Z, Z + AZ

La longueur AB, représentée géométriquement par AZ et numériquement par le module tlp"', se mesurera dans une direction qui formera l'angle ^ -h mrs avec l'axe polaire. Si, d'ailleurs, on fait croître le module p à partir de zéro, le point B, d'abord appliqué sur le point A, décrira un arc dont la droite AB sera la corde et la tangente menée à cet arc, par le point A, formera, avec l'axe polaire, un angle égal, non plus à la somme |i) H- mer, mais à sa limite ^S -hmzs. Or, évidemment la distance OB sera plus petite que la distance OA, si le point B est intérieur à la circonférence de cercle décrite du pôle 0 comme centre avec le rayon OA et l'on peut ajouter que cette dernière condition sera certainement remplie, pour de très petites valeurs du module p, si la tangente menée par le point A à l'arc AB forme un angle obtus avec le prolongement du rayon OA, ou, en d'autres termes, si l'angle polaire n, déterminé par la formule

(3) U=z^-hmrn-P,

offre un cosinus négatif; ce qui aura lieu, par exemple, si l'on a n = Tc. Mais, après avoir choisi arbitrairement pour II un angle dont le cosinus soit négatif, on pourra toujours satisfaire à l'équation (3), en attribuant à vs une valeur convenable, puisque, pour y parvenir, il suffira

de prendre

Donc, en définitive, si le module R de Z, correspondant à une valeur finie de la variable z, n'est pas nul, on pourra modifier cette valeur de manière à faire décroître le module R. En conséquence, la plus petite valeur que pourra prendre le module R ne pourra différer de zéro. Mais, quand R s'évanouira, la valeur de z, d'après ce qui a été dit plus haut, devra rester finie, et, puisqu'une telle valeur vérifiera l'équation

on pourra énoncer Ta proposition suivante :

Théorème I. — Soient z une quantité géométrique variable et Z une fonction entière de z. On pourra toujours satisfaire, par une ou plusieurs valeurs finies de z, à l'équation

Une valeur finie de z, qui vérifie l'équation (5), est ce qu'on nomme une racine de cette équation. Soit z' une telle racine, la fonction Z s'évanouira avec la différence :; — z', et, si le degré n de cette fonction surpasse l'unité, elle sera le produit de z — z' par une autre fonction entière qui devra s'évanouir à son tour pour une nouvelle valeur:;" de -, et sera, en conséquence, divisible par :; — :;". En continuant ainsi, on finira par établir la proposition suivante :

Théorème 11. — Soit z une quantité géométrique i^ariable et 'Lz=za-\- bz -^ cz--\-. . .-\- gz"-^-\- hz"' une fonction entière de z du degré n. IJ équation

admettra n racines, et, si ion nomme

OEuvres de C. — S. I. t. H. 38

ces mêmes racines, on aura identiquement, quel que soit z-,

en sorte que la fonction z sera le produit de la constante h par les facteurs linéaires

Il est bon d'observer que, dans le cas où l'équation (5) se vérifie, le terme As" de la fonction z équivaut à la somme de tous les autres, prise en signe contraire. Donc alors le module hr" de ce terme doit être égal ou inférieur à la somme des modules de tous les autres et, si l'on nomme b, c, . . ., g, h les modules des coefficients b,c, . . ., g, h, on doit avoir

(7) a -hb/--l- c/-^ + . . .+ gr"-"'— h/-"=o.

Or, cette dernière condition peut s'écrire comme il suit :

(8) ^ + Ji^ + %+...+ ? — l,=o.

D'ailleurs, le premier membre de la formule (8) varie, en décroissant, par degrés insensibles et passe de la limite ce à la limite — h, tandis que r croît et varie par degrés insensibles en passant de zéro à l'infini. Donc ce premier membre s'évanouira pour une certaine valeur de /' qui vérifiera l'équation

(9) a H- br + cr-4-. . .+ g/'""' — II/'" = o;

et, si l'on nomme l la racine positive unique de l'équation (9), la condition (7) ou (8) donnera /" <C 1- On peut donc énoncer la proposition suivante : .

