DÉRIVÉES PARTIELLES, A COEFFICIENTS PÉRIODIQUES

ET SLR LES ,

liNTÉGRALES ÉLÉMENTAIRES DE CES MÊMES ÉQUATIONS (').

Mémoires de V Académie des Sciences, t. XXII, p. 687; i85o.

Je viens aujourd'hui appeler l'attention des géomètres sur une nouvelle branche de Calcul intégral qui me paraît devoir contribuer aux progrès de la Mécanique moléculaire, et qui a pour objet l'intégration des équations linéaires à coefficients périodiques.

J'appellerai fonction périodique d'une ou plusieurs variables indépendantes X, y, z, ... celle qui ne sera point altérée quand on fera croître ou décroître ces variables de quantités représentées par des multiples de caYisàn^ paramètres a, h, c, . .. en faisant varier x d'un

multiple de a, y d'un multiple de b, z d'un multiple de e, Des

équations linéaires à coefficients périodiques ne seront autre chose que des équations linéaires difïerentielles ou aux dérivées partielles, dans lesquelles les diverses dérivées des inconnues auront pour coefficients des fonctions périodiques des variables x, y, z, . . . ou de variables représentées par des fonctions linéaires de x, y, z, . . . Enfin, j'appellerai paramètres tri gonométriques les quotients a, ê, y, qu'on obtiendra en divisant la circonférence ir. par les paramètres donnés a, h, c

Dans les équations linéaires et à coefficients périodiques auxquelles

(') Présenté dans la séance du 10 décembre 1849.

OEwres de C. — S. I, t. II. 42

330 MEMOIRE SUR LES SYSTÈMES D'ÉQL AXIONS

on se trouve conduit par la Mécanique moléculaire, les coefficients sont, en général, fonctions des coordonnées, mais indépendants du temps t; et alors on peut obtenir des intégrales particulières qui fournissent pour les inconnues des valeurs représentées par des produits dont un seul facteur renferme le temps, ce facteur étant une exponentielle dont l'exposant est proportionnel à t. Lorsque l'exponentielle dont il s'agit sera une exponentielle trigonométrique, les intégrales trouvées deviendront isochrones, c'est-à-dire qu'elles fourniront, pour valeurs des inconnues, des fonctions périodiques du temps.

Les intégrales particulières dont nous venons de parler.seront généralement imaginaires ou symboliques, mais elles ne cesseront pas pour cela d'être applicables à la solution des problèmes de Mécanique ou de Physique; car, si l'on réduit les valeurs symboliques des inconnues à leurs parties réelles, ces parties réelles satisferont encore aux équations données.

Une propriété remarquable d'une fonction périodique de x, y, z, ... c'est qu'elle peut être développée en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes des exponentielles trigonométriques dont chacune a pour argument le produit d'une variable par le paramètre trigonométrique correspondant. Dans chaque terme de la série, le facteur constant est représenté par une intégrale définie multiple, les intégrations étant effectuées entre les limites ^ == o, -r = «; y = o, y = è; ::. = o, :: = c; .... Le terme constant de la série est la valeur jnoyenne Aq la fonction entre ces limites. D'ailleurs, il est important d'observer que si une fonction périodique // renferme avec les variables indépendantes r, y, z, . . . d'autres quantités A, k, . . . la valeur moyenne de u, considérée comme fonction de A, k, ... pourra changer de forme quand on changera les valeurs de h, k (^).

(') Ainsi, par exemple, la fonction périodique

a pour valeur moyenne zéro, ou l'unité, suivant que le module de k est supérieur ou inférieur au module de //.

LINEAIRES DIFFERENTIELLES, ETC. 331

Ces principes étant admis, concevons d'abord que, dans les équations linéaires données, les coefficients cessent d'être périodiques et deviennent constants. Alors, on pourra satisfaire aux équations données en supposant les valeurs des diverses inconnues proportionnelles à une seule exponentielle dont l'exposant sera représenté par une fonction linéaire des variables indépendantes. Cette exponentielle, que j'appellerai Y exponentielle caractéristique, se trouvera d'ailleurs multipliée dans les diverses inconnues par des coefficients divers dont les équations linéaires données feront généralement connaître les rapports.

