un facteur géométrique p^. Or, en premier lieu, si le module p se

réduit il l'unité, il suffira, pour effectuer la multiplication dont il s'agit,

d'ajouter l'argument cj à chacun des arguments V, p,p',p", Mais

cette opération revient à faire tourner autour de l'origine chacun des

rayons vecteurs

py • p'y

et, par suite, le polygone OABG...HK dont la construction fournit la valeur de Rp, en faisant décrire à chaque rayon vecteur l'angle cj; elle laissera donc subsister l'équation (i), qui deviendra

En second lieu, on pourra, sans altérer les directions des côtés du polygone OABC...HK, le transformer en un polygone semblable, en faisant varier ses côtés dans le rapport de i à c et l'on pourra ainsi de la formule (5) déduire l'équation

(Rp)p+CT=(/-p)p+cT+ (/■'p);,'+ct4-. ..

qui peut être présentée sous la forme

(6) 9^\^y = pTs^P+9ur'p' +

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème in . — Pour multiplier la somme

rp+r'p.+ ...

de plusieurs quantités géométriques rp, r^,, ... par le facteur géomé-

trique o„, il siiffîl de multiplier chacun des termes qui la composent par ce même facteur.

Ce théorème une fois établi, on en déduit immédiatement la proposition plus générale dont voici l'énoncé :

Théorème IV. — Le produit de plusieurs sommes de quantités géométriques est la somme des produits partiels que l'on peut former avec les divers termes de ces mêmes sommes, en prenant un fadeur dans chacune d'elles.

Soit maintenant m un nombre entier quelconque. Le produit de m facteurs égaux à la quantité géométrique r,, est ce que nous appellerons la m'^"'" puissance de cette quantité et ce que nous indiquerons, suivant l'usage adopté pour les quantités algébriques, parla notation

Cela posé, l'équation (4) entraînera évidemment la formule

(7) '/' —-\^)iiip'i

et l'on étendra sans peine aux puissances entières de quantités géométriques les propositions connues et relatives aux puissances entières de quantités algébriques. Ainsi, par exemple, en désignant par m, n deux nombres entiers, on aura

/ Q \ . ,.iii ,.i> — ,.in+ii

Ainsi encore, on conclura du quatrième théorème que la formule de Newton, relative au développement de la puissance entière d'un binôme, subsiste dans le cas même où ce binôme est la somme de deux quantités géométriques.

Deux quantités géométriques seront dites opposées l'une à l'autre, lorsque leur somme sera nulle, et inverses l'une de l'autre, lorsque leur produit sera l'unité. D'après ces définitions, la (juantité géomé-

OEuvres de C. — S. I, t. H. 37

trique rp^^ sera l'opposée de r^. De plus, si l'on étend les formules (7), (8), au cas même où l'exposant m devient nul ou négatif, on aura identiquement

et la quantité géométrique r^' ne sera autre chose que l'inverse de r^. Pareillement, r^'" sera l'inverse de z-^' et l'on aura

Suivant l'usage adopté pour les quantités algébriques, une quantité géométrique pourra quelquefois être représentée par une seule lettre.

§ III. — Différences, quotients et racines de quantités géométriques.

Pour les quantités géométriques, comme pour les quantités algébriques, la soustraction, la division, l'extraction des racines ne seront autre chose que les opérations inverses de l'addition, de la multiplication, de l'élévation aux puissances. Par suite, les résultats de ces opérations inverses, désignés sous les noms de différences, de quotients, de racines, se trouveront complètement définis. Ainsi, en particulier :

La différence entre deux quantités géométriques sera ce qu'il faut ajouter à la seconde pour obtenir la première;

Le quotient d'une quantité géométrique par une autre sera le facteur qui, multiplié par la seconde, reproduit la première;

La racine n'^"'^ d'une quantité géométrique, n étant un nombre entier quelconque, sera un facteur dont la /i'""^ puissance reproduira la quantité dont il s'agit..

De ces définitions on déduira immédiatement les propositions suivantes :

Théorème I. — Pour soustraire une quantité géométrique, il suffit d'ajouter la quantité opposée.

Théorème II. — Pour diviser par une quantité géométrique, il suffît de multiplier par la quantité inverse.

Les différences et quotients de quantités géométriques s'indiqueront

à l'aide des notations usitées pour les quantités algébriques. Ainsi la

différence des deux quantités géométriques Rp, Vp sera désignée par

la notation

Rp— '•/,,

et le rapport ou quotient qu'on obtient en divisant la première par la seconde sera exprimé par la notation

Rp

Lorsque, dans une somme ou différence de quantités géométriques, quelques-unes s'évanouiront, on pourra se dispenser de les écrire. Donc, la somme et la différence des quantités géométriques o et r^, pourront être représentées simplement par -h r^ et — r^-, et l'on aura, eu égard au premier théorème.

Si dans la dernière des deux formules précédentes on pose p =^ o,

elle donnera

fr. — — fo^— r.

Soit maintenant p^ la racine n'*'""' de r^ : l'équation

(') P^=rp

donnera

ip")nu=r-p

et, par suite (voir le § F'),

(2) P"=/", nm = p-h'ik'K,

k désignant une quantité entière, positive, nulle ou négative; puis on en conclura