AUX DEUX PRÉCÉDENTES DE M. DE FERMAT

(Lettre 49.)

Jcime trouve aujourd'hui plus empêché àrépondre que j e n'étois la dernière fois; aussi avez-vous

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changé de condition , et de juge que vous étiez TOUS êtes devenu partie. Quand je n'avois qu'à défendre devant vous la cause de M. Descartes contre votre sceptique , je ne tae promettois pas UD succès moins favorable que celui que j'ai eu ; j'avois une bonne cause à défendre , des subtilités à éclaircir, et un juge clairvoyant, pour d'entendre et prononcer. Mais quand je vous considère descendu de votre siège pour vous porter vous* même partie contre celui que je défends, le respect que je vous dois en quelque état que vous paroissiez, la grande estime que j'ai toujours conpiede voiis et qui s'augmente en moi à mesure que vous vous faites davantage connoitre, et le peu d'usage que j'ai t^ns la matière que nous agitons à comparaison de celui que vous vous y êtes acquis , tout cela m'étonne et fait que je ne sais encore quelle issue me promettre de tout ce démêlé. Je vous dirai pourtant d'abord que si je voulois agir avec moins de franchise que ne m'oblige l'honnête procédé que vous gardez avec moi , je pourrois user d'une exception qui paroîtroit peut-être assez légitime et recevable , en vous accordant tout ce que vous dites, et prétendant que tout cela ne fait rien contre M. Descartes, et ne combat en aucune façon sa doctrine touchant la réflexion et la réfraction.

Carje veux que la balle de la figure de la page 19

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de la Dioptrique , selon la supposition que vous £iitf s dans votre première lettre , se trouve empêchée (comme vous dites sans doute agréablement) à trouver quelque issue pour prendre sa route, et je veux même que le passe-port que vous lui avez donné par avance en votre seconde, de peur que nous n'eussions pas assez de crédit pour lui en obtenir un , et même que la route que vous avez eu la bonté de lui marquer en cet endroit lui fut si aisée et si commode qu'elle ne fit point de difficulté de la suivre, que pourroit-on conclure de là contre M. Descartes ? lequel n'ayant apporté en ce !ieu-là les exemples de la balle que pour expliquer dertains effets particuliers de la lumière, à savoir celui de la réflexion qui se fait toujours à angles égaux, et celui de la réfraction qui se fait toujours de la même sorte dans un même milieu, et qui cbange selon la proportion qui est entre le milieu d'où elle sort et celui où elle entre , ce qui fait que tantôt elle s'approche et tantôt elle s'éloigne de la perpendiculaire ; qui , dis-je , n'a eu aucune occasion d'expliquer le cas que vous proposez pourcequ'il n'a aucun rapport à son dessein.

Il n'y en avoit que trois qui y pussent servir, et il les a tous trois expliqués, et à mon avis d'une manière si claire et si si mple , qu'il n'y a que ceux qui veulent trop subtiliser qui y puissent trouver de la difficulté.

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Le premier cas, qui explique ta réflexion , est celui d'une balle qui , étant poussée suivant la ligne AB , rencontre de biais dans son chemin un corps dur, impénétrable et inébranlable. Qu'y at'il de plus simple et de plus clair que cette balle , qui ne perd rien de sa vitesse, doit rejaillir à angles égaux , c'est-à-dire remonter aussi vite qu'elle est descendue , et avancer autant qu'elle faisoit vers le côté où ce corps dur n'est point du tout opposé ?

Le second , ' qui se rapporte à la réfraction lorsqu'elle s'éloigne de la perpendiculaire , est celui de la même balle qui, étant poussée comme dessus , rencontre aussi de biais un autre milieu dans lequel elle pénètre , et qui lui fait perdre une partie de sa vitesse. Quoi de plus clair et de plus simple que de dire que cette balle ne pouvant plus aller si vite qu'elle faisoit auparavant doit pourtant conserver toute la détermination qu'elle avoit à avancer vers le côté k laquelle ce milieu n'est aucunement opposé, et à quoi la perte qu'elle a soufferte en sa vitesse ne résiste point et se peut acconmioder. Pourquoi vouloir obliger cette balle à faire plus qu'elle ne doit, puisque la nature ne fait rien en vain?

Enfin , le troisième cas , qui se rapporte à la réfraction lorsqu'elle s'approche de la perpendiculaire , et le seul qui restoit à M. Descartes à éclair-

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cir, s'explique heureusement par la même balle qui, étant poussée comme auparavant, rencontre aussi de biais dans son chemin un autre milieu dans lequel elle pénètre avec une égale facilité de tous côtés , et qui augmente sa vitesse d'une certaine quantité. Que peut-on penser de plus simple et de plus naturel que de dire que cette balle devant aller plus vite qu'elle ne &isoit auparavant n'avance pourtant pas davantage , selon cette détermination à laquelle ce corps par qui sa vitesse a été augmentée n'est point du tout opposé.

Le cas que vous proposez outre cela dans votre première lettre est superflu , et ne peut servir à expliquer aucun de ces phénomènes de la lumière, et par conséquent il n'est ici d'aucune considération ; et quelque inconvénient qui en pût suivre , cela ne pourroit préjudicier à <ie que M. Descartes a auparavant prouvé , et par quoi il a expliqué si intelligiblement ces effets merveilleux de la lumière , qui ne laisseroient pas d'être vrais, et tels qu'il les a démontrés, quand votre supposition seroit difficile à expliquer par ses principes, ce que je ne désespère pourtant pas de faire; et quand elle se devroit expliquer suivant les vôtres, ce que , je n'estime pas.

Mais pourceque c'est en ceci que consiste toute notre dispute , il faut que j'éclaircisse une fois pour toutes un point qui vous semble n'avoir pas été

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46o LETTRES.

prouvé par M. Descartes, à cause que sa preuve n'est pas purement géométrique , mais qu'elle est en partie fondée sur quelques principes de la nature si clairs qu'ils ne demandent aucune explication, Ces principes sont, premièrement, que chaque chose demeure en l'état qu'elle est pendant que rien ne la change ; secondement , que , lorsque deux corps se rencontrent qui ont en eux des modes incompatibles , il se doit véritablement faire quelque changement en ces modes pour les rendre compatibles, mais que ce changement est toujours tejnoindre qui puisse être; troisièmement, qu'un corps ne peut résister ou causer du changement dans un autre qu'en tant qu'il lui est opposé.

