ANALYSE POUR LES RÉFRACTIONS

Soit le cercle ACBI ', dont le diamètre ADB sépare deux milieux de diverse nature , le plus rare desquels soit du côté ACB , et le plus dense du côté AIB ; que le centre du cercle soit D , où tombe le rayon CD du point donné C*, il est question de chercher le rayon diaclastique DI , c'est-à-dire de trouver le point I , où tend le rayon rompu.

Pour le faire , soientmenées sur le diamètre les deux lignes droites perpendiculaires CF, IH ; et puisque le point C est donné , avec le diamètre A B et le centre D, le point F est aussi donné , et la ligne droite FD.

De plus , que la raison des ■ milieux, c'est-àdire que la raison de la résistance du milieu le plus dense soit k la résistance du milieu le plus rare comme la ligne droite donnée DFà une autre mise hors le cercle, à savoir M, laquelle sera plus petite que la ligne droite DF , puisque par une raison plus que naturelle la résistance du

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milieu le plus rare est moindre que celle du plus dense.

Nous avons donc à mesurer les mouvements qui se font par les lignes droites CD et DI , par le moyen des deux lignes droites M et DF, c'està-dire que le mouvement qui se fait par les deux lignes droites CD et DI est représenté par la somme de deux rectangles, dont l'un est contenu sous les lignes CD et M, et l'autre sous les lignes DI et DF.

La question se réduit donc à ce point , de couper tellement le diamètre AB au point H , qu'ayant mené de ce point-là la perpendiailaire HI , et ayant joint du centre Dau point! la ligne DI, il arrive que la somme des deux rectangles sous CD et M, et sous DI et DF contienne le moindre espace.

Et enfin d'en venir à bout par notre méthode , qui a déjà eu cours parmi les géomètres , et quHérigone a rapportée dans le sixième tome de son Court mathématique f d y a près de vingt ans.

Que le rayon CD qid est donné soit nommé N, le rayon DI sera aussi N ; que la droite DF soit nomméeB, et soit supposé que la ligne droiteDH soit A ; il faut donc que NM -f NB soit la moindre quantité.

Concevons que la lignedroite DO priseà discrétion est égale à l'inconnue E, pais joignons les

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deux lignes droites CO, OI. Le carré de la ligne droite CO, parlant en termes analytiques, sera N* f E» =a BE; et le carré de la droite 01 sera N" -}■ E^-f- 3 AE, par conséquent te rectangle conteDu sous les deuxlignesCOetMsera, selon ces mêmes termes analytiques, la racine carrée de M' N" ■{- M' E" -f — li B* ME; et le rectangle contenu sous les deux lignes 01 et B sera la racine carrée de B* N' -f- B' E' -j- — a B' AE. Or ces deux rectangles doivent, selon les préceptes de l'art, être égaux aux deux rectaagles MN et BN.

Après cela il faut carrer le tout , afin d'en ôter l'asymétrie , et après avoir retranché les termes communs , et avoir mis d'un côté le terme asymétrique, on carrera derechef le reste; après quoi , ayant àté les termes communs et divisé tes autres par E ,'el ayant enfin retranché les termes homogènes qui sont affectés de la lettre E , selon les préceptes de notre méthode, qui est connue depuis long-temps de tout le monde , puis ayant ^t un parabolisme , il arrive enfin une équation très simpleentre A et M; c'est-à-dire que depuis le premierjusqu'au dernier, et ayant ôté tous les obstacles des asymétries, il se trouve enfin que la ligne droite DH dans la figure est égale à la ligne droite M.

D'où l'on voit que le point diaclastique se trouve de la sorte. Si, après avoir mené les deux lignes droites CD et CF , l'on lait que comme la résistance

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/,g8 LETTRES.

dii milieu dense est à la résistance du milieu rare, ou bien comme B est à M , ainsi la droite FD soit a la droite DH , et que du point H l'on élève sur le diamètre la perpendiculaire HT quf rencontre le cercle au point I; ce point sera celui où la réfraction portera le rayon , et partant le rayon, passant d'un milieu rare dans un dense ,• se rompra en approchant de la perpendiculaire. Ce qui s'accorde entièrement et généralement avec le théorème de M. Descartes , dont notre analyse a fait voir la démonstration très exacte tirée de notre principe.