Théorème III . — Les mêmes choses étant admises que dans le théorème II, chacune des racines de l'équation proposée offrira un module inférieur à la racine positive unique de l'équation auxiliaire qu'on obtient lorsqu'on remplace dans la proposée chaque terme par son module, en affectant

du signe — le terme qui renferme la plus haute puissance de l'inconnue et tous les autres du signe -h .

Lorsque dans la fonction entière z tous les termes s'évanouissent, à l'exception des termes extrêmes a et hz'\ la formule (5), réduite à V équation hinome

(lo) a -\- hz"^=o,

donne

et ses diverses racines ne sont autres que les racines /i'''"«'' du rapport

§ V. — Sur la résolution des équations algébriques.

Considérons toujours une équation algébrique,

(1) Z = o, dont le premier membre

(2) 'L~a + bz-\-cz^ + ...-\-gz"-^ + hz''

soit une fonction entière de la variable

les coefficients a, h,c, ..., g, h pouvant être eux-mêmes des quantités géométriques. (]omme on l'a prouvé dans le précédent paragraphe, cette équation admettra généralement n racines, c'est-à-dire que l'on pourra généralement assigner à z, n valeurs pour lesquelles la fonction Z s'évanouira. Résoudre l'équation, c'est déterhiiner ces racines, en commençant par l'une quelconque d'entre elles, et la condition à laquelle une méthode de résolution devra satisfaire sera de fournir chaque racine avec telle approximation que l'on voudra. Or, le caractère d'une racine est de réduire à zéro la fonction Z avec son module R.

et, si des valeurs successives de s correspondent à des valeurs de R qui décroissent sans cesse, en s'approchant indéfiniment de la limite zéro, ces valeurs de z formeront une série dont le terme général convergera vers une racine de l'équation (i). Donc, pour résoudre cette équation, il suffira de faire décroître indéfiniment le module R et l'on pourra considérer comme appropriée à ce but toute méthode qui permettra de substituer à une valeur finie quelconque de z une autre valeur qui fournisse un module sensiblement plus petit de la fonction Z. D'ailleurs, si de ces deux valeurs de s la première n'est pas nulle, on pourra considérer la seconde comme composée de deux parties dont l'une serait précisément la première valeur de z, à laquelle s'ajouterait une valeur particulière d'une variable nouvelle qui aurait commencé par être nulle. Donc on peut admettre comme méthode de résolution tout procédé qui permet d'assigner à une variable z comprise dans une fonction entière Z, une valeur à laquelle corresponde un module R de Z ■ sensiblement inférieur au module du terme constant a, qu'on obtient en posant dans cette fonction z = o.

Gela posé, concevons que la valeur générale de Z étant donnée par l'équation (2), on considère d'abord le cas où le coefficient b de z diffère de zéro. Si la variable r passe d'une valeur nulle à une valeur très peu différente de zéro, la fon-ction Z passera de la valeur a à une valeur peu différente de a et représentée approximativement par le binôme a + bz.

Si d'ailleurs le module de a est très petit relativement au module de b, l'équation (i) offrira pour l'ordinaire une racine très rapprochée de zéro et cette racine se confondra sensiblement avec celle de l'équation binôme

( 3 ) • » a -\- b z zzz o,

OU, ce qui revient au même, avec la quantité géométrique p^ déterminée par la formule

On pourra donc alors prendre ordinairement la quantité pcT pour valeur approchée de l'une des racines de l'équation (i) et c'est en cela que consiste la méthode d'approximation linéaire ou newtonienne. Toutefois, la valeur p^ attribuée à la variable :; ne pourra être admise comme valeur approchée d'une racine qu'autant qu'elle fournira un module R de Z inférieur au module de a.

