S?(P) + Ç,Ç,;Z(P)+'^'MP
?(p)' '/(?)' Kp) étant des fonctions de la seule quantité p, ou, ce qui revient au même,
En d'autres termes, dans l'hypothèse admise, la fonction co sera de la forme
§ IV. — Sur les fonctions isotropes et symboliques des coordonnées reclilignes de divers points.
Nous appellerons fonction syndmlique de diverses variahles une fonction qui renfermera, non seulement ces variables, mais encore des lettres symboliques indiquant des dérivées prises par rapport ii quelques-unes de ces variahles.
Une fonction symbolique qui dépendra uniquement des coordonnées rectilignes de divers points <,erii isotrope, si l'on n'altère pas sa valeur en imprimant aux axes coordonnés un mouvement de rotation quelconque autour de l'origine.
Concevons, pour fixer les idées, que l'on nomme a-, y, z- l(>s coordonnées reclangulaires d'un point mohile P; H, y], ç les coordonnées rectangulaires d'un autre point mobile Q, dont la position dépende de celle du premier, et a, b, c les coordonnées rectangulaires d'un point R, arbitrairement choisi.
Soit, de plus,
une fonction symbolique des coordonnées a, b, c, H, r^, Z, et des lettres
OEuvrcs de C — S. I, l. U 4?
caractéristiques D^, D^., D^; c'est-à-dire une fonction des coordonnées «, b, e, des coordonnées ^, y], '( et des dérivées des divers ordres de E, Y], s différentiés par rapport à x,y, z. Soient enfin
a, b, c; x, y, z; |, r,, C, et
(2) w=f(a,b, c; D^, 1)^,1);; c, rj,r)
ce que deviendront les coordonnées
des points R, P, Q, et la fonction w, si l'on déplace les axes coordonnés en leur imprimant un mouvement de rotation quelconque autour de l'origine. La fonction symbolique co sera isotrope, si elle n'est pas altérée par le déplacement des axes, c'est-à-dire si l'on a identiquement
et réciproquement si la fonction w est isotrope, l'équation (3) devra être une équation identique. D'ailleurs les coordonnées nouvelles des points P, Q, R seront liées à leurs coordonnées primitives par des équations semblables aux formules (2) du paragraphe II, en sorte qu'on aura
(4 ) \ = <xa^-\-Gy -hyz, y = a' j? + S'/ + y' s, ï — oc"jc -+- B" y -+- y"z,
(5) f=a;+êy)+yC, ^ = a'> + S'ri + /?, ^= ^"c ^ ^"ri + y":,
(6) ■à = y.a -h§b -t-yc, b = a'a + ê' 6 + y'c, c = oc" a ^ S" b -^ y"c,
les coefficients a, ê, y; a', ^',7'; a", ^', y" pouvant être réduits à trois, ou exprimés en fonction de trois angles polaires o, /, 'h en vertu des formules (7) du paragraphe II; et c'est eu égard à ces dernières formules et à la réductiop dont il s'agit que l'équation (3) devra être identique. En d'autres termes, si la fonction w est isotrope, l'équation (3) devra subsister, quelles que soient les valeurs attribuées aux trois angles polaires 9, y, '^.
Supposons maintenant que les coordonnées ^, yj, '( du point Q soient liées aux coordonnées ^,y, ^ du point P par des équations de la fornne
u, V, w et A, B, C étant les coordonnées rectangulaires de deux points fixes S, T. Si l'on pose, pour abréger,
(8) .^ — eux^vy+wz^
on aura non seulement
mais encore
(lo) <. D.^r,=zuri, \)y-n = vri, \).ri = wny
et, par suite, dans la valeur de to déterminée dans la formule (i), on pourra substituer aux lettres caractéristiques D^, D^, D^ les quantités u, V, w. En conséquence, on aura, dans l'hypothèse admise,
(il) ' w= f(«, 6, c; «, (%^*^; ç,-0,Ç),
OU, ce qui revient au même,
(12) w = f(a.6,c; u,v,w\ Aa, Ba,C/.).