Ainsi donc, si une balle se meut d'A vers B, dans la figure de la page 1 5 , avec une certaine vitesse , elle continuera toujours d'aller avec la même vitesse dans la même ligne si rien ne la change. Mais si vous lui opposez le corps dur , impénétrable et inébranlable CEE, pourceque les modes de ces deux corps , l'un qui tend de B vers D, et l'autre qui s'oppose à cette route , sont incompatibles, mais qui ne s'oppose point à sa vitesse, il faut qu'il arrive du changement en l'un de ces modes, mais le moindre qui puisse être; c'est pourquoi la balle changera de détermination et gardera sa vitesse; et d'autant que le corps CBE n'est opposé qu'à l'une des deux déterminations ,

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dont il est vrai que celle de la balle est composée eu égard au corps CB£ sur lequel elle tombe , à savoir, à celle qui la feisoit descendre, et non point à celle de gauche à droite , ce corps ne peut apporter de changement qu'à celle-là , et non point à l'autre, à laquelle il n'est point opposé; c'est pourquoi il oblige la balle de remonter, et la laisse continuer à s'avancer vers la droite comme elle faisoit auparavant; à quoi il ne change rien, te ' mode de sou corps n'ayant rien d'incompatible et d'opposé à celui-là. Il ne faut plus ajouter à ce raisonnement que ce qui appartient à la géométrie , et la preuve sera achevée. Si vous n'appelez pas cela une preuve démonstrative , je ne sais plus de quelles raisons il faudra se servir pour en composer une ; mais pour moi je me contente de pareilles démonstrations. Or le même raisonnement que je viens de faire se peut accommoder à la figure de la page 17 et à celle de ta page 19, et à tous les cas qui se peuvent proposer, et je n'y vois rien de différent que les différentes suppositions ; à savoir, que le corps CBE tantôt est dur et tantôt liquide, tantôt pénétrable et tantôt impénétrable; que la vitesse tantôt diminue , tantôt augmente, et tantôt demeure la même ; et que la balle tantôt continue de descendre, et tantôt est obligée de remonter, et même que tantôt on peut opposer un corps au cours de la balle , et tantôt non.

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Examinons maintenant ces cas l'un après l'autre suivant ces principes , et voyons ce qui doit arriver ; et je m'assure que l'on ne trouvera point que la chose doive aller comme vous dites, mais bien comme dit M. Descartes , et cela répondra en même temps à toutes vos nouvelles difficultés.

Premièrement, vous dites fort bien, au commencement de votre seconde lettre, que si l'on suppose que la balle qui va dans la ligne droite ÂB diminue sa vitesse de moitié eu arrivant au point B , elle ira toujours en ligne droite vers D si elle continue d'aller dans le même milieu et que le plan CBË ne lui soit point opposé ; avec cette différence seulement, qu'elle emploiera depuis B jusques à D le double du temps qu'elle avoit mis auparavant depuis A jusques à B , et cela à cause qu'un corps doit toujours demeurer dans le même état où il est, ou auquel on suppose qu'il soit, si rien ne le change. Or, n'y ayant rien qui change en la balle que la vitesse , ni rien par quoi la détermination doive être altérée plus d'un côté que d'un autre , tout cela fait qu'elle doit continuer dans la même ligne, et aller seulement moins vite selon cette détermination ; de même que lorsqu'un corps tombe perpendiculairement de l'air dans l'eau , il continue d'aller suivant la ligne de sa chute , et va seulement d'autant moins vite que sa vitesse est diminuée à . la rencontre de l'eau.

Si pourtant j'eusse été d'humeur à vouloirchicaner (ce qui ne m'arrivera jamais lorsque j'aurai affaire à une personne d'honneur et de mérite comme vous) , j'aurois pu nier que le cas que tous proposez fut concevable et admissible , à savoir qu'un mobile, sans changer de milieu, puisse tout d'un coup passer d'une vitesse à une autre sans passer par les degrés qui sont entre deux ; ce que vous dites vous-même être contraire aux lois inviolables de la pure géométrie , et qui même est contraire k cette loi de la nature, qui est que chaque corps continue toujours de demeurer dans le même état autant qu'il se peut , et que jamais il ne le change que par la rencontre des autres. Le moyen donc de concevoir qu'un corps puisse tout d'un coup, étant arrivé au point B, perdre la moitié de sa vitesse lorsqu'il ne rencontre rien qui la lui puisse feire perdre ? Mais je veux bien vous accorder toutes vos suppositions, et ne vous rien nier que ce qui ne se pourra absolument admettre à moins de renverser toutes les lois de la nature et toutes les notions claires et simples qui sont en nous.

Passons à votre seconde supposition, qui est, à mon gré . une des plus adroites que l'on pût laire en ce genre , et dont sans doute j'aurois eu peine à apercevoir la subtilité, n'étoit qu'étant accoutumé à suivre des voies fort simples dans mes rai-

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sonnements je me défie de tout ce que je Vois qui s'en écarte.

Vous supposez après cela que la balle perdaut, comme auparavant, la moitié de sa vitesse au point B, le plan CBE impénétrable se trouTc entre deux , et empêche que la balle ne passe au-dessous ; et TOUS dites que la balle réfléchira aussi bien à angles égaux que si la vitesse ou le mouvement demeuroit le même ; et certainement je confesse que tous le prouvez d'une manière la plus ingénieuse qu'il est possible ; mais permettezmoi aussi de vous dire qu'elle est captieuse, et soufirez que je tous fasse voir en quoi je pense que vous vous êtes mépris.

Quand, en l'exemple ci-dessus, je suis demeuré d'accord que laballe, perdant au point B la moitié de sa vitesse, ne laissoit pas de continuer son chemin suivant la ligne BD, avec cette seule différence, qu'elle alloit de moitié moins vite, c'a été parceque, ne changeant point de milieu, et aucun plan ne lui étant opposé, on ne pouvoitpas dire que la détermination de la balle suivant la ligne ÂB fût composée de deux détetiDÏnations , non plus que lorsqu'une balle tombe perpendiculairement sur un plan. Mais ici, où vous supposez que le planCBE lui est opposé , il est certain qu'à son égard la détermination de la balle sur la route ÂB e$t composée de deux autres, l'une .qui la fait c

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vers lui , et l'autre qui la fait avancer vers la droite on horizontalement, et que ce plan s'oppose k cellelà et non point à celle-ci.