Si, en posant

(5) ■ 5 = PcT,

on obtient un module de Z supérieur au module de a, on pourra substituer à la valeur précédente de z une autre valeur do la forme

r étant inférieur à p et convenablement choisi. Effectivement, soient

a, b, c, ..., g, h les modules des coefficients

a, h, c, . . . , g, h. Le module de

a -\- bzy

qui se réduisait à

lorsqu'on prenait z = p^, deviendra

lorsqu'on posera z = r^; alors aussi le module de la somme

sera, en vertu du deuxième théorème du paragraphe II, égal ou inférieur à la quantité positive .

c/-^ + . . . + g/'"-'+ hr«, et, par suite, le module du polynôme

Z = a + 6c + cc2h-. . .-+-^5"-' H- As"

sera égal ou inférieur à la quantité positive

a — b/' + c/'- + . . .-t- gr"^-*4- h/-", ou, ce qui revient au même, à la différence

(8) a — /-(b — cr — .. .— g/"*-- — hr'^-»). ■

Donc, le module R de Z sera inférieur au module a de la constantes, si l'on détermine c- à l'aide de l'équation (6), en assujettissant le module r à vérifier, non seulement la condition (7), mais encore la suivante

(9) b — cr — . . ., — g/-'«-2 — hr'*-'>o.

D'ailleurs, si l'on nomme r la racine positive unique de l'équation

il suffira, pour satisfaire simultanément aux conditions (7) et (9), que le module r devienne inférieur au plus petit des deux nombres c etr. En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Soient

une fonction entière de la variable z = rj, et

a, b, c, ..., g, h . les modules des coefficients

Supposons, d'ailleurs, que, les coefficients a, h n étant pas nuls, on nomme p^ la racine de l'équation binôme

a -h b z =^ o, et ï la j'acine positive unique de l équation

b — c/' — ... — or«-2 — h/'"'''=zo.

Pour rendre le module de la fonction Z inférieur au module de son premier terme a, il suffira de poser p =z xs et d'attribuer au module r de z une valeur inférieure au plus petit des deux nombres p, r.

Nous avons ici supposé que, dans la fonction Z, le coefficient de z ne se réduisait pas à zéro. Mais ce coefficient et d'autres encore pourraient s'évanouir. Admettons cette hypothèse, ou, ce qui revient au même, supposons la fonction Z déterminée, non plus par l'équation (2), mais par une équation de la forme

(11) T = a + bz'+cz"' + .. .+ hz",

les nombres l, m, . . ., n formant une suite croissante. Alors, si le module de a était très petit relativement au module de b, on pourrait, dans une première approximation, réduire pour l'ordinaire l'équation algébrique

à l'équation binôme

De plus, en raisonnant comme ci-dessus, on établirait, à la place du théorème I, la proposition suivante :

Théorème II. — Soit

X^rza + bz' -\-cz'"--\-. . .-^ hz"^,

une fonction entière de la variable z = r^„ et

a, b, c, ..., h les modules des coefficients

Supposons d'ailleurs que les nombres /, m, ..., n forment une suite croissante, et que, les coefficients a, b n'étant pas nuls, on nomme p„ l'une quelconque des racines de l'équation binôme

(12) a -h bz'z:=o.

et X la racine positive unique de l'équation

(i3) b — cr"»-'—.. .— h /•"-'=: o.

Pour rendre le module de la fonction Z inférieur au module de son premier terme a, il suffira de poser /? — a, et d'attribuer au module r de z une valeur inférieure au plus petit des deux nombres p, r.

En s'appuyant sur les théorèmes I et II, on pourra, d'une valeur nulle de z, déduire une série d'autres valeurs auxquelles correspondront des valeurs sans cesse décroissantes du module R de la fonction Z. Si ces valeurs décroissantes de R s'approchent indéfiniment de zéro, les valeurs correspondantes de z convergeront vers une limite qui sera certainement une racine de l'équation (i). Mais il peut arriver aussi que les valeurs de R successivement obtenues décroissent sans s'approcher indéfiniment de zéro. C'est ce que l'on reconnaîtra sans peine en essayant d'appliquer les théorèmes énoncés à la résolution d'équations très simples, par exemple, d'équations du second degré.

En effet, considérons le cas où Z, étant du second degré, l'on aurait

(i4) l. — a-^bz + cz''.

Supposons d'ailleurs que, a, b, c étant les modules de a, 6, c, on ait a = a, i =1 — b, c = c.

La valeur de Z deviendra

( 1 5 ) Z =: a — hz + cz"-;

et les racines p^» r des équations

a — b3=:o, b — cr =iO

seront

de sorte qu'on aura encore

0= -» In=: I.