D'autre part, si la fonction co est isotrope, l'équation (3) sera identique et ne cessera pas de l'être quand on attribuera aux coordonnées H, Y], 'C du point Q les valeurs particulières que fournissent les équations (7). Mais alors co sera précisément ce que devient la valeur de w déterminée par l'équation (12) quand on substitue aux coordonnées primitives
(i, b, c; u, c, (p; A, B, C; x, y, z des trois points fixes R, S, T, et du point mobile P, les coordonnées a, 1), c; 11, V, w; A, R, C; x, y, z
(le ces mêmes points, mesurées parallèlement aux directions nouvelles que prennent les axes des ^, y, z, en vertu de leurs déplacements. En effet, les nouvelles coordonnées étant liées aux coordonnées primitives par les formules
/ a = a a H- o 6 H- y c, h =za' a ^ o b -^ y' c, c =: y." a -t- o" b -+- f,c,
(i3) - u = a// +c(' -!-y(ï', v=:a'« 4- o' c -t-y'u', w = a''// -h c"(' -4-y"tï',
( A = a^4-8/? + yC, R = «'.4 + c'^4- y'6\ C = a".4 -^ ê"^ -+- y"C,
et la fonction ux + vy ^wz étant isotrope, on aura non seulement
et, par suite,
ux + r V -h ȕ^5 1= u\ -h vv -i- wz
y ^UX-f-VJ+WZ
mais encore
\ — ké
ux+vy+wz
r, = B e»:'+vy+«z
Ce
ux+vy-t-wz
En conséquence, la fonction to, déterminée par l'équation (2), pourra être réduite à la forme
I3 = f(a, b, c; u, v, w; 4/., Rx, Cx.).
Or, pour obtenir le second membre de l'équation (17), il suffira évidemment de remplacer dans le second membre de l'équation (12) les coordonnées primitives des points fixes R, S, T par leurs coordonnées nouvelles, sans altérer la valeur de x, qui reste d'ailleurs invariable, tandis qu'aux coordonnées primitives du point fixe R et du point mobile P on substitue leurs coordonnées nouvelles. Donc, si la quantité co, déterminée par l'équation (i), est une fonction symbolique et isotrope des coordonnées du point fixe R et des points mobiles P, Q, la valeur particulière de w, déterminée par la formule (12), sera elle-même une fonction isotrope des coordonnées du point mobile P et des points fixes R, S, T.
Concevons maintenant que la quantité w, déterminée par l'équation (r), soit une fonction linéaire et homogène, non seulement des coordonnées a, b, c du point fixe R, mais encore des coordonnées ;, Y], 'C du point mobile P et de leurs dérivées des divers ordres, prises par rapport aux variables oc, y, z-, l'équation (12) donnera
(18) (ù — ilv.,
la valeur de 12 étant
(19) il = ^{a,b,c; u,v,w; A,B,C);
et l'équation (17) donnera pareillement
la valeur de 0 étant
(21) iT=f(a, 1), c; u, V, w; A, B,C).
Cela posé, la condition (3) entraînera évidemment la suivante :
(22) ïî = 9..