Maintenant de deux choses l'une, ou vous supposez qu'après que la balle est venue avec deux degrés de vitesse depuis À jusques à B étant au point B elle rencontre le plan CBE qui lui fait perdre la moitié de sa vitesse, ou bien vous supposez que, sans que ce plan y, contribue, ayant perdu la moitié de sa vitesse au point B , elle rencontre le planCBË; et si j'ai bien compris le sens de votre seconde lettre, c'est principalement à ce dernier cas qu'elle se rapportie.(Mais remarquez encore ici en passant que je vous accorde plus que je ne devrois ; car le œoy«i de concevoir qu'une balle perde la moitié de sa vitesse au point B sans la rencontre d'aucun corps qui la Itû fasse perdre. )

Au premier cas il est aisé de voir qu'il ne &ut (comme vous avez fait dans votre, première lettre) que transfeer le raisonnement de la figure de la page 17, au-dessus du plan, et dire que, puisque la balle ne perd rien du tout de la détermination qu'elle avoit à avancer vers la droite, eUe -doit (toutes les autres conditions étant gardées) arriver au point O, ainsi que vous avez fort bien remarqué. C'est pourquoi je n'auroisgardede dire, comme vous faites, pourquoi de grâce le raisonnement :de M. Descartes conclura-t-il au-dessous s'ilnecon-

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dut pas au-dessus? Ce qui est une démonstration eo un cas deviendra-t-îl un paralt^meen l'autre? Tfon sans doute , l'un et l'autre conclut également bien.

Au second cas, ta balte peut suivre la route que vous avez marquée dans votre seconde lettre, et réfléchir toujours à angles égaux, de quelque manière et en quelque proportion que la vitesse ou le mouvement change au point B; mais non pas à ta vérité par la raison que voiis dites : car la même proportion ne doit pas être gardée par une balte qui , rencontrant de biais un plan impénétrable, est obligée de réfléchir, que celte qui est gardée par une autre balle que l'on suppose n'en point rencontrer ; à cause qu'une balle qui ne rencontre aucun plan n'a qu'une seule détermination, elle ne va ni à gauche ni à droite , au tieu .qu'une baUe qui tombe de biais sur un plan y va toujours avec deux déterminations, à l'une desquelles ce plan est opposé, et à l'autre non ; et cette circtHistaace en doit changer l'efiet, selon les principe ci-devant posés.

Mais voici comme la balle peut suivre la roote que vous avez marquée, et réfléchir à angles égaux : à savoir, il faut supposer que la balle étant au point B, et ayant perdu la moitié de ^ vitesse (ou telle autre quantité qu'il vous plaira), commence là k suivre la route qu'elle suivroit si elle avoit

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LEITBES. 4^7

commencé à ce point-là à se mouvoir avec la vitesse qui lui i^ste; or il est coBStant que si, .sans avoir égard à la ligne AB qu'elle a parcourue avec deux degrés de vitesse, elle commençoit à se mouvoir en B avec la vitesse qu'on suppose qui lui reste , et suivant la direction qu'elle a véritablement au point B, elle iroit vers D avec un degré de vitesse, et y arrlveroit en deux fc^aautant de tralapS qu'il lui eu a fallu pour venir d'Â eoB si rien ne s'opposoit à son mouv^nent ^ si au lieu de lui opposer le plan CB£ au point & on le lui opposoit au point D, il est évident, par ce que nous avone dit ci-dessua, que ce plan' l'empéchfuat seulement de passer outre et non point d'avancer vers la. droite, et ne diminuant ni n'augmentant la vitesse avec laquelle elle seroit venue v«rs lui depuis B, elle rejailUroit vers G, et feroit un angle de réflexion DK. égal à celui d'incidence BDL, lequel se trouveroit égal à celui de la preraiè):e incidence ABC. Or est-il qu'il doit arriver au point B le même changement eu la détevminatiqn de la balle que celui qui arriveroit au point D si le' flan CBE lui étoit opposé en ce pointlà, puisque dès le point B la baUea toute la même vitesse et la même déteTmination qu'elle auroit au point Q après avoir parcouru laligne CD; et par- ' tant, la balle, selon .votre supposition, doit au point B rejaillir suivant un angle égal à celui d'incidence : non poiid , comme }'ai dit , par la raison

4b8 LETTRES.

qae vous dites; car il n'est pas vrai que l'interposition du plan CBË n'empêchant que l'une des parties dont la détermination est composée , celle de gauche à droite reste la même qu'elle étoit quand la balle n'avoit aucun plan qui lui fut opposé; car, en ce dernier cas, la balle n'avoit qu'unedétermination , et l'on ne peat pas dire qu'elle avançoit vers la droite. C'est pourquoi la conclnûon que vous en tirez n'est pas non plus véritable. Donc, dites-vous, la balle a dû avancer autant audessus vers la droite qu'elle eût fait au - dessous si le plan n'eût pas empêché sa route ; et comme lorsqu'elle seroit au point D au-dessous elle aurolt avancé en deux moments vers la droite depuis B jusques en B, de même aussi pour avancer en deux moments autant au-dessus vers la droite elle doit aller au point F qui est autant avancé vers la droite que le point D, et qui coupe le cercle au-dessus en même proportion que D le coupe au-dessous, et fait un angle de réflexiou égal à celui d'incidence; car toute cette proportion de gauche à droite que vous dites devoir être gardée au-dessus comme elle eût été au-dessous si le plan CBE n'eût pas empêché sa route n'est qu'une proportion imaginaire, puisqu'au-^dessous , quand il n'y a aucun plan interposé, la balle n'a aucune direction vers la droite, cette direction ou détermination vers la droite étant toujours relative au plan qu'on lui in-

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terpose. Et par exemple, si le plan CBE lui eût été opposé d'un autre seos, comme en cette figure', où seroit tout votre raisonnement vers la droite; mais cela doit arriver dans votre supposition même, et dans toute autre, par la raison que j'ai dite, qui est conforme aux lois de la nature et aux principes ci-devant établis.

Pour éclaircir ceci encore davantage, supposons pour troisième cas , comme a fait M. Descartes à la page igdelaDioptrique, que la balle ayant été pre^ mièrement poussée d'A vers B rencontre au point B le plan CBE qui augmente la force de son mouvcr ment ou sa vitesse d'un tiers , en sorte qu'elle puisse faire par après autant de chemin en deux moments qu'elle en faisoit en trois auparavant ; et il suit manifestement qu'elle doit rejaillir en F , puisque la détermination vers la droite ne peut être augmentée par-le plan CBE à laquelle il n'est aucunement opposé, «t non pas en K, comme elle devroit faire si votre raisonnement étoit véritable, mais qui ne le peut-être puisqu'il est contraire aux lois de la nature, et même contre l'expérience, qui nous montre que la réflexion d'une b^Ue, et celle des autres semblables cprps qui ne sont pas parfaitement durs , ou qui tombent sur d'autres qui affoiblissent leur mouvement , ne se fait jamais à angles égaux; ainsi les balles les plus molles ne rebondissent pas

■ b.Gooiîlc

si haut , ni ne font pas des angles de réflexion si grands, que celles qui sont plus dures.