Si d'ailleurs p est supérieur à r, ou, ce qui revient au même, si l'on a (i6) ■ ac — b->o,

alors, pour obtenir un module de Z inférieur au module a, il suffira, en vertu du théorème I, de poser

G désignant un nombre inférieur à l'unité, mais qui pourra varier arbitrairement entre les limites o, r; et comme en posant

on trouvera

(19) Z = a'— b'Ç + cÇS les valeurs de a', b' étant

(20) a'=a-9(i— 5)br, b' = (f-29)b;

il est clair qu'à la valeur zéro de '(, ou, ce qui revient au même, à la valeur Oc de z correspondra un module de Z, inférieur au module de a, et représenté par a'. 11 y a plus : comme des formules (20), jointes à la condition (i(3), on tirera

il suffira d'appliciuer le théorème I à la valeur générale de Z, que détermine, non plus l'équation (1 5), mais l'équation transformée (19), pour démontrer que le module <le Z décroîtra encore si la nouvelle variable s passe de la valenr zéro à la valeur

0 étant déterminé par la formule

0 = 1 — 20,' OEuvres de C. — S. 1, t. U. ^9

ou, ce qui revient au même, si la variable z passe de la valeur 6r à la valeur 6 r(i -+- 0). En continuant ainsi, on reconnaîtra que, pour obtenir des valeurs décroissantes du module de Z, il suffit de prendre pour valeurs successives de z les divers termes de la suite

(22) o, Qx, 0r(n-0), ôr(i + 0 + 0^), ....

Or, le terme général de cette suite converge vers la limite

ôr(i + 0 4- 02 -+-...)=— ^r= -r,

et comme en supposant remplie la condition (i6) on trouve, pour

il est clair que dans cette hypothèse la limite vers laquelle converge le terme général de la série (22) ne peut être une racine de l'équation du second degré

(28) ■ a — bs+c^2=o..

On arriverait aux mêmes conclusions en formant la série des valeurs décroissantes du module R de Z, qui correspondraient aux valeurs successives de la variable z, et l'on reconnaîtrait ainsi que le terme général de cette nouvelle série, au lieu de s'approcher indéfiniment de zéro, converge vers la limite

par conséquent vers la limite

a — (i — 9)rb(i-+-0^ + 0* + ...) = a— -i — — ^br = a - ^br,

supérieure a 7 a.

La limite vers laquelle converge le terme général de la série (22) n'étant pas une racine de l'équation (21), on pourrait être tenté de regarder le calcul de cette limite comme inutile à la résolution de cette

équation. Mais cette opinion serait une erreur; car si l'on décompose la variable z en deux parties, dont la première soit la limite trouvée, ou, en d'autres termes, si l'on pose

il suffira de substituer à la variable z la nouvelle variable t, pour réduire l'équation (-23) à l'équation binôme

(24) a'+cC-=o,

la valeur de a' étant

D'ailleurs, les deux racines de l'équation (24) ne sont autres que

a' les deux racines carrées du rapport — — •

Généralement, si au lieu d'une équation du second degré, on considère une équation de degré quelconque, la série des valeurs de z, successivement déduites des règles que nous avons énoncées, et correspondant à des valeurs décroissantes du module R de Z, pourra converger vers une limite qui, n'étant pas une racine de l'équation donnée, ne fasse pas évanouir le module R. Mais alors il suffira d'attribuer à cette limite un accroissement représenté par une nouvelle variable t\ puis de substituer C à ^, pour obtenir, à la place de l'équation donnée, une équation transformée, de laquelle on pourra déduire, par l'application des mêmes règles, une nouvelle série de valeurs de t et, par conséquent, une nouvelle série de valeurs de z, correspondant à de nouvelles valeurs décroissantes du module R.

