EXTRAIT
DE
RENÉ DËSCARTES
Connoissant la valeur de la corde dans un cercle \ trouver la valeur de Tare qu'elle sous-tend.
Je prends eji général un cercle dont le rayon soit = j , et j'y considère toutes les cordes qui soustendent des arcs dont la valeur, en parties, de la circonférence, est connue, de cette manière:
La corde de la moitié de la demi - circonférence est = j/T
La corde du j est. ... \/ 2 i/7"
des t = v,+i/r
du i •• • • • = -)/—V^vf'
des * = y/7wfT^r
des T • • = / a+ v '*-v~r
des 7 = \/>+V>+\rr
du-rr-. ; = \Z*-y*+V* + \/~
des-i- = y/, -V» +V> - 1/~
des-^ . . . . = y/^v'a-VTriTr
des-îV ,.* yA \/. -V 7 . + v/T
des-îV = Y« + V / i-V / » + ^*ï'
des^ = y i+ vCvrr^
desH • • • — y, + v y . +v / ^7^"
des4f ..... . . • = y*+y/*+>/* + VT
et ainsi de suite; âV H (-+-{-;. 1 l.-j-- — \~\ ;
TtH "f" ~~ "T"? TT~T~ ~ ~T~ 5 TT"T~
> TT "T" — ""H" 5 TT"T" : "T" "T" î TT"T"
-}- — + + ; et ainsi de suite,
La corde -du tiers de la demi-circonférence est l'unité. - des y elle est. . '= \ZT~
du i = y* a i/T, ou Vf- j/T
des f. ......= iCmTtV ou VhVT
DE KSSÉ DESCARTES. 4^1
du-^-. . . . = Va |/T+ y/Y, ou V» -V{- \/T
des ± = V, -Va - \rr
des tV- — y , + v7T7r
des ^- • = V,+V> + \/T,etc.;
les signes -+- et — dans le même ordre que cidessus.
La corde de la cinq uième p artie du demi-cercle
est = V^\/f, ou V^->
desf = y/t y"r-
des T = Vi + v/f , ou ^/r+t
des | i= y/h-hyST
dei =
des -rr
des
= V>+Vi+v
des^.. .'. . . = v'.+v'i+yfw
d" t? «= y » -v^» +Vî+v/r
(x) Ces deux expressions sont les mêmes ; par conséquent Fane d'elles est fantive. On pent faire la même remarque sur d'antres expressions des deux pages suivantes. La première édition est pleine de fautes, dont on n'a pu corriger qne les pins légères.
des ^ • • = y , -V, Wï^iïf
des ^ = y* -\/. v^T7f
des^r. = y, -V'a -V'f + VT~
des^, = y ,+vCvT+^T
des-M.. . . . . = y/, +\/, -y* t/r
et ainsi des autres à l'infini.
De la même manière la corde de la 1 5 e partie de la demi-circonférence
est = y/i-iV's-V'Wit/ï -
des-^. = y Hl)i Vs-V'i-l\/
des-^- =.y H .!V 5 -V / V+{t/7
des-rV Œ \A+ *V ' - V? - ï /«"
'des-à, . . . • = y i-iV 5 + ^/». i/7
des -H-.. .... = y;y s + ^, ^/T
(i) Manque ici le signe.
de8 T7 = x/i-iX/s + V'-T-ii/ —
à™ H = y i+iV^+V^-f-; VT~
du rr = \A -V^+îVs + ^^-hîi^l
Mais peut-être ces expressions peuvent - elles être simplifiées, comme par exemple la valeur de ~f
peut se réduire à | V 5 + \/ v — 1 V~
Et cette table peut être continuée à l'infini , si Ton continue à chercher .la valeur de la corde de la moitié de chaque arc, d'après la valeur de la corde de l'arc entier , de la manière suivante :
Soit a la corde d'une partie de la circonférence , la corde de la moitié de cette partie sera
— V^— v/4— *' > et la corde du supplément sera
Au moyen de cette seule règle on exprime en nombres tous les sinus que la géométrie peut trouver.