Et remarquez que, puisqu'il est naturellement aisé de concevoir que pour faire que la réflexion se fasse à angles égaux le mouvemâit ne doit en aucune façon être augmenté ni diminué par la rencontre du plan , il semble que la raison nous doive aussi naturellement porter à croire que lorsque ce plan l'augmente ou la diminue l'angle de réflexion doit être à proportion ou plus grand ou plus petit que celui d'incidence , et non pas qu'il. doive être toujours égal , comme il suit de votre raisonnement , qui pour cela vous doit être suspect quoiqu'il soit très ingénieux.

Mais, me direz-vous, que deviendra donc la balle dans la supposition que j'ai faite à la fin de ma première lettre à l'occasion de la figure de la page 19; car c'est ici le point de la difficulté, et enfin il la faut tirer de ce point fatal où elle paroît malheureusement engagée : c'est aussi ce que je prétends £tire maintenant i l'honneur de M. De^ ' cartes , et sans faire changer de biais à sa logique , en me servant , dans le cas que Vous proposez ici , du même raisonnement dont je me suis déjà servi quand j'ai passé à votre seconde supposition.

Si donc la balle étant arrivée au point B rencontre de biais le plan dur, impénétrable et ia-

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ébranlable CBË , et qu'^e perde à ce point Bune telle partie de sa vitesse que la ligne FE, étant tirée comme aux exemples précédents, soit hors du cercle AD ; je dis que , ou vous entendez que le plan CBE contribue à la perte de sa vitesse , ou vous entendez qu'il n'y contribue rien. S'il n'y contribue rien, on ne peut pas concevoir autre chose sinon que laballe , après avoir perdu les deux tiers de sa vitesse , et ayant dans cet état une direction détermi-. néeàaller versD an un certain temps àproportion de la forceou de lavitessequiiuireste, et par conséquent d'avancer aussi selon cette force d'une certaine quantité vers la droite à Fégard du plan CBE qu'on lui oppose , lequel pourtant n'est point opposé à cette direction vers la droite, elle doit rejaillir étant au point B comme .elle feroit au point O , ainsi que j*ai dit ci-dessus. Et voilà la route que je lui aurois marquée, qui se trouve conforme à la vôtre , mais par une autre raison qui ne m'oblige point à changer de logique.

Mais remarquez que cette supposition même est impossible , qu'une balle perde les deux tiers de sa vitesse sans la rencontre d'aucun corps qui la lui fasse perdre.

Que si maintenant le corps CBE contribue à la perte de la vitesse, cela ne se peut faire en supposant le corps CBË parfaitement dur , impénétrable et inébranlable ; car le mouvement de la

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balle ne peut être diminué par la rencontre d'un corps qu'en tant que la balle lui transfère de son mouvement ; et si elle lui en transfère , cela ne se peut &ire que du sens auquel le corps CBE lui est opposé , et par conséquent elle ne lui peut trans-férer de son mouvement que selon cette partie de sa direction qui la fait tendre vers lui ; et jamais la rencontre du corps CBE ( que l'on doit supposer parfaitement uni ) ne peut diminuer sa direction vers la droite ou parallèle : or il est aisé de conclure que si la balle au point B a transféré au corps CBE tout le mouvement qui la faisoit tendre en bas , elle doit continuer son mouvement parallèle, et rouler sur lui en avançant autant vers la droite qu'elle faisoit auparavant.

Que* si nonobstant cela vous voulez , contre toute raison , faire cette supposition impossible , qu'elle perde une telle partie de sa vitesse au point B qu'elle ne puisse plus avancer autant vers la droite qu'elle faisoit auparavant, et par conséquent qu'elle ait aussi perdu une partie dû mouvement qui la faisoit avancer vers la droite, alors je vous dirai qu'elle roulera sur le diamètre avec la vitesse qui lui reste, tout de même que lorsque vous supposez que sans rencontrer aucun plan elle vient à perdre de sa vitesse elle doit continuer son chemin dans la même ligne droite qu'elle avoit commencé à parcourir. £t ainsi il arrivera la même

chose à cette balle que si ,' ayant été mue avec une certaine vitesse le long du plan CBE, il àrrivoit qu'étant au point B (par une supposition- impossible et sans aucune cause ) elle vînt à perdre une partie de sa vitesse, elle condnueroit son chtfnin sur le même plan avec la vitesse qui lui resteroit.

Mais remarquez que pour trouva quelque chose de défectueux aux raisonnements de M. Descartes il en faut venir à des suppositions impossibles, et partant ce ne seroit pas merveille quand, d'une impossibilité posée , il s'ensuivroit une absurdité.

Par tout ce que dessus , il paroit que ce que vous dites dans votre seconde lettre tombe de soimême , et n'a pas besoin de réponse ; à savoir, que si M. Descartes eût pris garde qu'en quelque manière que la vitesse change , c'est-à-dire augmente ou diminue au point B, la réflexion ne laisse pas de se kàre à angles égaux; il n'eût pas été en peine , ni ses amis non plus , de tirer la balle du point B où ils l'ont vue malheureusement engagée dans l'exemple de ma dernière lettre ; il n'eût pas soutenu que la vitesse venant à changer au point B la balle ne laisse pas d'avancer vers la droite autant qu'elle faisoit auparavant ; et n'eût pas déduit d'un fondement non seulement incertain, mais encore faux , sa proportion des réfractions. Tout

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cda, dis-je , D'étant plus appuyé d'aucunes raisons valables, se détruit de soi-même, aussi bien que ce que TOUS ajoutez à la fin delà même lettre , à savoir que le second milieu se pouvant, comme j'ai dit, ouvrir avec une égale facilité de tous côtés pour Eure passage à la balle , et que la balle ayant t«u- . jours une même aisance à pénétrer le second milieu en toutes sortes d'inclinations, il doit suivre, dites-TOus , dans l'application du raisonnement de M. Descartes , qu'en toute sorte de cas la réflexion se {&!& k angles égaux, et que la pénétration se fera de même en tous les cas en ligne droite , le mouvement de dessous en ligne droite suivant les mêmes lois , et répondant 'justement au mouvement de dessus àaugles égaux. Car si je mesuis assez bien fait entendre , vous devez maintaiant tirer d'autres conclusions que celles-là des principes de M. Descartes, et devez aussi, si je ne me trompe moi'même , avoir reconnu l'erreur du raisonnement duquel vous les aviez tirées. Et partant ne dites plus que le mouvement de la balle et la réfraction ne se ressemblent que par la comparaison ima^naire de M. Descartea ; car c'est peut-être la plnsjuste et la plus claire que l'on puisse apporter pour l'expliquer ; mais pour cela il faut considérer la balle sans pesanteur , sans grosseur , sans figure etsans changement en sa vitesse dans toutes les lignes qu'elle parcourt; toutes lesquelles choses