D'ailleurs 12 sera précisément ce que devient 12 quand, aux coordonnées primitives des points tixes R, S, T, on substitue leurs coordonnées nouvelles. Donc, dans l'hypothèse admise, l'isotropie de la fonction symbolique w entraînera l'isotropie de la fonction 12, qui sera une fonction linéaire et homogène, non seulement des coordonnées a, b, c du point R, mais encore des coordonnées A, B, C du point fixe T. Si, d'ailleurs, l'isotropie doit subsister, quelles que soient les positions attribuées aux points tixes et aux points mobiles, alors, en vertu de la formule (7) du paragraphe III, 12 devra être de la forme qu'indique l'équation
l^ = {aA+h/i + cC)o{k'')
(23) ) -+-{au-i-bi'-^Civ){uA + i'n ^a'C)x{/^')
la valeur de k- étant
Donc, puisque, pour déduire to de ù, il suffit de remplacer
II, V, w par 1)^;, J)v, ^z, et
A, B, C par l, -n, Ç,
la fonction symbolique co devra, dans l'hypothèse admise, être de la forme indiquée par l'équation
/ w =E{al-h b-f] 4- c'Z)
(25) < +V{aD^-\-b\)y+cD.){\)^i-\-\)y-f] + \)-r:)
{ + K [a{\),-n - 1),.^) + h{\)^r: - IK?) + c{Y)yl - D^ry)],
E, F, K désignant trois fonctions entières du trinôme
Di+in+j)?.
Il est, au reste, facile de s'assurer a posteriori que la valeur de 12, déterminée par l'équation (20), est toujours une fonction isotrope des
coordonnées
a, 0, c; X, Y, z'y ç, fi, ç,
du point fixe R et des points mobiles P, Q. En effet, des équations (4) jointes aux formules (9) du paragraphe II, on tire
(26) ^=r axH- a'y + a"z, / = êx -h ê'y -h ê"z, z =:yx -h y' y ^ y" z,
par conséquent
i Dx=a T)^H-S l)y+y i)z,
(27) ])^. = a'D^+ê'IV+y'D„ f I),= a"D^+ê"l),.+ y"IK.
D'ailleurs, des formules (27), jointes aux équations (5), (6) et aux formules (12) et(i5) du paragraphe II, on tirera non seulement
(28) aï-hhn + cZ — a^-h bfi-h cZ,
mais encore
par conséquent
J)E POINTS MATÉKIELS. 375
(al), 4-l)Dy + cD,)(l)xÇ + l)yr; ^ l),ç)
et
— aD^yj — al)j.C + ^>I)xC — ^D^^^- cJ)^? — cDa^Y).
Donc, les fonctions
a^ -h 6yi + cC,
(aD^+^^IV+cIK)(I)^|-t-D,.YH-l),C),
aDsYl — al), C + «^Dx? — ^I^sl + cDy^ — cDarY)
et la fonction symbolique
sont toutes isotropes, et l'on pourra en dire autant de la valeur de w fournie par l'équation (ij), dans laquelle E, F, K désignent, comme on l'a dit, trois fonctions entières de la somme 0^+0".+ D^ ces trois dernières fonctions pouvant d'ailleurs être composées ou d'un nombre fini ou d'un nombre infini de termes.
Nous remarquerons, en finissant, qu'il n'est pas absolument nécessaire de supposer, dans les formules (i), (2) et (25), les coordonnées ^, Y], 'C et E, Y], Z comptées à partir de la même origine que toutes les autres. On pourrait, sans inconvénient, supposer que, dans les formules dont il s'agit, ^, q, 'C représentent ou des coordonnées mesurées à partir d'une origine distincte de celle à laquelle se rapportent les coordonnées des points R et P, ou même des déplacements quelconques subis par le point mobile P au bout d'un temps plus ou moins considérable.
§ V. — Sur les mouvements inhratoires et infiniment petits d'un ou de plusieurs systèmes isotropes de points matériels.
Considérons les mouvements vibratoires et infiniment petits d'un ou de plusieurs systèmes de points matériels. Ces mouvements seront généralement représentés par des équations aux différences mêlées, qui renfermeront avec les dérivées des inconnues différentiées deux fois par rapport au temps, leurs différences finies, prises par rapport aux coordonnées; et il suffira de développer ces différences en séries pour transformer les équations d'abord obtenues en équations aux dérivées partielles. D'ailleurs, les coefficients des dérivées prises par rapport aux coordonnées seront quelquefois constants, plus souvent périodiques et, dans ce dernier cas, l'intégration des équations linéaires trouvées pourra être ramenée à l'intégration d'autres équations qui seront encore linéaires, mais à coefficients constants, savoir, de celles que nous avons nommées équations auxiliaires , et qui peuvent être censées déterminer les valeurs moyennes des inconnues.