En continuant do la sorte, c'est-à-dire en déduisant, s'il est nécessaire, des règles énoncées plusieurs séries de valeurs de z, en déterminant d'ailleurs avec une approximation suffisante les limites vers lesquelles convergent les termes généraux de ces séries et en transformant l'équation donnée par l'introduction de variables nouvelles qui, ajoutées à ces limites, reproduisent la variable z, on pourra, non seule-

ment diminuer sans cesse, mais encore rapprocher indéfiniment de zéro le module R; par conséquent, on finira par résoudre l'équation donnée avec une approximation aussi grande que l'on voudra. Il y a plus : cette méthode de résolution peut encore servir à démontrer l'existence des racines. Lorsqu'on veut l'employer à cet usage, il n'est pas absolument nécessaire de considérer les équations auxiliaires (<)) et (lo) ou (12) et (i3); il suffit d'observer que l'on satisfait aux conditions requises, par exemple aux conditions (7) et (9), en attribuant au module r de :■ une valeur infiniment petite; et l'on se trouve ainsi ramené au théorème I du paragraphe IV, par une démonstration qui est précisément celle qu'en a donnée M. Argand dans un Article que renferme le quatrième Volume des Annales de M. Gergonne, page i33 et suivantes (' ). C'est encore à cette démonstration que se réduit celle que M. Legendre a proposée pour le même théorème dans la seconde édition de la Théorie des nombres. D'ailleurs, M. Legendre observe qu'en diminuant continuellement le module d'une fonction entière par des opérations semblables, répétées convenablement, on parviendra en définitive à une valeur de ce module aussi petite que l'on voudra; il présente, en conséquence, ce décroissement graduel comme méthode de résolution pour les équations algébriques, et surtout comme propre à fournir une première valeur approchée d'une racine d'une telle équation. Mais le moyen qu'il propose pour conduire le calculateur à ce but laisse beaucoup à désirer et consiste à faire décroître le module de la fonction entière Z, en attribuant à la variable z une valeur égale au produit d'un coefficient très petit par la racine de l'équation (3), ou par une racine de l'équation (12). Du reste, il n'explique pas comment on doit s'y prendre pour obtenir un coefficient d'une petitesse telle que le module de Z décroisse effectivement, et ne parle pas de l'équation (10) ou (i3) qui permet de répondre à cette question. Ajoutons que, même en ayant égard à l'équation (10) ou(i3), et en

(') J'ai en c^ moment sous les yeux un exem[)Iaire de TOuvrage dont cet article offre le résumé. Cet Ouvrage, qui a pour titre : £ssai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques, porte la date de 180G. Le nom de l'auteur, Robert Argand, de Genève, est écrit à la main.

suivant la méthode ci-dossus tracée, on peut être exposé à un travail long et pénible, si l'on n'a pas soin de choisir convenablement les quantités que la méthode laisse indéterminées; par exemple, le nombre désigné par ô dans la formule (i8). Supposons, pour fixer les idées, que l'équation (:i3) se réduise à la suivante

Alors, le rapport - ou r étant réduit h l'unité, le n'''"'' terme de la

série (22) sera

et convergera, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite -• Mais

il s'approchera très lentement de cette limite, si l'on attribue au nombre 0 une valeur peu différente de zéro, à laquelle correspondra une valeur de 0 peu différente de l'unité. Donc alors on devra prolonger fort loin la série (22), avant d'obtenir un terme sensiblement égal il cette limite; et l'on peut ajouter que les valeurs de R correspondant aux valeurs successives de z- décroîtront très lentement. A la vérité, dans le cas présent, on peut déterminer directement la limite cherchée. Mais il n'en sera plus de même quand l'équation donnée sera d'un degré supérieur au second; et généralement le calcul des valeurs successives de z deviendra pénible, si le module R décroît très lentement tandis que Ton passe d'une valeur de :; à la suivante : ce qui obligera le calculateur d'effectuer une longue suite d'opérations avant que ce module devienne sensiblement nul.

On évitera ces inconvénients, ou du moins on les atténuera notablement, si, en appliquant à une fonction entière Z le théorème 1 ou II, on attribue à la variable :; un module r qui, sans dépasser la plus petite des limites indiquées p et r, fasse décroître autant qu'il sera possible le module de Z. D'ailleurs, lorsque le coefficient de :; dans Z étant différent de zéro, on attribue à la variable -, avec l'argument ct, un module égal et inférieur au plus petit des nombres p, v, le module

de Z ne dépasse pas la somme (8), savoir

(8) a — /-(b — c/-— . . .— g/-" -— hr"-»),

dont la valeur minimum, inférieure à a, correspond à la valeur maximum du produit

(25) /-(b — c/' — . . .— gr"-*—h /•"-').

