OP, 0P„ OP,; P,P„ P,P, PP

OEurres de C. — S. I, t. II. 45

3ik MÉMOIRE SUR LES SYSTÈMES ISOTROPES

c'est-à-dire, en d'autres termes, les six arêtes du tétraèdre qui aura pour sommet le point 0, et pour base le triangle PP,P„, on obtiendra pour /', /;, f\/, X, ï,, x^^ des fonctions isotropes des coordonnées x, y, z; X , y , z ; X. y . z; oX V on pourra en dire autant de la somme alternée dont la sixième partie représentera, au signe près, le volume du

tétraèdre OPP,P,,. Nommons ^ ce volume pris avec le signe + ou avec

le signe —, suivant que le mouvement de rotation d'un rayon vecteur mobile, assujetti à parcourir successivement les trois faces latérales du tétraèdre, de manière à passer de la position OP à la position OP^, puis de la position OP, à la position OP,^, pour revenir ensuite de celle-ci à la position OP, sera ou ne sera pas un mouvement de rotation de même nature que celui qu'on obtiendrait en substituant aux droites OP, OP,, OP,^ les demi-axes des ce, y et s positives. Si, d'ailleurs, pour plus de simplicité, on suppose les axes coordonnés rectangulaires entre eux, on trouvera

(I) yj^xj-^yj + zj, ^J — {x,—xy-+{y^^-yy'^{z„-zy,

\ '1 = ^l -+- y; + ^,; » s' = ( •^ — ^.Y +.(/ —y,Y+{^--, Y et

( 2 ) z = xy,z, — xy„ z, + x,y,, z — x,yz„ + x,,yz^ — x,j, z,

ou, ce qui revient au même,

(3) T = ^{±xy,z„).

Dortc, les axes étant supposés rectangulaires, les seconds membres des formules (i) et (2) seront des fonctions isotropes des coordonnées des trois points P, P , P,^. C'est, au reste, ce qu'on peut aisément vérifier a posteriori, en transformant ces seconds membres, à l'aide des équations linéaires auxquelles on doit recourir pour passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de coordonnées rectangulaires.

Ajoutons que le carré de t sera lié aux carrés de /•, /; , r^y, x, t,, t^ par une équation qu'il est facile d'obtenir.

Los quantités variables

étant des fonctions isotropes des coordonnées des trois points P, P,, P,^, on pourra en dire encore autant d'une fonction quelconque de ces mêmes quantités. Ajoutons que, si l'on pose pour abréger

[ p =r-, ç = ^ i- = r, r„ cos ( /•„ r„ ),

I p„=^;, Ç,= = /T, cos (/•,/■,),

toute fonction des six quantités r, /;, r^;ï,ï^, x^^ pourra être considérée comme une fonction des six quantités c, c,, c^^; ç, ;;^, :;^^, liées aux coordonnées x,y, z; ^,, j,, ^,; ^,^, y,^, :;,^. par les formules

l p = JC'- ^ y^' -^ Z\ ç=j:^^-^^^y^y^^^^^-^^^

et que la quantité variable t sera liée aux six quantités 0,0.0 ; ç, c , ç,^, par la formule

(^) • '^"" = PP/P//— P5'— P,«'— P„Ç'+2ÇÇ,Ç„.

En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :

TuÉOHÈMK I. — Pour oblenir une fonction isotrope des coordonnées rectangulaires

de trois points P, P , P„, il suffit de prendre une fonction quelconque des sept quantités

déterminées par les équations (j) et (2), et liées entre elles par la for-

mule (G) qui permet (Vèlim.iner de la fonction dont d s'agit l'une des trois quantités p, p,, p,^.

Il y a plus; la forme ici indiquée d'une fonction isotrope des coordonnées rectangulaires de trois points est la plus générale possible, et l'on établira aisément la proposition suivante :

Théorème IL — Toute fonction isotrope des coordonnées rectangulaires

^j y y ^> ^11 Vil ^,\ ^„i y !,■> •"//»

de trois points P, P^, P^^, peut être réduite à une fonction des sept quantités

déterminées par les équations (5) et (^i^, ou, ce qui revient au même, à une fonction de ç, ç^, ç^^, t, et de deux des trois quantités p, p^, p^^, liées à ç, ?,, ç,^, T par la formule (6).

