MÉMOIRE SUK LES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS

de K et «, tirées des formules (2) et (6), on égale entre eux les coefficients des puissances sçmblables de l'exponentielle e^-^', renfermés dans les deux membres. On obtiendra ainsi les équations auxiliaires

( I);— A-„J)^) 80 = /.--i ( l)^+ a i )«i + . . . + /q ( J)^— a i )8, -t- . . . , [Di— A-„(l)^.+ ai)]8, = /r,(I)^+ aai)»^^. . .-h A-iI)^«o+- • -, >

Or, ces équations, toutes linéaires et à coefficients constants, seront vérifiées, si l'on suppose les inconnues

toutes proportionnelles à une seule exponentielle caractéristique de la forme

oUX-\-Xt

en sorte qu'on ait

et si, d'ailleurs, on assujettit les constantes

H, Sy Aq, Al, • • •» A i, ...

à vérifier les équations

s = ka,

A, = /.■! ( I + -^ ) A2 4- . . . 4- /.-, Ao ^ . . . ,

k-kJ 1 +

A i=A^,Ao + ...+ A-, .-1^ A

Alors aussi, en posant pour abréger

( j 0 A = Ao -h Al e''-'^' + AïS-^^' 4- . . . + A i e"»-^' + A-, e"

LINÉAIHKS DIFFÉRENTIELLES, ETC. 335

on tirera des formules (G) et (8)

(12) 8=:Ae"^+^'.

Cette dernière est semblable à la formule (4), mais avec cette différence que le coefficient A, constant dans la première, devient périodique dans la seconde. Ajoutons que la valeur de la constante s, déterminée dans l'équation (4) par la formule (5), se déduira, dans l'équation (12), de la formule (9), dans laquelle on devra substituer la valeur de k tirée des équations (10). Remarquons enfin que la formule (12) est ici tirée d'une méthode qui suppose la série (11) convergente et, par suite, la valeur de K généralement peu différente de sa valeur moyenne X;„. Cette supposition étant admise, le calcul des valeurs de

^t Aq, A], A,, • • • >

déterminées par les formules (10), pourra s'exécuter comme il suit : Concevons que, // étant un nombre entier quelconque, on néglige dans les seconds membres des formules (10) tous les termes qui renferment les quantités

Alors on obtiendra 2/24-1 équations qui détermineront, avec l'inconnue X-, les rapports des inconnues

Aoi Al, A2, ..-, A„; A|, A 2, ..., A„.

Toutefois les valeurs ainsi trouvées, pour ces rapports. et pour la constante k, seront seulement approximatives. Mais, si n vient à croître indéfiniment, ces valeurs approximatives convergeront vers des limites .qui seront les valeurs exactes de. l'inconnue k et de ces rapports.

Il est important d'observer que, le nombre entier //. venant à croître, le degré de l'équation en k, toujours représenté par le nombre 2/2-1-1, croîtra également. Mais, parmi les 2/2 + 1 racines de cette équation, on devra choisir évidemment celle qui aura pour valeur approchée ^„. D'ailleurs à cette racine, prise pour valeur de Â\ correspondra un

système unique de valeurs des rapports

Al Aa A,i A, A, A„

'^0 Ao Aq Ao Aq Aq

La fnéthode d'intégration que nous venons d'appliquer à l'équation (i) s'appliquerait pareillement à une équation de la forme

(i3) • D|« = KI)|«,

K étant toujours une fonction périodique de x, et généralement aux systèmes d'équations linéaires à coefficients périodiques auxquels on se trouve conduit par les problèmes de Mécanique ou de Physique. Dans le cas où les coefficients périodiques différeront peu de leurs valeurs moyennes, on obtiendra, en opérant comme on vient de le dire, des intégrales particulières, en vertu desquelles les inconnues se trouveront représentées par des produits de deux facteurs dont l'un sera une exponentielle caractéristique déterminée de manière à vérifier un certain système d'équations auxiliaires à coefficients constants. Quant à l'autre facteur, il se réduira simplement à un coefficient périodique. Ces intégrales particulières seront celles que nous désignerons sous le nom d'intégrales élémentaires. La méthode que nous venons d'indiquer fournira les intégrales élémentaires développées en séries, elle suppose d'ailleurs que les développements trouvés sont convergents. Dans certains cas spéciaux, on pourra obtenir ces intégrales élémentaires en termes finis. C'est ce qui arrive, par exemple, pour l'équation (i), ainsi qu'on va le faire voir;

Les quantités s, u étant deux constantes et A une fonction de x, il est clair qu'on pourra toujours satisfaire à l'équation (i) par une valeur de « de la forme

(l4) 8=:Ae"*+^',

car, si l'on substitue cette valeur de a dans l'équation (i) et si l'on pose, pour abréger,