Enfin, le produit (2;")), dont les deux facteurs s'évanouissent, le premier quand on pose r= o, le second quand on pose /' = r, aura évidemment pour maximum une valeur positive correspondant à une valeur v de r, qui vérifiera la condition

Donc, la quantité t, inférieure à r, sera la valeur de r à laquelle correspondra la valeur minimum de la somme (8), que le module de Z ne dépassera point si l'on a /<< c. On se trouvera donc naturellement conduit à substituer, dans le théorème I, ï à r; on pourra même réduire le module r de ^ à celle des deux quantités p, r qui fournira le plus petit module de Z; et l'on obtiendra ainsi, pour la résolution des équations algébriques, la méthode nouvelle et très simple qui fera l'objet du paragraphe suivant.

§ VI. — Méthode nouvelle pour la résolution des équations

algébriques .

Soit toujours

Z^=i a + bz -^ cz--\- . . . + gz"--'^ + liz"-

une fonction entière de la variable

Comme on l'a expliqué dans le paragraphe Y, on pourra résoudre une équation algébrique quelconque à l'aide de tout procédé qui fournira pour la variable z une valeur à laquelle corresponde un module R

(le la fonction Z, sensiblement inférieur au module a du premier

terme a.

Cela posé, considérons d'abord le cas où, la valeur de Z étant donnée

par l'équation (i), le coefficient h de z diffère de zéro. Alors une méthode de résolution très simple pourra évidemment se déduire du théorème que nous allons énoncer.

Théorème I. — Soient

(i) 7. = a + bz + cz'^ + ...-h gz"-^+ hz"-

une fonction entière de la variable z = r^,, et

les /nodules des coe^cients

Supposons d'ailleurs que, les coefficients a, b n'étant pas nuls, on nomme p^ la racine de l'équation binôme

( 2 ) a-\' hz^=z o

et ï la xmleur de r pour laquelle le produit

devient un maximum, ou, ce qui revient au même, la racine positive unique de l'équation

(4) b — 2c/' — . . . — (/i — i)gr"-^ — «h /■'*-' = o.

Pour rendre le module de la fonction Z inférieur au module de son premier terme a, il suffira de réduire ce module R à /a plus petite des deuœ i^aleurs qu'il obtient quand on pose successivement

Démonstration. — Lorsque, l'argument de z étant égal à nr, le mo-

dule de z est é^al ou inférieur à p, le module du binôme a -+- hz se

réduit à la différence

a — br;

par conséquent, le module de Z ne surpasse pas la somme

(5) a — br + cr--i-. . .+ g/-"-' 4- h/-".

D'autre part, le produit (3), qui croîtra en passant d'une valeur nulle à sa valeur maximum, tandis que r croîtra depuis zéro jusqu'à t, sera toujours positif dans cet intervalle. Donc pour r<ï, on aura

(6) cr--f-. . .-r g/-"'-' + h/-">b/-.

Or, il résulte immédiatement de«cette dernière formule que, si l'on réduit le module rau plus petit des deux nombres s, t, la somme (5), et à plus forte raison le module R de Z, offriront des valeurs inférieures au module a. Donc le plus petit des modules de Z, correspondant aux valeurs p^, ïçt de z, sera certainement inférieur au module a.

Corollaire. — Il est bon d'observer que, si l'on considère le produit (3) comme fonction de r, ce produit, qui croît toujours avec r quand on fait varier r entre les limites o, t, offrira dans cet intervalle une dérivée toujours positive. Donc, pour r<ï, on aura toujours

1) — icr — . . . — {n — i)g/'"-- — rthr"~' > o, OU, ce qui revient au même,

br — 2C/-- — . . .^—{n — \)^r"-^— n\\r"> o,

puis on en conclura

(7) b/- — c/-- — . . . — gr"-'— h/-"> c/'--h. . .-h(/i — 2)g/'"--'+ (« — i)b/-".