Démonstration. — En effet, soit

une fonction isotrope des coordonnées rectangulaires

La valeur de w demeurant invariable, tandis que l'on imprimera aux axes coordonnés un mouvement de rota.tion quelconque autour de l'origine 0, il sera permis de concevoir qu'à l'aide d'un tel mouvement on a fait coïncider le demi-axe des x positives avec la droite OP dirigée de 0 vers P. Cette coïncidence étant admise, on aura

(&) x — rz=:f-, y — o, Z — O.

Si, d'ailleurs, les points P,, P,^ sont situés sur la droite OP, indéfiniment prolongée dans les deux sens, j,, ^,,7,,, ^„ s'évanouiront ainsi que y, :;; et comme alors les formules (5) donneront

DE POIiNTS MATÉRIELS. 357

on aura encore

Or, en vertu des formules (8) et (9), les coordonnées œ, y, z; x„ y„ z,; x,„ r„, -„ se réduiront à des fonctions des trofs quantités

Donc, dans l'hypothèse adoptée, c'est-à-dire lorsque les points P , P„ seront situés sur la droite OP, la fonction isotrope

w = f (^, y, 5 ; x„y„ z, ; x„,y,„ z„ ) pourra être réduite elle-même à une fonction des seules quantités

Supposons maintenant que la condition énoncée ne soit pas remplie, en sorte que l'un des points P,, P^^, le premier par exemple, se trouve situé hors de la droite OP. On pourra, dans ce cas, en faisant tourner, s'il est nécessaire, les axes coordonnés autour de l'origine 0, faire coïncider non seulement le demi-axe des x positives avec la droite OP, mais encore le demi-axe des j positives avec la perpendiculaire élevée par le point 0 sur la droite OP, dans le plan OPP,, et du même côté que le point P,. Alors on aura non seulement

y,>o, ^, = 0, mais encore, en vertu des formules (5) et (2),

et

z,^x^jc, ç — .r, x„ -i-y,y,„ 7 — xy, z,, ;

puis on en conclura

Or, en vertu des formules (8), (10), les coordonnées

se réduiront évidemment à des fonctions des six quantités

p» p, ; ç> ç,» €„; i", et l'on pourra en dire autant de la fonction

Donc le théorème II se trouvera encore vérifié, quand l'un des points P,, P,^ sera situé hors de la droite OP; donc, il se vérifiera dans tous les cas possibles.

Il est bon d'observer qu'en vertu des formules (4) ^, ç,» ^„ sont des fonctions entières de

Donc toute fonction des quantités

P' Piy P,M Ç' «,» ç„; -r pourra être réduite à une fonction des quantités

et le théorème II entraînera la proposition suivante :

Théorème III. — Toute fonction isotrope des coordonnées rectangulaires de trois points P, P^, P,^ peut être réduite à une fonction des distances de ces points à l'origine, de leurs distances mutuelles et de la quantité dont la sixième partie représente, au signe près, le volume du

tétraèdre dont ces dislances sont les arêtes. Ajoutons que le carré de ce volume sera lié aux carrés des six arêtes par une formule qui se déduira immédiatement des équations (4) ^^ ((J).

Ce n'est pas tout; si l'on rapporte les positions de trois points P, P,, P,,, d'abord à trois axes rectangulaires, puis à trois axes obliques partant de la même origine, une fonction des coordonnées rectangulaires des points dont il s'agit pourra être, à l'aide de formules connues, transformée en une fonction des coordonnées obliques. Or, si l'on suppose, comme il est permis de le faire, les deux systèmes d'axes liés invariablement l'un à l'autre, ils ne pourront tourner l'un sans l'autre autour de l'origine et, par suite, une fonction isotrope des coordonnées obliques ne pourra être qu'une fonction isotrope des coordonnées rectangulaires. Donc, le troisième théorème entraînera encore la proposition suivante :

Théorème IV. — Toute fonction isotrope des coordonnées rectilignes de trois points P, P,, V^^peut être réduite à une fonction des distances de ces points à V origine, de leurs dislances mutuelles et de la somme alternée dont la sixième partie représente, au signe près, le volume du tétraèdre dont ces dislances sont les arêtes.