En opérant comme je viens de le dire, on obtient seulement des intégrales particulières d'un système donné d'équations linéaires et à coefficients constants. Ces intégrales, qu'on peut appeler élémentaires, représentent, en effet, dans les questions de Mécanique moléculaire, les mouvements élémentaires, ou, en d'autres termes, les n)ouvements simples et par ondes planes. Ajoutons que l'exponentielle caractéristique correspondant à un système quelconque d'intégrales élémentaires peut se déduire directement de Y équation caractéristique ii laquelle on parvient en éliminant entre les équations données toutes les inconnues, à l'exception d'une seule.

Concevons maintenant que, dans un système d'équations linéaires, les coefficients redeviennent périodiques, mais diffèrent peu de leurs valeurs moyennes. Après avoir développé ces coefficients en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et descendantes des exponentielles trigonométriques ci-dessus mentionnées, on pourra substituer aux inconnues des développements de même forme, puis égaler entre eux, dans les deux membres de chaque équation, les coefficients des puissances semblables de ces exponentielles. On obtiendra ainsi des équations auùciliairex qui seront encore linéaires, mais à coefficients constants, et qui serviront à déterminer les divers termes des développements des inconnues, ou plutôt les coefficients des exponentielles trigonométriques dans ces divers termes. Dans l'hypothèse admise, c'est-à-dire lorsque les coefficients périodiques renfermés dans

les équations données différeront peu de leurs valeurs moyennes, les séries qui représenteront les développements des inconnues seront ordinairement convergentes, et l'on pourra exprimer les valeurs des diverses inconnues par des produits de deux facteurs, dont l'un sera une exponentielle caractéristique propre à vérifier le système des équations auxiliaires, l'autre l'acteur de chaque produit étant un coefficient périodique.

Étant donné un système quelconque d'équations linéaires à coefficients périodiques, les intégrales particulières qui fourniront pour les inconnues des valeurs représentées par des produits de cette sorte, seront celles que je désignerai spécialement sous le nom cVintégrales élémentaires.

11 est important d'observer que, dans un système d'intégrales élémentaires d'équations à coefficients périodiques, l'exponentielle caractéristique offre ordinairement une valeur différente de celle qu'on obtiendrait si l'on réduisait chaque coefficient périodique à sa valeur moyenne. Cette observation est surtout utile lorsque les équations données se rapportent à une question de Mécanique ou de Physique,

spécialement à la théorie du son ou à celle de la lumière.

ANALYSE

Pour montrer une application très simple des principes exposés dans ce Mémoire, concevons que l'inôonnue « doive vérifier l'équation linéaire aux dérivées partielles

K étant une fonction périodique de x, qui ne soit pas altérée quand on fait croître ou décroître la variable x, supposée réelle, d'un multiple du. paramétre a. Posons d'ailleurs

Enfin, nommons* k^ la valeur moyenne de la fonction K, en sorte

i vif^iVhKSITY

OF

LINEAIRES DIFFERENTIELLES, ETC. 333

qu'on ait •

- f Kdx,

et soit pareillement k^ la valeur moyenne du produit Ke~''^'^\ n étant une quantité entière quelconque, positive ou négative. La formule

(2) K=:/.-o+ A-,e*-^'-l- A'^e^*^'^. . .-+- A ie-°'^'-t- A-2e-2a^'-l-. . .,

fournira le développement de la fonction K en une série ordonnée suivant les puissances entières ascendantes et descendantes de l'exponentielle e"*-^'. Si, d'ailleurs, la fonction K diffère peu de sa valeur moyenne ^0, on pourra, dans une première approximation, réduire K à Xto, et la formule (i) à l'équation

Or, cette dernière équation, linéaire et à coefficients constants, sera vérifiée, si l'on pose

(4) a=Ae«^+-",

u, s, A désignant trois constantes dont les deux premières soient liées entre elles par la formule

et la valeur que l'équation (4) fournira pour l'inconnue « représentera non seulement ce que nous appelons une intégrale élémentaire de l'équation (3), mais encore une intégrale approchée de l'équation (i). Si, maintenant, on veut obtenir, non plus une intégrale approchée, mais une intégrale exacte de l'équation (i), on pourra supposer la fonction « développée aussi bien que la fonction K en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de l'exponentietl» e''-^'. Faisons, en conséquence,

(6) 8 =«0+ «jgaxi,^ Bjje2axi + . . ^^ 8 ie-*-^'H- 8,e-*'='^' +

L'équation (i) sera vérifiée si, après y avoir substitué les valeurs