Cette table étant donc formée, si un triangle est donné dont on veuille trouver les angles, je décris
un triangle qui lui soit semblable dans le cercle
dont le rayon est = 1 , et ensuite je regarde à quels nombres correspondent , dans notre table , les côtés de celui-ci; et s'ils ne correspondent à aucun des nombres de notre table , alors nous affirmerons démonstrativement que nul des angles du triangle donné ne peut se trouver par la géométrie simple. Ou bien, d'une autre manière , je cherche la différence entre le carré de la base et la somme des carrés des côtés, et si je ne trouve qu'elle soit au rectangle compris entre les deux côtés du triangle donné, dans le même rapport que l'un des nombres de notre table est à l'unité, nous prononcerons affirmativement que cet angle (c'està-dire l'angle compris entre les deux côtés) ne peut se trouver par la géométrie simple : ou bien bd* -f- de* «as bc % -f- le produit du rectangle M X de
par la ligne be; ae étant supposé = i.
De là nous pouvons déduire la progression de la table de Pythagore à tous les angles : car comme dans le triangle rectangle le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, ainsi dans le triangle où l'angle au sommet est de 6o°, le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, moins le rectangle compris entre ceux-ci; et dans le triangle où l'angle au sommet est le supplément de l'angle de 6o°, c'est-à-dire est de 120 , le carré de la base excède la somme des carrés des côtés d'une quantité égale à ce même rectangle ;
DE REWÉ DESCARTES. 4^5
car la corde du supplément est dans notre table
De la même manière dans le triangle dont l'angle au sommet est de 4&% ' e carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, moins une quantité moyenne proportionnelle entre le rectangle compris entre les deux côtés et un rectangle double ; et dans le triangle dont l'angle au sommet est le supplément de l'angle de 45% c'est-à-dire est de i35°, le carré da la base excède de cette même quantité la somme des carrés des côtés; car la corde du supplément est = 1/2.
De la même manière dans le triangle dont l'angle au sommet est de 3o°, le carré de la base est égal- à la somme des carrés des côtés , moins une moyenne proportionnelle entre le rectangle compris entre les côtés et un rectangle triple , et dans le triangle ayant pour angle au sommet le supplément de l'angle de 3o 9 le carré de la base surpasse la somme des carrés des côtés de la même quantité; car la corde du supplément est = f/3.
Et généralement dans tout triangle aigu le carré de h base est égal à la somme des carrés des côtés , moins le rectangle compris entre les côtés , multiplié par le nombre qui exprime, dans notre table , la corde du supplément.
Et plus généralement encore, dans tout triangle
bée , le carré de la base bc est excédé par la somme
des carrés des côtés d'une quantité qui doit être au rectangle compris entre ceux-ci, comme le rectangle compris entre les lignes be et ea (dont Tune , c'est-à-dire be * est la corde du supplément , et l'autre > c'est-à-dire ea , est le rayon du cercle circonscrit au triangle donné) est au carré de la ligne ea ; ou bien comme be est à ea ; c'est-àdire , soit ea à be comme le rectangle bdc à un quatrième terme que nous nommerons A, je dis que
bd % •+• d& =± bc* -f- la quantité A. Au contraire, dans le triangle obtus bfc, le carré de la base surpasse la somme des carrés des côtés de cette même quantité.
Un triangle étant donné , on trouve aisément le diamètre du cercle circonscrit au moyen de la proportion suivante : comme > la perpendiculaire bd est à l'un des côtés , ainsi l'autre côté est au diamètre cherché.
N. B. ac est la base , ab et bc les côtés.
r On tire de ce qui a été dit ci-dessus le théorème suivant : si , deux triangles inégaux et dissemblables étant donnés , la différence entre le carré de la base et la somme des carrés des côtés est au rectangle compris entre les côtés dans le même rapport dans l'un que dans l'autre , les angles op-
posés à la base sont égaux dans les deux triangles (pourvu que la somme des carrés excède dans tous les deux le carré de la base , ou en soit excédée dans tous les deux ; mais si .elle excède dans l'un et est excédée dans l'autre , alors les angles opposés à la base sont le supplément l'un de l'autre ).