Jusqu'ici nous avons supposé que le nombre des points donnés se réduisait à trois. Mais les mêmes raisonnements pourraient être appliqués au cas où l'on considérerait une fonction isotrope des coordonnées rectangulaires ou obliques de divers points matériels, quel que fût le nombre de ces points, et l'on se trouverait alors conduit aux propositions suivantes :

Théorème S . — Toute fonction isotrope des coordonnées rectilignes de divers points peut être réduite à une fonction de leurs distances à l'origine, de leurs distances mutuelles et des quantités dont l'une quelconque, divisée par (3, représente, au signe près, le volume d'un tétraèdre que l'on forme en prenant pour sommets i origine et trois de ces mêmes points.

Théorème VI. — Etant donnés divers points P,, P2, P3, ... si, en nommant

les coordonnées rectangulaires du point P„, on pose généralement

(lO Pn = ^l + .yl-^^f„

V ^ ^ / Çm.n ^^^ ^ m '^ ii ~t~ J ni y n + ~' m ~'n^

('3) Xi^,n,n— ^lymZn— OCiy^Z^-k- X,„ynZi— X „ty iZ„-\- Xf^y iZ ,„— Xny,nZ/,

toute fonction isotrope des coordonnées des divers points pourra être réduite à une fonction des quantités de la forme

pitf Çni.iif '^1,111. m

qui représentent les carrés des rayons vecteurs menés de l'origine aux points donnés, les produits que l'on forme en multipliant deux quelconques de ces rayons vecteurs par le cosinus de l'angle compris entre eux, ou, ce qui revient au même, en multipliant le premier de ces deux rayojis par la projection algébrique du second sur le premier, et enfin, aux signes près, les volumes des parallélépipèdes dont l'un quelconque a pour arêtes non parallèles les rayons vecteurs menés de l'origine à trois de ces mêmes points.

Ajoutons que, dans le cas particulier où tous les points donnés sont situés sur la droite 0P<, indéfiniment prolongée dans les deux sens, la fonction isotrope w peut être réduite à une fonction de c, et des quantités de la forme ?,,„, ou, ce qui revient au même, à une fonction des distances qui séparent le point P, de l'origine G et des autres points Po, Ps,

Dans le cas contraire, si l'on nomme P^ un des points situés en dehors de la droite OP,, la fonction isotrope w pourra être réduite à une fonction de p,, po et des quantités de la forme

OU, ce qui revient au même, à une fonction des distances OP,, OP2

qui séparent les points P,, P., de l'origine, des projections algébriques que l'on obtient quand l'on projette sur OP, et sur OPo les rayons vecteurs de l'origine aux autres points, et des quantités équivalentes (aux signes près) aux volumes des tétraèdres qui ont pour sommets ces autres points et pour base le triangle OP, Po.

Pour vérifier, sur un exemple très simple, l'exactitude des principes que nous venons d'établir, considérons un système de points matériels liés invariablement les uns aux autres et à un point fixe 0. Nommons m la masse de l'un quelconque des points matériels donnés, x, r, z ses coordonnées relatives à trois axes rectangulaires menés par le point 0 et K le moment d'inertie du système par rapport à un certain axe OA, qui passe par le même point. On aura, en prenant l'axe OA pour axe des x,

la sommation qu'indique le signe S s'étendant à tous les points du système. Supposons maintenant que le moment d'inertie K offre une valeur indépendante de la direction de l'axe OA. Alors, la somme

devra être une fonction isotrope des coordonnées des divers points. En d'autres termes, cette fonction ne devra pas être altérée quand on fera tourner les axes des x,y, z d'une manière quelconque autour de l'origine. Donc, elle ne devra pas être altérée quand on fera coïncider l'axe OA, non plus avec l'axe des x, mais avec l'axe des j, ou avec l'axe des z; et, dans l'hypothèse admise, l'équation (i4) entraînera les deux suivantes :

(i5) K = S/?«(c- -+- jc*),

(i6) K = Sm(a;-H-y-).