Dans tous les cas, les équations trouvées, ou les équations auxiliaires, seront dites isotropes, si on ne les altère pas en ftiisant subir aux axes coordonnés un déplacement qui résulte d'un mouvement de rotation imprimé à ces axes autour de l'origine. Les systèmes de points matériels dont les mouvements vibratoires se trouveront représentés par des équations isotropes, seront appelés eux-mêmes systèmes isotropes. Il résulte de cette définition que les systèmes isotropes sont ceux où les mouvements vibratoires se propagent en tous sens suivant les mêmes lois. Lorsque les vibrations propagées seront celles de l'éther, ou, en d'autres termes, du fluide lumineux, le mot isotrope sera remplacé par le mot isophane. En conséquence, un corp^ isophane sera celui qui aura la propriété de propager de la même manière en tous sens les vibrations lumineuses.
Les principes établis dans les paragraphes précédents s'appliquent naturellement à la recherche des formes que prennent les équations
DE POINTS MATÉHIELS. 377
des mouvements infiniment petits d'un ou de plusieurs systèmes de points matériels, quand ces équations deviennent isotropes.
Considérons, pour fixer les idées, un système homogène de points matériels dans lequel se propage un mouvement vibratoire infiniment .petit. Supposons d'ailleurs ce système renfermé dans une certaine portion de l'espace, ou à l'état d'isolement, ou avec un second système pareillement homogène, mais dont les molécules subissent des déplacements beaucoup plus petits que l'on puisse négliger sans erreur sensible. Soient :
m la masse d'un atome appartenant au premier système;
X, y, z les coordonnées initiales de cet atome, relatives à trois axes
rectangulaires; .T + ^, y-f-yj, :: + '( les coordonnées du même atome, au bout du temps ^.
Enfin, supposons que les atomes des deux systèmes soient uniquement sollicités par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Les déplacements H, t], 'C d'un atome du premier système, mesurés au bout du temps /, parallèlement aux axes coordonnés, seront déterminés par trois équations de la forme
^*, 1), 3 étant des fonctions linéaires homogènes des inconnues H, v], 'C, et des dérivées de divers ordres de l, y], u, difi'érentiés par rapport à x, y, z. Ajoutons que, si le premier système est à l'état d'isolement, les coefficients des inconnues et de leurs dérivées pourront se réduire à des quantités constantes, c'est-à-dire indépendantes de x, y, z; et que, dans le cas contraire, pour obtenir des valeurs très approchées des inconnues, il suffira souvent d'intégrer, à la place des équations (i), d'autres équations linéaires qui seront de même forme et à coefficients constants.
Cela posé, concevons que les quantités 2t, tj, 3 se réduisent effectivement à des fonctions linéaires de E, •/], l, qui soient en même temps des fonctions symboliques entières de D^, D^, D., les divers coefficients étant des quantités constantes, c'est-à-dire indépendantes
OEtwrcs de C. — S. I, t. M. 48
378 MÉMOIRE SUK LES SYSTÈMES ISOTROPES
de Jc, y, Z-. Pour déterminer les formes particulières que pourront prendre les fonctions ^, Ij, 3, quand les équations (i) deviendront isotropes, on devra commencer par substituer aux trois formules d) une équation unique, qui détermine, non plus les dérivées secondes
Dn, mri, DiK '
des déplacements E, yj, t, de l'atome m, mesurés parallèlement aux axes des ^, j, z, mais la dérivée seconde
d'un déplacement «, mesuré parallèlement h une direction quelconque. En supposant que cette direction soit celle d'un rayon vecteur, équivalant à l'unité de longueur, et mené de l'origine à un point fixe R, dont les coordonnées soient a, h, c, on aura
(2) ■>i = al-^ b-n -^ c^;
et de cette dernière formule, jointe aux équations (i), on tirera
(3) * Df8 = «-\'4-^î) + c3.