M. Bescartes, très savant géomètre , a proposé une raison des réfractions , laquelle, à ce que l'on dil,est conformée l'expérience , mais pour en foire k démonstration , il a demandé qu'on lui accordât i et on a été obligé de le foire , que le mouvement de la lumière se foiâoit plus' focilement et plus vite par un milieu dense que par un rare ; ce qui toutefois semble contraire à la lumière naturelle. Or cela nous ayant porté à tâcher de déduire la vraie raison des réfractions d'un axiome tont contraire , savoir est que le mouvement de la lumière se feit plus facilement et plus vite par un milieu rare que par un dense, il est airivé néanmoins que je suis tombé dans la même proportion que M. Descartes. Cependant je laisse aux plus subtils et sévères géomètres à voir si l'on peut, par une vote tout opposée, rencontrer la

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même vérité sans tomber dans le paralogisme ; car pour moi, pour parler sans feintise, j'aime beaucoup mieux connoitre certainement la vérité que de m'arrêter plus long-temps à de» débats et contentioDS superflues et inutiles.

lâ démonstration que j'avance est appuyée sur ce seul postulat ou fondement, savoir est , Naturamper vias breviores operari , c'est-à-dire que la nature agit par les moyens ou par les voies les plus faciles et les plus promptes; car c'est ainsi que j'estime que l'on doitentendre cet axiome , et non pas comme font plusieurs , que la nature agit toujours par les lignes les plus courtes.

Car tout de même que, quand Galilée examine le mouvement naturel des corps pesants , il ne le mesure pas tant par l'espace que par le temps , de même je ne considère point ici l'espace plus petit ou la ligne la plus courte, mais ce qui se peut parcourir plgs promptement , plus commodément et en moins de temps.

Cela posé , supposons deux milieux de diverse nature dans cette premièi'e ûgure , et que le diamètre ANB du cercle AHBM ' sépare ces deux milieux , dont l'un , qui est du c6té de M , soit le plus rare ^ et l'autre , qui est du côté de H , soit le plus dense, et du point M vers H soient menées les lignes droites MN , NH , MR , HH ', qui se rompent

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dans le diamètre aux points N et R. Puisque la vitesse du mobile par le milieu MN , qui est supposé rare , est plus grande , selon notre axiome ou postulat , que celle du même mobile par le milieu NH , et que les mouvements sont supposés uniformes dans chacun de ces milieux , la raison du temps du mouvement par le milieu NN , au temps du mouvement par le milieu NH, est composée , comme- tout le monde sait , de la raison de l'espace MN à l'espace KH, et réciproquement de la raison de la vitesse par le milieu NH à la vitesse par le milieu MN.

Si donc l'on fait que comme la vitesse par le milieu MN est à la vitesse par le milieu NH , aiasi la ligne droite MN est à NI , le temps par le milien MN au temps par le milieu NH sera comme IN à NH.

De même l'on démontrera que si l'on lait que comme la vitesse par le milieu plus rare est à la vitesse par le milieu plus dense , ainsi la ligne MR est à RF , le temps du mouvement par le milieu MR sera au temps du mouvement par le milieu RH comme la ligne PR est à la ligne RH.

D'où il suit que le temps du mouvement par les deux lignes MN, NH est au temps du mouvement par les deux autres MR , RH comme l'agréé des deux lignes IN , NH est à l'agrégé des deux autres PR,RH.

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LETTRES. 5oi

Quand donc la nature dirige un rayon de lumière du point M vers le point H , il faut chercher un point quel qu'il soit, comme N , par lequel la lumière puisse parvenir par inflexion ou réfraction du point M au point H en moins de temps ; car il est très probable que la nature , qui avance toujours le plus qu'elle peut ses opérations, tendra d'elle-méitie vers cepoint-là. Si donc l'agrégé ou la somme de deux lignes droites IN , NH , qui est la mesure du temps du mouvement par la ligne rompue MNH se trouve être la moindre quantité , OD aura ce que l'on cherche.

Or cela suit du théx>rème proposé par M. Descartes , comme je vas vous faire voir par bonne géométrie.

Car M. Descartes dit que, si du point M on mène le rayon MN , et que du même point M on abaisse la perpendiculaire MD , et si avec cela l'on fait que comme la plus grande vitesse est à la moindre , ainsi la ligne DW est à NS , et que du point S soit élevée la perpendiculaire SH , et mené le rayon NH, pour lors le rayon de lumière qui vient du milieu rare M au point N se rompt à la rencontre du milieu dense , et va au point H en approchant de la perpendiculaire.