Par suite aussi, K sera équivalent à la moyenne arithmétique entre les sommes que renferment les équations (i4)' (i5), (lO), et l'on

CJ'.uvres de C. — S. \,i. \\. 4^

362 MEMOIRE SUR LES SYSÏÈMI':S ISOTROPES

aura

(17) K= |Sm(^^ + y2 + c^),

OU, ce qui revient au même,

(18) K = |Sm/-S

r étant la distance du point (^, r, z) à l'origine des coordonnées. Or, en vertu de la formule (18), K se trouve réduit à une fonction des distances qui séparent les points matériels donnés de l'origine, ce qui s'accorde avec le théorème V.

Remarquons encore que les formules (i4)' (i5), (16) entraînent toujours avec elles la formule (18). Donc, pour que la fonction K soit isotrope, ou, en d'autres termes, pour que le moment d'inertie du système donné devienne indépendant de la direction de l'axe GiV, il suffira que les moments d'inertie du système autour de trois axes rectangulaires soient égaux entre eux.

§ II. — Sur les conditions analytiques auxquelles doit satisfaire une fonction isotrope des coordonnées rectilignes de divers points.

Soient

les coordonnées de divers points P, P,, P,,, . . . mesurées parallèlement à trois axes rectangulaires ou obliques; et soit encore

une fonction déterminée des coordonnées dont il s'agit. Soient enfin

les valeurs nouvelles qu'acquerront les coordonnées des points P, P,, P,,, ... lorsqu'on aura déplacé les axes coordonnés en leur imprimant un mouvement de rotation quelconque autour de l'origine 0. Les

nouvelles coordonnées x, y, z se trouveront liées aux coordonnées primitives x, y, s par trois équations linéaires de la forme

(2) x = a^ -H S/ + y^, y=zcc'j^-hS'y-hy'z, z = a"a: + S"/ h- y"^,

a, S, y; a', ^', y'; a", ^", y" étant neuf coefficients qui ne changeront pas de valeurs quand on remplacera les coordonnées du point P par celles du point P, ou P,,, . . .; et ces neuf coefficients pourront être réduits à des fonctions déterminées de trois angles polaires, par exemple de l'angle 9 que formera le demi-axe des x positives avec le demi-axe des X positives, et des angles /, 'j» que formera le plan mené par ces deux demi-axes avec les plans des x, y et des x, y. Cela posé, si co est une fonction isotrope des coordonnées rectilignes des points P, P,, P,^, . . . l'équation (i) entraînera la suivante :

et, par suite, en supposant les valeurs de x, y, z; x,, y,, z, ; x,^, v,^, z,^; ..., déterminées par les équations (2), on aura identiquement

(4) f(x,y, z; x„y,,z,; . . .) = ï{x,y, z; œ,,y,,z,; ...)• En d'autres termes, on aura

\ {{ccx ^ &y -\-y z, a' X -^Q' y ^Y z, ce" X + ^" y + y" z, 0Lœ,-^^y,+ y z,; ...) ( — \{x,y, z; J7,,/,,-;, ; ...),

quelles que soient les valeurs attribuées aux trois angles polaires 9,

Si les points donnés se réduisent à un seul P, la formule (5) deviendra

(G) f(aj; + ê/ -f-y-, a'x + ê'y -\-y' z, <x" x + S''y +y"z) = fix,y, z).

Pour mieux fixer les idées, considérons, en particulier, le cas où les axes coordonnés sont rectangulaires. Dans ce cas, les coefficients a,

6, y; a', ^', y'; a", S", y" pourront être exprimés en fonction des

angles polaires ç, y, '^ par des équations de la forme

( a = coso, yj ^ sincpcos^p, a"=: siiicp sint];,

6 ;= sino cos)^, ('y) / g' =:— siny sint]; — coso cos/ cosJ;,

6"= sin/ cos'J; — coscp cosx siin^,

y =: si 119 siijy,

y' zr: cos/sint]; — cos 9 siri)^ cos-ii, I y" =.— cos/ cos'i^ — COS9 siny^ sin-i^.

Donc, la formule (6) ou (5) devra se transformer en une équation identique lorsqu'en prenant pour 'i{oc,y, z), ou pour f(^,r, z.;x^,y\, z^\ ...) une fonction isotrope, on supposera les coefficients a, 6^ y; a', &' , y'; a", ê", y" déterminés par les équations (7). Par conséquent, l'équation (6) deviendra identique, lorsqu'on réduira f(^,,x, -) à la fonction isotrope x--^y-^z-. On aura donc identiquement, quels que soient d'ailleurs x, y, z,

(8) (a j^ + S j + y zy-+ {<x'x -t- S'y + y'^)-+ (a"a^ + S"/ + y"^)^ = ^^ + ^2-1-::% et, par suite,

^^ + S'y'+g"y"— o, ya + y'a'+-y"a"=o, aS -f- a'S' 4- a"g"= o.