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peuvent causer une infinité de viriétés dans la ré- . flexion et la réfraction d'une balle ; mais pourcequ'elles n'ont point lieu en l'action de la lumière , à laquelle se doit rapporter tout ce qu'il dit , M. Descaites ne les a point conûdérées dans le mouvement de cette balle dont il parle ; et principalement il n'a point considéré cette circonstance , que je vous prie de remarquer , qui est la plus Commune, et qui peut donner le plus d'occasion de douter de ce qu'a dit M. Descartes; c'est à savoir, que d'autant que le milieu que parcoiut une balle lui âte pour l'ordinaire à tous moments une partie de sa vitesse par le transport qu'elle lui en fait, de là arrive qu'une balle peut avoir perdu au point delà réflexion la moitié, par exemple, de la vitesse qu'elle avoit au commencement , qu'elle ne laissera pas de réfléchir à angles égaux, à cause qu'au moment qu'elle vient à toudier le plan la vitesse a déjà été diminuée par le milieu qu'elle a parcouru , et que la direction qu'elle a alors ne laisse pas de la déterminer d'aller suivant la même ligne où sa première direction la portoit , quand elle est sortie de la main ou de dessus ta raquette , pourvu que sa pesanteur ou sa grosseur ou sa figure n'aient rien changé ea cela. Et ce que je dis de la vitesse quand le milieu la diminue se doit aussi entendre quand elle est augmentée à tous moments • par sa pesanteur ;

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comme lorsqu'uDfi balle tombe le long d'un plan incliné, elle rejaillira aussi aiots à angles ^ux, encore que sa vitesse se trouve augmentée au point de la réflexion, et cela par la même raison, k savoir, que cette augmentation ne lui vient pas du plan , mais qu'elle l'avoit avant que de le rencontrer. Et ainsi vous voyez combien les principes de M. Descartes sont fermes, et ses raisonnements bien suivis. Ce qui montre que la véritable raison des réfractions se doit tirer du mouvement et des déterminations composées , en les examinant comme M. Descartes a fait ; et sans mentir M. Descartes étoit un homme de trop bon sens , et qui prenoit garde de trop près aux choses , pour tomber dans des fautes ou visibles ou grossières ; et il me semble qu'il nous a donné sujet d'avoir assez bonne opinion de lui pour croire plutôt que nous nous méprenons en ne comprenant pas son sens et ses raisons que non pas de croire qu'il se soit trompé , au moins quand l'erreur où nous croyons qu'il soit tombé est apparente et grossière. A quoi j'ajouterai seulement que, puisque les diverses expériences qu'a faites ici M. Petit (que vous connoissez ) en toutes sortes de corps transparents s'accordent toutes avec la proportîDn que M. Descartes a trouvée, il est à croire que les raisons qui la lui ont fait trouver sont véritables; car le moyen d'arriver en tant de différents cas si

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justonent au vrai par un même raisopnement^ si ce raisonnement étoit iaux.

Que si après tout cela vous ne Toulez pas admettre les conclusions que j'ai tirées des principes que M. Descartes a ^ahlis , recevez au moins pour vraie la conclusion de cette lettre , et croy^ que , si mes raisonnements sont fauti&, les protestations de mon cœur sont sincères quand je vous assure que je veux être , etc.

LETTRE DE M. DE FERMAT

A M. DE LA CHAMBRE, TOUCHANT LA DIOPTRIQUE. (Lettre 5o.)

A Toolonae , le mois d'août 1657.

MotTSIEDR,

Je n'avois garde de vous obéir lorsque vous m'ordonniez de recevoir votre livre sans le lire ; le présent que vous m'en avez fait est une marque trop précieuse de l'amitié dont vous m'honorez ; mais sa lecture m'a fait concevoir l'idée de cette amitié comme un bien qui mérite d'être cons;ervé avec soin, avec respect et avec .estime. £t pour vous le feire voir, je ne vous parlerai point.de vos autres

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'178 LBTTKES.

Spéculations, de physique, quoiqu'elles scùent' pleines d'un ntisonDement très solide et très subtil ; il me su£Bra de vous entretuiir un peu sui" la Bntière de la réflexion et de la réfractioii ; quand ce De seroit que pour réparer pu cette lettre la perte d'un discours que je vous avcua adressé, il y a d^ qudques «Boées, sur ce même sujet , et que j'ai m n'être point venu est vos mains^ Ce qui m'y confirme est que j'ojtre par là dans quelque société d'opinion avec vous ; et j'ose même vous assurer par avance que si vous souffrez que je joigne un peu de ma géométrie à votre physique nous ferons un travail k frais communs qui nous mettra d'abord en défense contre M. Descartes et tous ses amis.

Je reconnais premièremmt avec vous la vérité de ce principe, que la nature agit toujours par les voies les plus courtes. Vous en déduisez très bien réalité des angles de réflexion et d'incidence ; et l'objection de ceux qui disent que les deux lignes qui conduisent la vue ou la lumière dans le miroir concave sont très souvent les plus longues n'est point considérable, si vous supposez seuliêmént, comme un antre principe indisputable , que tout ce qui appuie ou qui fait ferme sur une ligne courbe, de quelque nature qu'elle sMt, est censé appuyer ou faire ferme sur' une droite qui touche la courbe au point où la rencontre se Ëiit ; ce qui

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peut être prouvé par une raison de physique aidée d'une autre de géométrie. Le prinàpe de physique est que la nature fait ses raouvements par les voies les plus simples ; or la ligne droite étant plus simpie que la circulaire ni que pas nne autre courbe, il hixt croire que le mouvement du rayon qui tombe sur la courbe se rapporte plutôt à la droite qui touche la courbe qu'à la courbe même. Premièrement, parceque cette drcnte de rattoadte*ment est plus simple que la ccmrbe; secondement ( et c'est oe qui s'emprunte de la géométrie ), parceque aucune droite ne peut tomber entre la courbe et la toucbante, par un principe d'Ënelide; de sorte que le mouvement est justement le même sur la droite qui touche que sur la coni^ qui est touchée. Et cela supposé, on ne peut jamais dire que les deux droites qui conduisent la lumière ou le rayon soient quelquefois les plus longues aux miroirs concaves , parcequ'en ce cas même elles se trouvent les plus courtes de toutes celles qui peuvent se réfléchir sur la droite qui touche la courbe : et par conséquent il ne faut ni supposer que la nature agisse par contrainte en ce cas , ni conclure qu'elle suive une autre manière de mouv^nent que celle qu'elle pratique aux miroirs plans et en toute autre espèce de miroirs ; de- sorte que voilà votre principe pleinement établi pour la réflexion.