Dans les triangles dont on peut exprimer tous les côtés en nombres rationnels 9 on peut aussi exprimer en nombres rationnels tous les angles 9 en prenant pour quantité de 1 angle le rapport entre le rectangle compris entre les côtés et la différence dont le carré de la base opposée à l'angle surpasse la somme des carrés fies côtés , ou en est surpassé. Elle la surpasse 9 si l'angle cherché est plus grand qu'un droit; elle en est surpassée 9 s'il est moindre ; et il faut indiquer cela par quelque marque: commet, par exemple, dans le triangle dont les côtés sont 5,8, 9 , l'angle abc est tt \ l'angle cab est f£ ; l'angle acb est -f -f- 0. Où il faut remarquer que je mets toujours au-dessus le nombre qui résulte de la multiplication des côtés 9 et au-dessous celui qui résulte de la différence entre le carré de la base et ceux des côtés ; et lorsque le carré de la base surpasse ceux des côtés 9 j'ajoute -f- 0, pour faire voir que l'angle est plus grand qu'un droit, car cet est le nombre exposant de l'angle droit.
Tout noipbre se compose ou d un, ou de deux, ou de trois nombres triangulaires ; et encore il se compose ou d'un , ou de deux , ou de trois , ou de quatre nombres carrés ; et encore ou d'un , pu de deux , ou de trois, ou de quatre , ou de cinq pentagones; et encore, ou d'un, ou de deux, ou de trois , ou de quatre , ou de cinq, ou de six nombres hexagones; çt ainsi à l'infini.
Si l'on multiplie par 8 un nombre triangulaire
quelconque , et qu'on ajoute une unité au produit,
le résultat est un nombre carré. Ce qui se démontre
aisément. Car tout nombre triangulaire est exprimé
x + x* . , . Sse-f-Sx* .
p ar — ! ce qui multiplié par 8 devient
ou 4^ + 4^* > à quoi si l'on ajoute î , l'on a i + l\x ■+• 4#* , dont la racine est î -f- aa?.
DES PARTIES ALIQUpTES DES NOMBRES.
Pour résoudre les questions sur les parties aliquotes des nombres , nous les imaginons composés ou de nombres premiers ou de puissances de
nombres premiers , ou du produit de celles-ci par ceux-là. D'abord, nul nombre premier n'a de parties aliquotes, sinon l'unité. Les parties aliquotes
d'une puissance quelconque d'un nombre pre-
mier, comme a", sont , c'est-à-dire cette
puissance moins l'unité, divisée par sa racine moins l'unité. Si nous voulons trouver les parties aliquotes d'un nombre premier , multiplié par un autre nombre dont on connaisse déjà les parties aliquotes ; par exemple , si les parties aliquotes de a sont b, et que x soit un nombre premier, les parties aliquotes de ax sont bx + a -f- b.
Si maintenant nous voulons trouver les parties aliquotes d'une puissance d'un nombre premier multipliée par une autre puissance d'un autre nombre ( premier aussi ) , et que l'une de ces deux quantités soit a n et l'autre <f> les parties aliquotes de a n c° seront
aa n <f -f- a n c<f — c& — aa n — a V -h i ac — a — c + i
Si nous cherchons les parties aliquotes d'une puissance quelconque d'un nombre premier multipliée par un autre nombre dont on connoît les parties aliquotes , et qui , bien qu'il ne soit premier en lui-même, est néanmoins premier à l'égard delà puissance qu'il multiplie , soit la première
quantité x u et la seconde a dont les parties aliquotes sont b , les parties aliquotes de la quantité ax n seront
bxx n -f-aa?" — a — b.
Si nous avons deux nombres premiers entre eux, et leurs parties aliquotes , nous avons aussi les parties aliquotes de leur produit ; comme si l'un des nombres est 4 et ses parties aliquotes b , l'autre nombre c, et ses parties aliquotes d, les parties aliquotes de ac seront ad-{-bc-\-bd.
Et il n'y a rien de neuf en cette matière qu'on ne puisse trouver à l'aide des théorèmes que je mets ici.
Si nous cherchons un cube et un carré égaux à un carré, nous avons i38a4? 1Q 9 et 13924, dont les racines sont 24? 10 ? â 18; et encore 27, 9, 36; et d'autres, à l'infini. N. B. J'ai trouvé une solution
très aisée : rc* -f-a? 1 = a*x*. Partant, sr-f- 1 = a% et
x = a* — 1 . D'où l'on tire une infinité de valeurs pour x.