D'ailleurs, si les équations (i) sont isotropes, l'équation (3) devra rester inaltérée, quand on déplacera les axes coordonnés, à l'aide d'un mouvement de rotation quelconque imprimé à ces axes autour de l'origine; et cette condition devra être remplie, quelle que soit la position attribuée au point fixe R. Donc alors le second membre de la formule (3) devra être une fonction symbolique isotrope des coordonnées a, b, c, des déplacements ^, y], C et des lettres caractéristiques D^, D,, D3. Mais, d'autre part, le second membre de la formule (3) sera en même temps une fonction linéaire homogène des coordonnées a, b, c, et une fonction linéaire homogène de ;, y], t. Donc, ce second membre devra être de là forme de la fonction représentée par co dans l'équation (2.5) du paragraphe IV, en sorte qu'on aura
• / aJr+6l!) + c3 = E(ff?+6ï] +cr)
(4) -, +F(«I)^-^/vD^+cD,)(D^; + I),.r.-f-lK:)
E, F, K désignant trois fonctions entières dit trinôme
D^-r-D^-hD:.
Enfin, la formule (4) devant subsister quelle que soit la position attribuée au point fixe R situé à l'unité de distance de l'origine, on po.urra, dans cette formule, réduire l'une quelconque des trois coordonnées de ce point R à l'unité, les deux autres à zéro. On pourra donc égaler séparément entre eux, dans les deux membres de la formule (4), les coefficients des trois coordonnées a, b,c. En opérant ainsi, et en posant pour abréger
(5) • u = D^? + Dj.-r]+ D.Ç, on obtiendra immédiatement les trois formules
. 2i = li| + FJ)^-J + K( l),-A] — DvÇ),
(6) ^ ^ = En 4- Y\)yj + K(]),C - J),ç),
" ( 3 =: EÇ + EJ),-j + K(J),.i: — \)^-fi),
en vertu desquelles les équations (i) seront réduites aux suivantes :
/ D;ç =Eq 4-FD^'j + K(D^Y]-rV0»
(7) D,^Y] = E-r) + FD,.u + K(D^C-D,^),
( DK =EÇ+FD,u + K(I^^ -D^ri).
Telle est la forme à laquelle se réduiront les équations (i), quand elles seront isotropes, si d'ailleurs les fonctions de
l, -n, Ç et de I).^, 1)^, IK,
représentées par
sont non seulement linéaires par rapport aux déplacements E, y], ^ et à leurs dérivées des divers ordres, mais aussi homogènes et à coefficients constants.
On ne doit pas oublier que, dans les formules (7), les coefficients
svmboliques
représentent des fonctions entières du trinoine
Ajoutons que la variable 'j, déterminée par l'équation (5), est précisément la dilatation de volume du système des points matériels donnés autour du point (x-, y, ;;).
§ VI. — Sur les coejjicients symboliques renfermés dans les équations linéaires et isotropes qui représentent les mouvements infiniment petits fV un système unique et homogène de points matériels.
Lorsque les systèmes de molécules donnés se réduisent à un système unique de points matériels, uniquement soumis à des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, alors, comme on l'a vu dans le Mémoire précédent, les équations (i) du paragraphe Y peuvent être présentées sous une forme digne de remarque; et, en posant pour abréger
on réduit ces équations aux suivantes :
, !);-;=(;; +D„(D,JI;4-l),Hr)4-I)„,H^),
(0 j \)rn = irn + l).(D„H; + ]),nn + r)„,HC),
G, H étant des fonctions entières de u, v, w. Si d'ailleurs on nomme :
m la masse du point matériel ou de l'atome qui, dans l'état d'équilibre, avait pour coordonnées rectangulaires x,y, z\
m la masse d'un second atome;
r la distance qui séparait, dans l'état d'équilibre, l'atome m de l'atome m;
X, y, z les projections algébriques de la distance r sur les axes coordonnés;
mwr/(r) l'action exercée sur l'atome m par l'atome m, placé à la dis-
tance r, la fonction /(r) étant positive ou négative, suivant que l'atome m est attiré ou repoussé.