Or notre géométrie ne répugne en feçon quelconque à ce théorème, comme l'on verra par la proposition suivante, qui est purement géométrique.

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5o3 LETTRES.

Soit le cercle ÂHBM dont le diamètre soit ANB, le centre N , dans la circonférence duquel ayant pris un point à discrétion; cotnmeM, soit mené le rayon MN et soit abaissée sur le diamètre la pei^ pendiculaireMD; que l'on sache outre cela la proportion qui est entre le plus ou moins de facilité que les différents milieux donnent au passage de la lumière, et qu'ainsi l'on fasse DN à NS, que DN soit plus grande que NS, et que du point S soit élevée la perpendiculaire SH qui rencontre la circonférence du cercle au point H , duquel soit mené au centre le rayon HN , puis soit fait comme DN est à NS , ainsi le rayon MN soit à la ligne droite NI : je dis que la somme des deux lignes droites IK , !NH , qui est la mesure du temps par les deux lignes MN, NH, comme il a été prouvé ci-dessus, est la moindre de toutes, c'est-à-dire que si , par exemple, l'on prend un point tel que l'on voudra, comme B, duoôté de semi-diamètre NB, et si l'on joint lesdeux lignes droites Mp., RH, et que l'on fasse que comme DN est à NS ainsi MK soit à RP, pour lors la somme des deux droites PR et RH , qui est aussi la mesure du temps par les deux lignes MR , RH , comme il a été aussi prouvé ci-dessus , sera plus grande que la somme des deux autres droites IN etNH.

Or , pour le prouver , soit kât comme le rayon MN est à DN , qu'ainsi RN soit à NO , et comme

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DN est KS , qu'ainsi I40 soit à N V : il paroit par la construction que la ligne NO est plus petite que la 4igne NR , d'autant que la ligne DN est plus petite que le rayon MN; il est évident aussi que la ligne THY est plus petite que la ligne NO , puisque la ligne NS est moindre que la ligne ND.

Cela étant posé , le carré de la ligne MR est égal au carré du rayon MN , plus au carré de la ligne NR , et à deux fois te rectangle sous DN et NR par la I a du 2. l\Iais puisque par la construction , comme MN est à DN , ainsi NH est à NO; il s'en-^ suit que le rectangle fait de MN , NO est égal au rectangle de DN , NR , par la 16 du 6, et partant le rectangle de MN , NO , pris deux fois , est égal à deux fois le rectangle de DN , NR.

Par conséquent le carré de la ligne Mfi est égal aux deux carrés MN, et NR, et k deux fois le rectangle sous MN , NO. Or le carré de la ligne NR est , plus grand que le carré de la ligne NO , puisque NR est plus grand que NO. Partant le carré de la ligne MR est plus grand que les deux carrés MN, NO , avec deux fois le rectangle sous MN , NO. Or est-U que ces deux carrés MN , NO , avec deux fois le rectangle sous MN , NO , sont égaux au carré qui est fait des deux lignes MN , NO comme d'une seule ligne droite, par la 4 du 3. Donc la ligne droite MR est plus grande que la somme des deux lignes droites MN et NO.

5o4 LETTRES.

Mais puisque , par ta construction , comme DN est à NS, ainsi MN est à NI , et ainsi aussi ISO est à NV, partant comme DN est à NS , ainsi sera la somme des deux lignes MN , NO à la somme des deux IN , NV, par la la du 5. Or comme DN est à NS, de même aussi MR est à RP ; par conséquent comme la somme des deux lignes MN , NO est à la somme des deux lignes IN , NV, ainsi la ligne MR. est à RP. Dp est-il que la ligne MR est plus grande que la somme des deux lignes MN , NO , par conséquent la ligne PR est aussi plus grande que lasomme des deux lignes IN, NV, par la i4 du 5.

Il ne reste plus qu'à prouver que ïa ligne RH est plus grande, ou du moins n'est pas plus petite que la ligne HV, après quoi il sera constant que la somme des deux lignes droites PR, RH est plus grande que la somme des deux lignes droites IN , NH.

