CT

n . Il

En vertu de la seconde des formules (3), l'angle polaire

. p 9.kr.

cj= — H

pourra être un terme quelconque de la progression arithmétique dont la raison serait — > l'un des termes étant -• Il en résulte qu'une même

quantité géométrique r^ offrira n racines du degré n, toutes comprises dans la formule

(5) . Vr«/p^2A 7:,

n II

et représentées par des rayons vecteurs égaux, menés du pôle à n points qui diviseront une même circonférence en parties égales. Ajoutons que, l'expression (5) reprenant exactement la même valeur, lorsqu'on

fait croître ou décroître le rapport - d'une ou de plusieurs unités, par

conséquent, lorsqu'on fait croître ou décroître k de n ou d'un multiple de n, il suffira, pour obtenir les diverses valeurs de cette expression, de prendre successivement pour k les divers termes de la suite

Si/? se réduit à zéro et r à l'unité, on aura simplement

Alors les diverses valeurs de l'expression (5), réduites à la forme

(7) -'li^»

ne seront autre chose que les racines n'^""^^ de l'unité, représentées par les divers termes de la suite

(8) 'o^'» '2715 UlT' ■••> l2in-ll-'

Il est bon d'observer que, parmi ces ternies, deux au plus se réduiront à des quantités algébriques, savoir : le premier terme io= i et, quand n sera pair, le terme 1^= — i» que l'on obtiendra en posant

MÉiMOIRE SUR LE CALCUL INÏÉXÎRAL. 293

k = -• De plus, comme on aura 2 ^

2(/i — 1)71 271 2(/i — 2)7: liTl

et, par conséquent,

loin — WiZ —— I 27r> I2I1 — 2>7Ï -— I 4TT> • • • »

Il n n n

il est clair que les diverses racines de l'unité pourront être représentées non seulement par les divers termes de la suite (8), mais encore, si n est impair, par les termes de la suite

(9) I (« — mt:. •••> I 47:1 '15' '' ^!il' 'il^' ••■' ^in—i)r.f

et, si n est pair,. par les termes de la suite

(10) I („2n:> •••» I 47:» I 2u» '> l2jrt> ^ir.f •••> ï(w — 2)7u> ••

Si, par exemple, on attribue successivement à n les valeurs

on trouvera pour racines carrées de l'unité les deux quantités algébriques

pour racines cubiques de l'unité, la seule quantité algébrique i et les deux quantités géométriques

^ 2JZf l27rî

pour racines quatrièmes de l'unité, les deux quantités algébriques i, — ï et les deux quantités géométriques

liées entre elles par la formule

etc.

29i MÉMOIEIE SUR LE CALCUL INTÉGRAL.

Si, dans l'expression (5), on posait k = o, cette expression, réduite à

représenterait une seule des racines n^''"^''^ de /},. Or, il suffira de multiplier celle-ci par l'une des valeurs de 12^^, c'est-à-dire par l'une

quelconque des racines «'e'"'"^ de l'unité, pour reproduire l'expression (5), propre à représenter l'une quelconque des racines /i'*"'"" de rp, attendu que l'on aura généralement

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorè31e in. — Pour obtenir les diverses racines n}^^" d'une quantité géométrique, il suffit de multiplier successivement l'une quelconque d'entre elles par les diverses racines n'^"'^^ de l'unité.

§ IV. — Fonctions entières. Équations algébriques. .

Nous appellerons /o/zc/w/i entière d'une quantité géométrique une somme de termes proportionnels à des puissances entières et positives de cette quantité. Le degré de la puissance la plus élevée sera le degré de la fonction. Cela posé, si l'on désigne par z une quantité géométrique variable et par Z une fonction de z entière et du degré n, la forme générale de la fonction Z sera

(1) Z=a-h bz + cz'- + ...^ gz"-'+hz",

a, b, c, ..., g, h désignant des coefficients constants, dont chacun pourra être une quantité géométrique. Ajoutons que l'on pourra encore écrire l'équation (i) comme il suit •

Si n se réduisait à zéro, la fonction entière Z se réduirait à la con-

stante a. Dans toute autre hypothèse, la fonction Z sera variable avec z et son module deviendra infini avec le module de z. En effet, posons

z — Vp, z — R|.;

soit de plus h le module de la constante h et concevons que le module r de - vienne à croître indéfiniment; on verra décroître indéfiniment les modules de z~\ z~-'^, .. ., z-" et, par suite, le polynôme

s'approchera indéfiniment de la limite h. Donc, pour de très grandes valeurs de r, le module de ce polynôme différera très peu du module h de la constante h et le module R de Z, eu égard à la formule (2), différera très peu du uiodule de Ag", c'est-à-dire du produit

hr«.

Donc le module R de Z deviendra infiniment grand avec le module r de z Qi à une valeur finie du module R de la fonction Z ne pourra jamais correspondre qu'une valeur finie du module r de la variable Z.

Concevons, maintenant, que l'on attribue à la variable z une valeur finie, puis à cette valeur finie un accroissement

dont le module p soit très petit; et en désignant cet accroissement par A^, nommons AZ l'accroissement correspondant de la fonction Z. Pour obtenir Z -h AZ, il suffira de remplacer z par z -\-X, dans le second membre de l'équation (i), où chaque terme pourra être développé, à l'aide de la formule du binôme, en une suite ordonnée selon les puissances entières et ascendantes de C- En opérant ainsi et réunissant les termes semblables, on obtiendra le développement de Z + AZ en une suite de termes proportionnels aux puissances entières de t, d'un degré inférieur ou égal à n. Si de cette suite on retranche la fonction Z représentée par le terme indépendant de '(, on obtiendra un reste qui sera divisible algébriquement par C et qui représentera le développement de AZ. Non^imons s"* la plus petite des puissances de t, comprises

â96 MÉMOIRE SUR LE CALCUL INTÉGRAL.

dans ce développement. Le quotient, que produira la division de AZ par C"*, sera une fonction entière de '( qui se réduira, pour une valeur nulle de 'C, à une limite finie et différente de zéro. Soient Bp ce quotient etsic^ la limite dont il s'agit. On aura, non seulement

mais encore

et pour des valeurs décroissantes de p l'argument |!l + mvs de AZ convergera vers la limite ^ -h mcj. Cela posé, nommons A et B les extrémités de deux rayons vecteurs qui, partant du pôle 0, soient représentés en grandeur et en direction par les deux quantités géométriques