Alors, en posant, pour abréger,
(2) t =xl)^ + yD^+ zl);, i. = xu -hyi' -hzw, on aura
la sommation qu'indique chaque signe Q s'étendant à tous les atomes m distincts de l'atome m. Ajoutons que l'on pourra, sans inconvénient, dans le second membre de la formule (4), remplacer le rapport - par
le trinôme
c'est-à-dire par la somme des trois premiers termes du développement de e\ et supposer en conséquence la valeur de H déterminée, non plus par l'équation (4), mais; par la formule
En effet,
iz=zxu -\- yç -{- zw
étant une fonction linéaire de w, i^, w, les valeurs de
l)?JI, D;H, \)IM, DJ).,H, I).,I)„H, D„I),H,
tirées des formules (4) et (5), seront les mômes et, par conséquent, on n'altère pas les équations (i) en substituant la formule (5) à la formule (4 "1.
Supposons maintenant que le système de molécules donné soit homogène. Alors, dans les seconds membres des formules (4) et (5),
382 MÉMOIUE SUR LES SYSTÈMES ISOTROPES
développés suivant les puissances ascendantes et entières des lettres caractéristiques u, v, w, les coefficients que renfermeront les divers termes pourront devenir indépendants des coordonnées x,y, z, et se réduire ainsi à des quantités constantes. C'est ce qui arrivera, en particulier, si les divers atomes ou points matériels, étant doués de masses égales, coïncident avec les nœuds d'un système rèliculaire, c'est-à-dire avec les points d'intersection de trois systèmes de plans équidistants et parallèles à trois plans fixes'. D'ailleurs lorsque, dans les développements de G et de H, les coefficients des divers termes se réduiront à des constantes, les seconds membres des formules (i), c'est-à-dire les valeurs des quantités représentées par X, t), 3 dans les équations (i) du paragraphe précédent, se réduiront à des fonctions linéaires de H, ■rj, 'C qui seront en même temps fonctions explicites, non pas des coordonnées x,y, z, mais seulement des lettres symboliques D^, D,, D^.
D'autre part, lorsque, dans les équations (i) du paragraphe Y, les seconds membres JT, \), 3 se réduisent à des fonctions linéaires de H, Y], t qui sont en même temps fonctions symboliques de D^., D^., D^, ces équations ne peuvent, quand les coefficients demeurent constants, devenir isotropes sans coïncider avec les formules
(6) D,2y] = E-o + Fl),.u +K(J),C — 1),0, ( DK =EÇ+FD,u 4-K(lV|-l)^rO,
la valeur de i» étant
(7) ' j--=l)A-^l)y-n-\-]},K et les expressions symboliques
E, F, K étant des fonctions entières du trinôme
Enfin, si dans les formules (6), (7) on remplace les lettres symboliques D^, D^, D- par les lettres w, v, w et si, d'ailleurs, on pose pour
n\i POINTS MATÉIUEL8. 383
abréger
u- -+- V^ -+- iV-
on trouvera, non seulement
(g) u = //^4- rr, + wX,,
mais encore
(10) DJ-/] = Er, +F ('(«> + c-^ + ivO + KCz/C -«^0» ( I);Ç =::E: +Fir(«ï+ cr. + (T-C)-hR(c; -«•/]),
E, F, K étant trois fonctions entières de A., Donc, lorsque les équations (i) seront isotropes, mais à coefficients constants, elles se confondront avec les équations (lo), en sorte que les seconds membres des unes et des autres devront être identiquement égaux. Donc alors, les fonctions de ii, v, w, qui représenteront les coefficients symboliques des déplacements ^, /], 'C, dans les seconds membres des équations (i), devront se confondre avec les coefficients symboliques de ces mêmes déplacements dans les seconds membres des équations (lo); et, puisque le coefficient symbolique de \ dans la seconde des équations (i) ne diffère pas du coefficient^ symbolique de r\ dans la première, les coefficients de \ dans la seconde des équations (lo) et de y] dans la première devront encore être égaux entre eux. En d'autres termes, il faudra que l'on ait, dans les équations (lo),
par conséquent
(11) -K^rO.