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Ma» [Hiisqu'il a servi à la réfiexion, puurronsnous eu tirer quelque usage pour la réfraction ? il lœ semble que la chose est aisée , et qu'un peu de géométrie nous pourra tirer d'aflFaire. Je ne m'étendrai point sur la réfutation de la démonstration de M. Descartes; je la lui ai autrefois contestée, à lui, dis-je, viventi attfue tentienti, comme disoit Martial, mais il ue me satisfit jamais. L'usage de ces mouvements composés est une matière bien délicate, et qui ne doit être traitée et employée qu'avec une très grandeiprécaution. Je les compare à quelques uns de vos remèdes , qui servent de poison s'ils ne sont bien et dûment préparé^. U më suffit donc de dire en cet endroit que M. Descartes n'a rien prouvé , et que je suis de votre sentiment en ce que vous rejetez te sien,

. Mais il faut passer plus outre, et trouver la raison de la réfraction dans notre principe commun , qui est que la nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus aisées. Il semble d'abord que la chose ne peut point réussir, et que vous vous êtes fait vous-même une objection qui paroit invincible; car puisque dans la page 3i5 de votre livre les deux lignes CB, BA qui contiennent l'angle d'incidence et celui de réfraction sont plus longues que la droite ADC qui leur sert de base dans le triangle ABC, le rayon de G en A, qui contient im chemin plus court que celui des deux lignes

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CB, BA', devroit, au sens de notre principe, être la seutp et véritable route de la nature, ce qui pourtant est contraire à l'expérieDce. Mais on peut se défaire aisément de cette difficulté en supposant avec vous, et avec tous ceux qui ont traité de cette matière, que la résistance des milieux est différente , et qu'il y a toujours une raison ou proportion certaine entre ces deux résistances, lorsque les deux milieux sont d'une consistance certaine et qu'ils sont uniformes entre eux.

Ne vous étonnez pas de ce que je parle de résistance, après que vous avez décidé que le mouvement de la lumière se fait en un instant, et que la réfraction n'est causée que par l'antipathie naturelle qui est entre la lumière et la matière; car, soit que vous m'accordiez que le mouvement de la lumière sans aucune succession peut être contesté, et que votre preuve n'est pas entièrement démonstrative ; soit qu'il faille passer par votre décision, à savoir que la lumière fiiit l'abondance de la matière, qui lui est ennemie, je trouve, même en ce dernier cas, que puisque la lumière fuit la matière, et qu'on ne fuit que ce qui fait peine et qui résiste, on peut, sans.8'éloigner de votre sentiment , établir de la résistance où vous établissez de la fuite et de l'aversion.

Soit donc, par exempte, en votre figure le rayon CB qui change de milieu au point B , où il se rompt

■ Fijnre ^S.

■ b.Gooiîlc

/jSlt LETTRES.

pour se rendre au point A ; si ces deux, milieux étotent les mêmes , la résistance au passage du rayoD par la ligne CB seroit à la résistance au passage du rayon par la ligne BA comme la ligne CB à la ligne BA; car les milieux étant les mêmes, la résistance au passage seroit ta même en chacun d'eux, et par conséquent elle garderoit la raison des espaces parcourus; d'où il suit que les milieux étant difFérents,' et la résistance par conséquent différente, on ne peut plus dire que la résistance au passage du rayon par la ligne CB soit à la résistance au passage du rayon par la ligne BA comme la ligne CB à la ligne BA ; mais en ce cas la résistance par la ligne CB sera k la résistance par la ligne BA comme CB à une autre ligne dont la raison à la ligne BA exprimera celle des deux résistances différentes. Comme si la résistance par te milieu A est doul>te de la-résistance par le milieu C , la résistance par CB sera à la résistance par BA comme la ligne CB au double de la ligne BA ; et si la résistance par te milieu C est double de la résistance par Le milieu A, ta résistance par CB sera à ta résistance par BA comme la ligne CB k la moitié de la ligne BA; de sorte qu'en ces deux cas les deux résistances par CB et par BA étant jointes, pourront être exprimées , ou par la ligne CB jointe à la moitié de la ligne AB, ou par la ligne CB jointe au double deBA.

Vous voyez déjà sans doute la conclusion de ce raisonnement, car soient donnés par exemple les deux points C et Â, en deux milieux différents, séparés par la ligne DB, et qui soient de telle nature que la résistance de l'un soit double de celle de l'autre, il laut chercher le point B auqud le rayon qui va de C en A, ou d'A en C, soit coupé ou rompu.

Sinoussupposonsquelachoseestdéjàiaiteetque la nature agit toujours parles voies les plus courtes et les plus aisées ^ résistance par CB, jointe à la résistance par BA , contiendra la somme des deux résistances, et cette somme, pour satisfaire au principe, doit être la moindre de toutes celles qui se peuvent rencontrer en quelque autre point que ce soit de la ligne DB; or ces deux résistances jointes sont en ce cas, comme nous avons prouvé, représentées, ou par la ligne CB jointe à la moitié de BA, ou par la même ligne CB jointe au double de BA.

La question se réduit donc à ce problème de géométrie: étant donnés les deux points C et A, et la droite DB, trouver un point, dans la droite DB , auquel si vous conduisez les droites CB et BA , la somme de CB et de la ïnoitié de BA contienne la moindre de toutes les sommes pareillement prises, ou bien que la somme de CB et du double de BA contienne la moindre de toutes les sommes pareillement prises, et le point B, qui sera trouvé par la

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construction t)e ce problème, sera le point où se fera la réfraction.

Vous voyez par là qu'il faut que le rayon se coupe et se rompe lorsque les milieux sont différents, car bien que la somme des deux lignes CB et BA soit toujours plus grande que la somme des deux lignes CD et I)À , ou que la toute CA , néanmoins la ligne CB, jointe à la moitié ou au double de BA , peut être plus courte que la ligneCD jointe à la moitié on au double de DA.

Je vous avoue que ce problème n'est pas des plus aisés; mais puisque la nature le fait en toutes les réfractions pour ne se départir pas de sa façon d'agir ordinaire, pourqiioi ne pourrtMis-nous ps l'-entreprendre?

Je vous garantis par avance que j'en ferai la solution quand il vous plaira, et que j'en tirerai même des conséquences qui établiront solidement la vérité de notre opinion. J'en déduirai d'abord que le rayon perpendiculaire ne se rompt point; que la lumière se rompt dès la première surface sans plus cbanger lé biais qii'elle a pris; que le rayon rompu s'approche quelquefois de la perpendiculaire, et qu'il s'en éloigne quelque autre fois , à mesure qu'il passe d'un milieu rare dans un plus dense, ou au contraire, et en un mot que cette opinion s'accorde exactement avec toutes les apparences; de sorte que si elle n'est pas vraie, on

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LBTTBES. 4^^

peut dire ce que disoit Galilée CD.un sujet différent, que la nature semble nous l'avoir inspirée, per pigliarsi gioeo di nottri ghiribizzi.