Dans le triangle NHR, le carré RH est égal aux deux carrés HN et NR , moins deux fois le rectangle sousSN, NR, parla i3du 2. Mais puisque, par la construction , comme le rayon MN , ou son égale NH, est àDN, ainsiNRest à NO, et que comme DN est à NS, ainsi NO est à NV; il s'ensuit qu'en raison égale comme HN est à NS , ainsi NR est à NV, par la 22 du 5 , où l'on voit que NR est plus grande que NV. Et partant le rectangle des deux lignes HN et NV est égal au rectangle de SN et NRj

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LETTBES. 5o5

par la i6 du 6. Par conséquent le rectangle sous HN et NV pris deux fois est égal à deux fois le rectangle sous SN et NR ; c'est pourquoi le carré de HR est égal aux deux carrés HN, T4R, moins deux fois le rectangle sous HN , NV. Mais le carré NR a été prouvé plus grand que le carré NV, partant le carré HR est plus grand que les deux carrés HN, NV, moins deux fois le rectangle sous HF, NV, mais les deux carrés HN, NV, moins deux fois le rectangle sous HN , NV, sont égaux au carré de la droite HV, par la 7 du 2. Par conséquent le carré de HR est plus grand que le carré de HV, et partant la ligne HR est plus grande que la ligne HV, ce qui nous restoit à prouver.

Que si l'on prend le point R du côté de semi-diamètre AN ', quoique les deux lignes droites MR et RH se rencontrent directement et ne constituent qu'une seule ligne droite, comme dans la seconde figure la même chose arrivera ( car la démonstration est générale, et pour toute sorte de cas), c'està-dire que la somme des deux lignes droites PR, RA sera plus grande que la somme des deux lignes droites IN, NH. Et pour le prouver, soit fait comme ci-devant comme le rayon MN est à la ligne DN, ainsi RN soit à NO, et comme DN est à NS, ainsi NO soit à NV; il est évident que la ligne RN est plus grande que NO , et que la ligne NO est plus

■ Figure 4 g.

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5o6 LETTRES.

grande que NV. De plus le carré MB est égal aux deux carrés MN , NR , moins deux fois le rectangle sous JM , NR par 1 3 de 2 , ou bien , comme il a été prouvé ci-dessus, moins deux fois le rectangle MN , NO.

Mais puisque le carré NR est plus grand que le carré NO, il s'enfiuit que le carré MR sera plus grand que les deux carrés MN, NO, moins deux fois le rectangle fait sous MN, NO. Or est-il que les deux carrés MN , NO, moins deux fois le rectangle fait sous MN , NO , sont égaux au carré de la ligne MO par la 7 du 2. Par conséquent le carré de la ligne MR est plus grand que le carré de la ligne MO , et partant aussi de la ligne MR est plus grande que la ligne MO.

Mais puisque , par la construction , comme DN est à NS , ainsi MN est à NI , et ainsi aussi NO est à NY ; donc comme MN est à IN , ainsi NO est à NV ; et en permutant comme MN est à NO , ainsi IN est à NV, et en divisant comme MO est à ON , ainsi IV est à VN , et en permutant comme MO esta IV, ainsi ON est à NV , ou DN à NS, ou MR àRP.

Or l'on a prouvé auparavant que MR étoit plus grande que MO , donc PR est aussi plus grande que IV. Partant il ne reste plus qu'à prouver, afin que la preuve soit entière, sinon que la droite RH est plus grande, ou du moins n'est pas plus petite

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que la somme des deux lignes droites HN , WV , ce qui n'est pas difficile.

Car ie carré RH est égal aux deux carrés de NH et NR joints à deux fois le rectangle sous SN et NR, ou bien, par ce qui a été prouvé ci-devant, joints à deux fois le rectangle sous HN et NV; mais le carré .RN 'est plus grand que le carré NV, donc le carré HR est plus grand que les dedx carrés HN et NV, avec deux fois le rectangle sous HN et NV; mais le carré de HN, NV , comme une seule ligne droite, est égal aux deux carrés de HN , NV avec deux fois le rectangle sôus HN , NV par la 4 du 2. Donc le carré de HR est plus grand que le carré de HN , NV comme une seule ligpe , et partant la ligne droite HR est plus grande que la somme des deux lignes droites HN , VY , ce qui restoit à prouver. D'où il suit , par ce qui a été montré ci-devant, que la ligne droite HR est plus grande que la somme des deux lignes droites HN, NV.

Partant il est évident que les deux lignes droites PR et HR ou la seule ligne droite PRH ( quand , il arrive que ce ne soit qu'une seule ligne droite ) sont toujours plus grandes que les deux lignes droites IN et NH , ce qu'il feUoit démontrer.

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LETTRE DE M. CLERSELIEK