Or, en vertu de cette dernière formule, qui entraîne évidemment avec elle la condition (6), le module a surpassera la somme (3) d'une quantité supérieure au nombre a déterminé par la formule

MÊMOIHE SUK LE CALCUL INTÉGRAL. 313

Donc, par suite, le module R de Z deviendra inférieur à la différence a — a, si l'on pose z = r^ en prenant pour r le plus petit des deux nombres, c, i ; et à plus forte raison si l'on réduit le module R à la plus petite des deux valeurs qu'il acquiert quand on pose successivement ^ = Pct, z =x^.

Ajoutons que le nombre a ne s'évanouira jamais, si ce n'est dans le cas particulier où, les coefficients c, ...,g,/i s'évanouissant tous simultanément, le polynôme Z se trouverait réduit au binôme a -+- hz. D'ailleurs dans ce cas particulier l'équation algébrique Z = o se réduirait précisément à l'équation binôme a + bz = o, dont la racine

est z — Pj^ — ■^•

Considérons maintenant le cas où dans la fonction Z le coefficient de z s'évanouirait, ou, ce qui revient au même, supposons cette fonction déterminée, non plus par la formule (i), mais par une équation de la forme

Alors, au théorème I on pourra substituer la proposition suivante :

Théorème II. — Soient

(9) 7.=ia ^bz'+cz'"-^. ..+ hz"-

une fonction entière de la variable z = r,,, et

a, b, c, ..., h les modales des coefficients

Supposons, d'ailleurs, que les nombres l, m, . . ., n forment une suite croissante, et que les coefficients a, b n'étant pas nuls, on nomme p^ l'une quelconque des racines de l'équation binôme

(10) a -+- bz'= o.

Enfin, soit x la valeur de r, pour laquelle le produit (u) r'{b — cr'"-'—. . .— /ir"~')

OF.nvres de C. — S. I, t. 11 4o

devient un maximum, ou, ce qui revient au même, la racine positive unique de l'équation

(12) /b — mcr'"^'^ — ... — « Il /•"-'' =-. o.

Pour rendre le module de la /onction Z inférieur au module de son premier terme a, il sujjira de réduire ce module à la plus petite des deux valeurs qu'il obtient quand on pose successivement

Démonstration. — Lorsque, l'argument de z étant égal h rj, le module

de z est égal ou inférieur à p, le module du binôme a -h bz^ se réduit

à la différence'

par conséquent le module de Z ne surpasse pas la somme (i3) . a — b/''-^c/''" + . . .-+-h/-".

D'autre part, le produit (11), qui croîtra en passant d'une valeur nulle à sa valeur maximum, tandis que r croîtra depuis zéro jusqu'à t, sera toujours positif dans cet intervalle. Donc pour r<ï, on aura

Or, il résulte immédiatement de cette dernière formule que, si l'on réduit le module rau plus petit des deux nombres p, t, la somme (i3) et, à plus forte raison, le module de Z offriront des valeurs inférieures au module a. Donc, le plus petit des modules de Z correspondant aux valeurs p^, t^ de z, sera certainement inférieur au module a.

Corollaire. — Il est bon d'observer que, si l'on considère le produit (i i) comme une fonction de r, ce produit, qui croît toujours avec r quand on fait varier r entre les limites o, x, offrira dans cet intervalle une dérivée toujours positive. Donc, pour r<<ï, on aura toujours

(t5) /br'-' — mcr'«-i — . . .— n\\r"-'^> o.

ou, ce qui revient au même,

Ihr' — mer'" — ... — «h/">o; puis on en conclura

(i6) br'— cr'" — ...— Iir"> (j — 1 jc/-'" + . ..+ (j — ijhr\

Or, en vertu de cette dernière formule, qui entraîne évidemment avec elle la condition (i4)> 1^ module a surpassera la somme (i3) d'une quantité supérieure au nombre a déterminé par la formule

m \ f II

Donc, par suite, le module R de Z deviendra inférieur à la quantité a — a, si l'on pose z = r^, en prenant pour r le plus petit des deux nombres p, t, et à plus forte raison si l'on réduit le module R à la plus petite des deux valeurs qu'il acquiert quand on pose successivement z = pjj, z = ïjj. Ajoutons que le nombre a ne s'évanouira jamais, si ce n'est dans le cas particulier où, les coefficients c, ..., g, h s'évanouissant tous simultanément, le polynôme Z se trouverait réduit au binôme a-^bz^. D'ailleurs, dans ce cas particulier l'équation algébrique Z = o se réduirait précisément à l'équation binôme a^bz^ = o, dont les racines se confondent avec les racines de degré / du rapport

— -7) l'une d'elles étant Pj,.