Pareillement, l'équation (5) deviendra identique, lorsqu'on prendra pour î{x,y,z;x^, y,, z^ ; ic„, r„, -„) la fonction isotrope

S ( =b xy, z„ ) — xy, z„ - .r/„ ^^ + j?^ j,, :; — j?, y ^^^ + j:^,, /:;, — ^,, j-, 5 .

On aura donc identiquement, quels que soient d'ailleurs x,y, z\

( S[±(aa.+ S/ + ys)(a'^,4-g7, + /5,)(a".^,4-S"/„ + y"x;„)] I =S(±^/,sJ,

et, par suite,

(,.) S(±aS'/)-=i,

OU, ce qui revient au même,

(12) aS'y"— ao"y'+ a'g"y — a'êy"4- a"Sy'— a"ê'y = 1.

Il est, au reste, facile de s'assurer que les valeurs de a, ê, y; a', ^', y'; a", ê", y" fournies par les équations (7) satisfont effectivement aux conditions (9) et (12). Ajoutons que les trois dernières des formules (9), jointes à l'équation (12), donneront

a a' a!' ^ a-+ a'-+ ol"-

'"^) g'y" g" y' — g" y — êy" ~ êy'- g' y " i " ''

OU, ce qui revient au même,

y = ol' ^" — Oi" &

a'=ê"y-Sy",

g'=y"a— ya",

a"=: Sy' -ê'y,

y"= aS' — a'ê.

Il est bon d'observer que des formules (i4)» jointes à l'équation (12), on tirera immédiatement

( «2 ^ g2 -H y2 —x^ a'2 -^ ê'2 + y'2 =1, a"2 4-g"2 + y"2— ,, ( a'a"+ê'S"-4-y'y"=o, a"a -f- §"8 + y"y = o, aa'4- gg' + yy'=z o.

On pourra de ces diverses formules déduire les valeurs de six des coefficients a, ê, y; a', ^', y'; a", ê", y" exprimées en fonction des trois autres. Ainsi, par exemple, après avoir choisi arbitrairement les valeurs de a, ^, a', on pourra déduire y et a" des deux équations

a2+g2+y2.— I, a-^ + a'^ -+- a"^ =: I , auxquelles on satisfait en prenant

puis S' et y' des deux équations

6g' + yy'=: — aa', gy' — S'y -j= a",

3ëG MÉMOIRE SUH LES SYSTÈMES ISOTROPES

auxquelles on satisfait en prenant

('7) ^— ; — -zi — ' /— ; — ~i — .'

puis enfin, ê" et y" des formules

(i8) ' ê"=:ya'— y'a, -f — olo' — a! ^.

Gela posé, en admettant, comme ci-dessus, que la fonction f(a7, r, ::; a?^, y^, z^, . . .) soit isotrope, l'équation (5) devra évidemment devenir identique, non seulement quand on y substituera les valeurs de a, S, y; a', S', y'; a", ^", y" exprimées en fonction de:; angles polaires o, /, 'vp à l'aide des formules (7), mais encore quand on y substituera les valeurs de

exprimées en fonction de a, ^, a', à l'aide des formules (iG), (17) et (18), quels que soient d'ailleurs les signes adoptés dans les seconds membres des équations (iG).

Réciproquement, la fonction î{x,y, z\x^,y^, z^, .. .) sera isotrope, si, pour transformer la formule (5) en une équation identique, il suffit d'y substituer les valeurs de a, 6^ y; a', 6', y'; a", ê", y" exprimées en fonction des angles polaires o, /, '\ à l'aide des formules (7), ou les valeurs de

exprimées en fonction de a, 6', a' à l'aide des formules (16), (17), (18).

§ III. — Formes spéciales de fonctions isotropes assujetties à certaines conditions.