Pour extraire la racine cubique du binôme a -h \/b,je cherche la racine de cette équation ;
x 1 = 3a 2 x H- 2a 5 — 3bx — 2ab,
si a ? est plus grand que b ; l'ayant trouvée , je la multiplie par 3, j ? y ajoute 2a, et la moitié de la racine cubique de cette somme est le premier terme de la racine cherchée. Si a a est moindre que b , je cherche la racine de cette équation :
x l = 3a l x — 2a 1 — 5bx + 2ab 9
je la multiplie par 3 et je soustrais ce produit de 2l\ ; la moitié de la racine cubique de cette différence est le premier terme que je cherche. Ensuite je soustrais de a le cube de ce premier terme, et je divise la différence par le triple de ce même premier terme : la racine carrée du quotient est le second terme cherché.
Ainsi, ayant à trouver la racine cubique de 1 o -f- v/98 , j'ai x l = 6x -f- 4o , dont la racine est 4 9 qui, multipliée par 3 , devient 1 2 ; ajoutant 20 ,
j'ai 3â, dont la racine cubique est j/52 ; divisant
par 2 , j'obtiens 1/4 pour premier terme. Ensuite 4 étant soustrait de 10, reste 6, que je divise
par 3 1/4 î te quotient est y/2, dont la racine carrée est y */- , pour second terme. Et voulant
trouver la racine cubique de 2 + \/5 , j'ai x l sa — 3#-+-4> dont la racine est 1. Je la multiplie par 3 et soustrais de 4 te produit ; reste
i , dont la racine cubique est 1 , et la moitié de celle-ci , £ , pour premier terme. Ensuite je soustrais le cube de ~, qui est |, de a, et j'ai —■ , que je divise par | , et le quotient est j , dont la
racine est V\ , pour second terme. Et ainsi des autres.
En général , pour trouver la racine cubique d'un binôme , j'appelle c le plus grand des deux termes qui le composent , et d le moindre , e% j'extrais la racine de l'équation
x* = 3c*x + 2C 3 — 3d*x — 2cd\
Je multiplie cette racine par 3, j'y ajoute ac, et la moitié de la racine cubique de cette somme est une des parties de la racine cherchée. Je divise c par cette première partie , je soustrais du quotient le carré de cette même première partie , et le tiers de la différence qui en résulte est l'autre partie de la racine.
Pour carrer le cercle, je ne trouve rien de meilleur que d'ajouter au carré donné bfle rectangle cg compris entre les lignes ac, cb, et égal à la quatrième partie du carré bf; puis, le rectangle dh, compris entre les lignes da, de, et
égal à la quatrième partie du rectangle précédent; puis, de la même manière, le rectangle et, et ainsi à l'infini jusqu'à x; rectangles qui tous , pris ensemble , équivaudront au tiers du carré bf, et la ligne ax sera le diamètre du cercle' dont la circonférence est égale au périmètre de ce carré bf; ac est le diamètre du cercle inscrit dans l'octogone isopérimètre au carré bf; ad , le diamètre du cercle inscrit dans le polygone régulier de seize côtés isopérimètre au même carré bf; ae le x diamètre du cercle inscrit dans le polygone de 32 côtés, et ainsi à l'infini.
, Les courbes dont nous cherchons les tangentes ont leurs propriétés exprimées par des rapports ou de lignes droites seulement , ou de lignes courbes avec des droites ou d'autres courbes. Soit, par exemple, la courbe HRIC, dont C soit le sommet, CF l'axe; et ayant décrit le demi-cercle COMG, soit pris un point quelconque dans la courbe, comme R, duquel il faut tirer la tangente RB. Du point R abaissons une perpendiculaire RMD sur la droite CDF , qui coupera le demi-cercle en M. Soit donc la propriété spécifique de la courbe , que la droite RD soit égale à la portion CM du cercle, plus l'ordonnée DM.
Du point M soit tirée la droite MA tangente au c^cle, et du point E la droite EOVIN parallèle à la droite RMD. Supposons trouvé ce que nous cherchons , et soit la droite DB , que l'on cherche, = a; DA, trouvée par construction, ~ b; MA = d; MD = r ; RD = z ; la portion de cercle CM =n; etDE=e.
Établissons la proportion