De plus, cette condition étant remplie, et les équations (lo) étant ainsi réduites aux formules
/ \)]l =Eï +F «(//; + cri -h iï^O, (la) < D/Y) = E-O 4- F ('(«; -I- CY] -H (V'C),
les seconds membres de ces formules devront coïncider eux-mêmes avec les seconds membres des équations (i). Or, cette coïncidence entraînera les six conditions
( G + l),^H=:E-}-F«S r,+ I)2H = E + FrS G + 1);^ H = E + F(v% i l)J),^ll — hi'iv, l)„,l)„H^F(TM, D„l)^,H=zF«i'.
Il reste à examiner quelle est la forme que devront prendre les fonctions G, H pour satisfaire aux conditions (i3).
J'observerai d'abord que, E, F étant par hypothèse des fonctions du trinôme
OU, ce qui revient au même, des fonctions de h, il suffira, pour satisfaire aux conditions (i3), de supposer les fonctions symboliques G, H, réduites elles-mêmes à des fonctions de h. En effet, dans cette hypothèse, les conditions (i3), jointes à la formule (8), donneront
()4)' inH:=F,
(i5) G + DaH = E
et se trouveront toutes vérifiées si G, H vérifient les formules (i4) et (i5). D'ailleurs, la valeur de H fournie par l'équation (5) s'évanouit avec ses dérivées de premier oiTlre D„H, 1)^,H, D„,H, lorsque u, v, w et, par suite, i s'évanouissent; et l'on satisfait à cette équation en même temps qu'à l'équation (i4) lorsqu'on prend
(i6) \l=f'l"¥dh-,
chaque intégration étant effectuée à partir de la limite A = o. Enfin, en supposant la valeur de H déterminée par la formule (1(3), on tirera de l'équation (i5) .
(17) G = ¥-Dnli^F -f¥dh,
l'intégration étant encore effectuée à partir de h = o.
Ce n'est pas tout; H devant, en vertu de la formule (i5), s'évanouir avec ses dérivées de premier ordre, pour des valeurs nulles de 11, v, w.
J)E POINTS MAÏEUIELS. 385
les valeurs les plus générales de G et H qui satisferont en même temps à cette condition et aux formules (i3) ne pourront différer des valeurs fournies par les équations (iG) et (17). Car, si l'on nomme (J, 5 les accroissements qu'on devra faire subir à ces dernières valeurs pour passer aux valeurs générales de G et H, il faudra, pour satisfaire aux formules (i3), poser
(/ + D^ »j = 0, g + D,^ 5 = 0, g -t- DU) =: o,
et de plus 5 devra s'évanouir avec ses dérivées de premier ordre D„5» D^S» D,^,5 pour des valeurs nulles de //, r, w. Or, pour vérifier en même temps cette dernière condition et les formules (18), il est nécessaire de supposer
En résumé, si, dans les équations (t), c'est-à-dire dans les équations linéaires et aux dérivées partielles qui représentent les mouvements infiniment petits d'un système unique de molécules, les coefficients des dérivées des divers ordres se réduisent à des quantités constantes; alors, pour que ces équations deviennent isotropes, il sera nécessaire et il suffira que les fonctions symboliques G, H, déterminées par les formules (3) et (5), se réduisent à des fonctions de la lettre symbolique
, 11^ -4- ('"- -+- ivh = ?
OU, ce qui revient au même, à des fonctions symboliques du trinôme
D'ailleurs, cette condition étant supposée remplie, il suffira de poser