L'application du théorème I ou II aux fonctions entières, qui représentent les premiers membres d'une équation algébrique et de ses transformées successives, fournit, pour la résolution de cette équation, une méthode et des formules précises qui ne renferment plus de quantités indéterminées et arbitraires, analogues au nombre 6 du paragraphe précédent. A la vérité, pour déduire cette méthode des principes exposés dans le paragraphe précédent, il suffit d'attribuer aux indéterminées dont il s'agit des valeurs spéciales, en prenant, par exemple, ô = -. Mais, comme ces valeurs spéciales sont précisément celles qui

font décroître plus rapidement le module de ^a fonction entière donnée, ou du moins certains nombres que ce module ne dépasse point, elles seront aussi généralement celles qui rendront les approximations plus rapides.

Supposons, pour fixer les idées, que l'on applique la nouvelle méthode à la formule (23) du paragraphe V, c'est-à-dire à l'équation du second degré

a — hz -^ CZ-:=: o,

en supposant toujours On trouvera

ac — b-> o.

Pct — 7-' ^u^'>-^= > cc=ci^;

puis, en prenant

et faisant pour abréger a'= a — a, on obtiendra immédiatement la

transformée

a'+cC2z=:o,

dont les deux racines coïncident avec les racines carrées du rapport — — • On retrouvera donc ainsi l'équation (24) du paragraphe V; et ce

qu'il importe de remarquer, on aura été conduit à cette équation, non plus par la recherche de la limite vers laquelle converge le terme général d'une série formée avec des valeurs successives de la variable z, mais par la détermination d'une seule valeur de cette même variable. S'il arrivait que la fonction Z offrît,' à la suite de son premier terme a, un ou plusieurs autres termes dont les coefficients fussent sensiblement nuls, on pourrait, en se servant du théorème I ou II pour déterminer un module de Z inférieur à celui de a, faire abstraction de ces mêmes termes, sauf à constater ensuite que le module trouvé de Z, quand on a égard aux termes omis, reste inférieur au module de a. Cette remarque permet d'employer la nouvelle méthode à la résolution d'une équation numérique donnée, dans le cas même où l'application rigoureuse des théorèmes I et II aux premiers membres des transformées de*cette équation ferait décroître très lentement, après

un certain nombre d'opérations, les modules de ces premiers membres. On sait que l'on peut toujours ramener la résolution d'une équation algébrique au cas où cette équation n'offre pas de racines égales. D'ailleurs, lorsque à l'aide de la nouvelle méthode on sera parvenu à une valeur très approchée w d'une racine simple d'une équation algébrique,

alors, en posant

(19) * ^nrw-hC,

on transformera Z en une fonction de ^ dans laquelle le terme constant sera sensiblement nul, tandis que le coefficient de 'C différera sensiblement de zéra. Quant au coefficient de '("» il se réduira précisément au coefficient de 5" dans la fonction Z. Donc, dans l'hypothèse admise on trouvera

(20) Z=:a4-bC-f-rr' + ...-+-g?«-i4-hC";

a, b, c, ..., 0 désignent de nouveaux coefficients dont le premier 0 offrira un module très petit, tandis que le module de b différera sensiblement de zéro. Donc alors, en vertu du théorème I, il faudra, pour rendre le module de Z inférieur au module de 0, poser

OU, ce qui revient au même,

et, par suite, la nouvelle valeur approchée de la racine simple, qui différait peu de w, sera celle que détermine la formule

Ainsi, la nouvelle méthode, appliquée à la résolution d'une équation algébrique, finira par coïncider, après un certain nombre d' opérations , avec la méthode linéaire ou newtonienne.