Mais j'ai tort de ne songer pas que le sujet de cette lettre ne devoit être qu'un remercîment. Je vous conjure, monsieur , d'excuser sa longueur , quand ce ne seroit que par l'intérêt que vous y avez , et de la recevoir en tout cas ctnnnie un témoignage de l'estime que j'ai pour votre savoir, et du respect avec lequel je suis, etc.

LETTRE DE M. DE FERMAT

A H. DE LA CHAMBRE, TOUCHANT LA DIOPTRIQUE. (Lettre Si.) A TodIodk, le i™ jour de Pau 1661.

Monsieur,

Il est juste de vous obéir et de terminer enfin par votre entremise le vieux démêlé qui a été depuis si long-temps entre M. Descartes et moi, sur le sujet de la rétraction , et peut-être serai-je assez heureux pour vous proposer une paix que vous trouverez avantageuse à tous les deux partis.

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40D LETTKKS.

Je TOUS ai dit autrefois ', dans ma première lettre, que M. Descartes n'a jamais d^ontré son principe; qu'outre que les comparais^ms ne servent guère à fonder des démonstratioDS , il emploie la sienne à contre-sens, et suppose même que le passage de la lumière est plus aisé par les corps denses que par les rares , ce qui est apparemAuent &ux. Je ne vous dis rien du défaut de la démonstration en elle-même, quand bien la comparaison dont il se sert seroit bonne et admissible en cette matière, pourceque j'ai traité tout cela bien au long dans mes lettres à M. Descartes pendant sa vie , ou dans celles que j'ai écrites à M. Clerselier depuis sa mort; j'ajoute seulement qu'ayant vu le même principe de M. Descartes dans plusieurs auteurs qui ont écrit après lui, leurs démonstrations, non plus que la sienne, ne me paroissent point recevables, et ne méritent point de porter ce tiom. Hérigone se sert pour le démontrer des équipondérants , et de la raison des poids sur les plans inclinés ; le P. Maignan y veut parvenir d'une autre manière ; mais il est aisé de voir qu'ils ne démontrent ni l'un ni l'autre > et qu'après avoir lu et examiné avec soin leurs démonstrations, nous sommes aussi incertains de la vérité du principe qu'après avoir lu M. Des- 'Cartes.

Pour sortir de cet embarras, et tâcher de décou-

' Vofei U lettre pi'ceÀiciiM.

=flbyGo(.)gle

vnr la véritable raison de la réfraction , je vous inr diquai dans ma lettre que , si nous voulions employer dans cette recherche ce principe si comnaun et si établi , que la nature agit toujourt par les voiet let plus courtes, nous pourrions y trouver facilement notre compte. Mais parceqoe nous doutâmes d'abord que la nature, «n conduisant la lumière par les deux côtés d'un triangle , puisse jamais agir par une voie ai^si courte que si elle la conduisoit par la base , ou par la sous-tendante , je m'en vas vous feire voir le contraire de votre sentiment, ou plutôt de votre doute, par un exemple aisé. Soit, en la figure ci-joiote, le cercle ACBG', duquel le diamètre soit AOB, le centre Ô, et un autre diamètre GOC : des points G et G, soient tirées les perpendiculaires sur le premier diamètre , GH , CD. Supposons que le premier diamètre AOB sépare deux milieux différents , dont l'un , qui est . G^ui de dessous AGB, soit le plus deuse , et celui de dessus AGB soit le plus rare, en telle sorte, par exemple, que le passage par le plus rare soit plus aisé que celui par le plus dense en raison double : il suit de cette su|^o8ition que le temps qu'emploie le mobile, ou la lumière de C enO, est moindre que celui qui le^ conduit d'O en G ; et que le temps du mouvement de C en O , qui se fait dans le milieu le plus rare , li'est que la moitié du temps du mouve-

' Figo-eifi.

488 I.ETTRIÎ9.

ment d'O en 'G ; et par conséquent la mesure du mouvement entier par les deux- droites CO et OG peut être r^résentée par la somme de la moitié de CO , et de la totale OG. De même, si vous prenez un autre point, comme F, le temps du mouvement par les deux droites CF et FG peut être représenté par la somme de k' moitié de CF et de la totale FG. Supposons maintenant que le rayon CO soit 10, et par conséquent le diamètre total COG sera 20 ; que la droite HO soit S, la droite OD soit aussi 8 ; et qu'enfin la droite OF ne soit que 1 : je dis qu'en ce cas le mouvement qui se fait par la droite COG se fera en un temps plus long que celui qui se fait par les deux côtés du triangle CF, FG.

Car si nous prouvons que la moitié de CO, jointe k la totale OG, contient plus que la moitié de CF jointe à la totale FG, la conclusion sera manifeste, puisque ces deux sommes sont justement la mesure du temps de ces deux mouvements ; or la somme de la moitié de CO et de la totale OG fait justement 1 5, et il est évident par la construction que la droite CF est égale à la racine carrée de 1 1 7, et que la droite FG est égale à la racine carrée de 85 , mais la moitié de la première racine jointe à la seconde fait moins que ~-, et ^ sont encore moindres que i5. Donc la somme de la moitié de CP et de la totale FG est moindre que la somme de

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la moitié de CO et de ta totale OG , et partant le mouvement par les deuy droites CF, FG, se fait plus tôt et en moins de temps que par ta base ou sous-tendante COG.

Je suis venu jusque ta sans beaucoup de peine , mais il a fallu porter la recherche plus loin ; et parceque, pour satisfaire à mon principe, il ne suiËt pas d'avoir trouvé un point, comme F, par où le mouvement naturel se fait plus vite , plus aisément et en moins de temps que par la droite OOG , mais qu'il feut encore trouver le point qui fait la conduite en moins de temps que quelque autre que ce soit, pris des deux côtés, il m'a été nécessaire d'avoir en cette occasion recours à ma méthode de maximis et mtnimi*, qui expédie ces sortes de questions avec assez de succès.