Les fonctions isotropes acquièrent des formes spéciales et dignes de remarque, lorsqu'on les assujettit à certaines conditions.

Ainsi, en. particulier, il arrive souvent qu'une fonction isotrope des coordonnées rectilignes de divers points change de signe sans changer de valeur numérique, quand on change les signes des coor-

données parallèles à un seul axe. Alors cette fonction isotrope devient ce que nous appellerons une fonction hémitrope. Telles sont, par exemple, les fonctions t et ':/.,„,„, déterminées, dans le paragraphe V'\ par les équations (2) et (i3), c'est-à-dire les sommes alternées dont chacune, divisée par (>, représente, au signe près, le volume d'un tétraèdre que l'on construit en prenant pour sommets trois points quelconques et l'origine des coordonnées. Il résulte d'ailleurs de la définition précédente qu'une fonction hémitrope n'est point altérée, quand on change à la fois les signes des coordonnées parallèles à deux axes, et qu'elle change de signe sans changer de valeur numérique, quand on change les signes de toutes les coordonnées. Il est encore évident que le rapport de deux fonctions hémitropes sera une fonction isotrope, mais non hémitrope, qui conservera la même valeur et le même signe, quand on changera le signe des coordonnées parallèles à un même axe.

Imaginons maintenant qu'une fonction isotrope w des coordonnées rectilignes de divers points doive être en même temps une fonction linéaire de quelques-unes d'entre elles". On déduira aisément, des principes établis dans le paragraphe I?'', la forme particulière que devra prendre cette fonction isotrope.

Concevons, pour fixer les idées, que les points donnés se réduisent il trois P, P,, P,^, et que w doive être non seulement une fonction isotrope de leurs coordonnées

supposées rectangulaires, mais encore une fonction linéaire des coordonnées de chacun des points P,, P,^. Supposons d'ailleurs que w soit assujetti à s'évanouir quand on fait coïncider l'un des points P,, P,^ avec l'origine. En vertu des principes établis dans le paragraphe P*", (o devra être une fonction des quantités

(1) pzz: o;'^ -f- j2 ^-2^ p— ^2 ^ yï ^.1^ p^^^2-^^2 ^ -2^

(2) q = x,x,,^y,Y,,^z,z,„ q—x^,x-\-y,,y^z„z, q, — xx,^yy,-^zz„

(3) T = xy, z„ — xy,^ z, + x,y,, z — xjz,, 4- x^yz, — x„y, z.

Parmi ces quantités, trois seulement, savoir

sont fonctions linéaires des coordonnées x^, y , z^, avec lesquelles elles s'évanouissent; trois aussi, savoir

sont fonctions linéaires des coordonnées ^„, v„, ^„ avec lesquelles elles s'évanouissent. Cela posé, pour que co soit en même temps une fonction linéaire de x^, y,, z^ assujettie à s'évanouir quand x^,y^, s s'évanouissent, et une fonction linéaire de ^„, j„, ^„ assujettie à s'évanouir quand x^^, j,^, z^^ s'évanouissent, il sera évidemment nécessaire que to soit non seulement une fonction linéaire de

dans laquelle les coefficients de ç, ç,,, t restent indépendants de a?,, j,, z^, mais encore une fonction linéaire de

dans laquelle les coefficients de ç, ç,, t restent indépendants de ^„, )'„' ^,/- Donc, dans la fonction w, c; et t devront se trouver multipliés par des facteurs indépendants des coordonnées o^^, y,, z^; ^,,, J„, -„; et, de plus, la partie de w indépendante de ç et t devra être proportionnelle à chacune des quantités ç,, ç,,, par conséquent au produit ç,ç,^, et se réduire à ce produit multiplié pur un facteur indépendant de ^,, J,, ^, ; ^//' J//' ^,r Donc, en définitive, to devra être déterminé par une équation de la forme

(4) co = Pç-^Qç,ç„+R-,

P, Q, R étant indépendants de ^,, y,, z/, x,^, y„, -„• Mais parmi les

quantités

dont w doit être fonction, une seule, savoir c, est indépendante de a?,.

DE tM)INTS MATERIELS. 369

y^, z/, x^^, r,^, z^^. Donc, dans la formule (4), ^c^ facteurs P, Q, R doivent se réduire à des fonctions de p; et l'on doit avoir