DB : BE : : RD : NE

az — ez

c'est-à-dire a : a

la droite doit donc être égalée à

OE + CM — MO ; mais si nous voulons transformer ces termes en expressions analytiques pour la ligne OE, pour éviter l'asymétrie (les radicaux), considérons la droite EV comme ordonnée à la tangente, et pour la courbe MO prenons la portion de tangente MV qui est adjacente à cette même MO. Et pouf trouver l'expression analytique deEV, faisons * DA : AE : : MD : EV,

frr— er c'est-à-dire b : b — e : : r : — - — 5

pour trouver ensuite l'expression de MV, faisons

DA : MA : : DE (ou bien KV) .: MV,

ed c'est-à-dire b : d : : e : — •

DE RENÉ DESCARTESé 445

La portion de cercle CM, que nous avons nommée n, est égale à z — r; nous avons donc l'équation

ez er ed

et bz = ar-\-ad; c'est-à-dire

où bien PD : DA : : RD : DB,

et la droite RB est tangente.

Soit le quart de cercle AIB , et la quadratrice AMC , à laquelle il faut tirer une tangente au point M; ayant joint MI, du point I comme centre, avec le rayon IM, que l'oi\ décrive le quart du cercle ZMD , que l'on abaisse la perpendiculaire MN, et qu'on fasse la proportion , la droite IM à la droite MN, comme la portion de cercle MD à la droite NO : la droite MO sera tangente à la quadratrice»

Si l'on donne l'équation y/a+ v/^-4- y/c= |/rf, ou bien \/a-\- \/b= vA+ V^"> 4 U ^ faille délivrer de l'asymétrie et réduire à une équation ordonnée , on peut faire cela aisément au moyen de trois multiplications, et le résultat prend la forme suivante :

a 4 ^f, j ba*b* + fa'bc — fyoabcd = o

où l'on a mis seulement un terme de chaque espèce, pour abréger, et au-dessous de chacun d'eux le nombre des individus de son espèce.

Mais si Ton propose de délivrer de l'asymétrie l'équation \/a + j/fc + \/c = \/d -f- V* » ce ' a paroît difficile à quelques uns qui ne font pas attention que le nombre des asymétries n'augmente pas par la multiplication, et que, par conséquent, on peut les faire disparoître toutes, en multipliant ; mais on en viendra à bout plus aisément au moyen de la formule précédente, en y substituant d + 2 \/de + e à la place de d , et le carré et le cube de cette même expression , à la place de d % et de d 1 ; rassemblant ensuite dans un seul membre tous les termes affectés de {/de, de manière que , en élevant au carré toute l'équation, l'asymétrie \/dè. disparoisse. Ou même on peut se contenter de chercher l'un des termes de chaque espèce pour avoir la forme générale de l'équation , qui est celle-ci :

a 8 — Sa 7 b + 29>a 6 b*-\- \oa*bc — 56«** 3 — jaa'frc

5 ao ao 3o 20 60

— 76a 6 bcd + 7oaW + ^oa A b s e + 36a 4 6V

so 10 60 3o

+ Zt&tffrcd — 7$2a k bcde + i6a*b*c 2 + ^\6a s b 5 ed

— 272a 3 fcV + ()2&a'b*cde + aooSa^Vrf*

60 ao 6

— i§2oa*b*c*de = o.

Ainsi ce sont 1 8 espèces de termes , et le

nombre des termes est 49^>- Et n'importe quels qu'aient été les signes des termes dans l'équation donnée, car celle-ci contient tous les cas possibles.

Étant donnés les points A, B, G, sur une ligne droite, trouver la courbe dont le sommet soit en A , dont l'axe soit È, et dont la courbure soit telle que les rayons qui y arrivent du point B, et qui s'y réfractent , continuent leur chemin comme s'ils venoient du point C; ou au contraire.

Soit N le milieu entre B et C : faisons NA = a , NB = 6, CE -f- BE =s sa — zy , et DA = a?, entendant par xety deux quantités indéterminées , dont l'une , restant indéterminée , désignera tous les points de la courbe , et l'autre sera déterminée par la manière dont la courbe doit être décrite. Pour trouver cette manière, je cherche d'abord un point F , duquel , comme centre , j'imagine que soit décrit un cercle tangent à la courbe au point E ; ensuite je dis : la droite BE multipliée par FG est à CE multipliée par HF comme l'inclinaison du rayon réfracté dans l'un des milieux transparents est à Yinclinaison de ce même rayon dans l'autre.

BD = a — b—x,

ou bien = V x* «+• a 1 + b* — uax + zbx — zab

CD = a -+- b — x ,

ou bien = V x*-\-a x -f-é" — 2ax — %bx -+- aab fiE fl* - ayy -Ha 1 + fcg — nfr ,

y* — 2ûv -+• a* — bx -4- a£