Dès que j'ai voulu entreprendre cette analyse , j'ai.eu deux obstacles à surmonter : le premier, que, bien que je fusse assuré de la vérité de mon principe , et qu'il n'y ait rien de si probable ni de si apparent que cette supposition , que la nature agit toujours par les moyens les plus aisés , c'est-à-dire, ou par les lignes les plus courtes, lorsqu'elles n'emportent pas plus de temps, ou en tout cas par le temps le plus court , afin d'accourcir son travail , et de venir plus tôt à bout de son opération ( ce que le présent calcul confirme, d'autant ptus.qu'it paroît par là que la lumière a plus de difficulté à

D,9r.«ibyG<:x)gIe

traverser les milieux denses que les rares, puisque vous voyez que la réfraction vise vers la perpendiculaire dans mon exemple, ainsi que l'expérience le confirme, ce qui pourtant est contraire k la supposition de M. Descartes)', néanmoins j'ai été averti de tous côtés, et principalement par M. Petit, que j'estime infiniment, que les expériences s'accordent exactement avec la proportion que M. Descartes a donnée aux réfractions ; et que , bien que sa démonstration soit fautive , il est à craindre que je tenterai inutilement d'introduire une proportion différente de ta sienne, et que les expériences qui se feront après que j'aurai publié mon invention la pourront détruire sur l'heure. Le second obstacle qui s'est opposé à ma recherche a été la longueur et la difficulté du calcul, qui, dans la résolution du problème dont je vous parlai dans ma lettre ' , et que je vous témoignois n'être pas des plus aisés, présente d'abord quatre lignes par leur racines carrées, et engage par conséquent en des asymétries qui aboutissent à une très grande longueur.

Je me suis défait du [H%mier obstacle, par la connoissance que j'ai qu'il y a infinies-propcwtions , différentes de la véritable , qui approchent d'die si insensiblement qu'ï41es peuvent tromper les plus habiles et les plus exacts observateurs, Ainsi n'y

' Vojrei la lettre précédeDie.

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ayant que le deuxième obstacle à vaincre, je m'étois résolu très souvent d'employer la bien -aimée géométrie , c'est ainsi que Plutarqiie l'appelle , pour TOUS satisËtire , et pour me satisfaire moi-même ; mais l'appréhension de trouver, après une longue et pénible opération , quelque proportion irr^ulière et fantasque , et la pente naturelle que j'ai vers la paresse , ont laissé la chose en cet état , j usqu'à la dernière semonce que M. le président de Miremont vient de me faire de votre part, que je prends pour une loi , plus forte que ni mon appréhension ni ma paresse ; si bien que je me suis résolu de vous ob^ir sans autre retardement.

J'ai donc procédé sans remise , en vertu de l'obédience, comme parlent les moines, à l'exécution de vos ordres ; et j'ai fait l'entière analyse en forme , dans laquelle le désir passionné que j'ai eu de vous satisfaire m'ainspiré une route qui 3 abrégé la moitié de mon travail , et qui a réduit les quatre asymétries que j'avois eues en vue la première fois, à deux seulement, ce qui m'a notablement soulagé.

Mais le prix de mon travail a été te plus extraordinaire, le plus imprévu, et le plus heureux qui fut jamais; car, après avoir couru par toutes les équations , multiplications , antithèses , et autres opérations de ma Méthode, et avoir enfin conclu le problème que vous verrez dans un feuillet séparé, j'ai trouvé que mon principe donnoit juste-

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ment et précisément la méine proportion aux réfractions que M. Descartes a établie.

J'ai été si surpris d'un événement si peu attendu, que j'ai peine k revenir de mon étonnement ; j'ai réitéré mes opérations algébriques diverses fois; et toujours le succès a été le même , quoique ma démonstration suppose que le passage de ta lumière par les corps denses soit plus malaisé que par les rares , ce qUe je crois très vrai et indisputabte, et que néanmoins M. Descartes suppose te contraire.

Que devons-nous conclure de tout ceci ? THe suf- Jîra-t-it pas , monsieur, aux amis de M. Descartes que je lui laisse la possession libre de son théorème ? N'aura-t-il pas assez de gloire d'avoir connu les démarches de la nature dans la première vue , et sans l'aide d'aucune démonstration ? Je lui cède donc la victoire et le champ de bataille ; et je me contente que M. Clerseiier me laisse entrer du moins dans la société de la preuve de cette vérité si importante, et qui doit produire des conséquences si admirables.

J'ajoul« même, en faveur de son, ami, qu'il semble que cette grande vérité naturelle n'a pas osé tenir devant ce grand génie, et qu'elle s'est rendue et découverte à lui sans s'y laisser forcer par la démonstration , à l'exemple de ces places qui , quoique bonnes d'ailleurs , et de difficile

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LEJTRES. 493

prise , ne laissent pas , sur la seule réputation de celui qui les attaque, de se rendre à lui sans attendre le canoo.

Je vous annonce donc , monsieur , j'annonce à M. Clerselier , et à tous les amis de M. Descartes , qu'il ne tiendra plus à l'incrédulité des géomètres qu'on ne doive attendre ces merveilles que M. Descartes a fait espérer avec raison de ses lunettes elliptiques et hyfierboliques , pourvu qu'on puisse trouver des ouvriers assez habiles pour les faire et pour les ajuster.

Il resteroit eAcore une petite difficulté que la comparaison de M. Descartes semble produire , c'est qu'il ne paroit pas encore pourquoi la balle qui est poussée dans l'eau n'approche pas de ta perpendiculaire , ainsi que la lumière ; mais outre qu'on pourroit soupçonner que la ré0exion se mêle dans cet exemple à la réftaction , et que la ûgure ou la pesanteur peuvent contribuer à la différence de ce mouvement, je n'ai garde d'entrer dans une matière purement physique : ce seroit entreprendre sur vous , monsieur, qui en êtes le maître, et faire irruption dans votre domaine. Je finis donc , après vous avoir déclaré que je consens , si vous le trouvez à propos , que l'accommodement entre les cartésiens et moi soit publié dans les académies ; et après vous avoir conjuré de recevoir au moins l'effejt de ma prompte obéis-

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sance pour une preuve certaine et plus démonstrative de la passion avec laquelle je suis , etc.

Si Vous persistez toujours à n'accorder pas un mouvement successif à la lumière , et à soutenir qu'il se fait en un instant , vous n'avez qu'à comparer ou la facilité , ou la lîiite et résistance plus ou moins grande, à mesure que les milieux changent ; car cette facilité ou cette résistance étant plus ou moins grande en différents milieux, et ce en une proportion diverse , à mesure que les roilieux diffèrent davantage, elles pourront être considérées en une raison certaine , et par conséquent lomber dans le calcul , aussi bien que le temps du mouvement , et ma démonstration y servira toujours d'une même manière.

Je n'ai pas étendu, mon opération tout entière: il n'a pas été nécessaire , puisque ma méthode est imprimée tout au long dans le sixième tome du Ckfurs mathématique dHérigone , et que j'en aï assez dit pour être entendu. Si vous m'ordonnez de parcourir tous les détours de l'analyse en forme, je le ferai ; et je n'aurai pas même beaucoup de peine à Ëiire la démonstration par la composition, c'est-à-dire en parlant le langage d'Euclide.