RÉPONSE DE DESCARTES

(Lettre loi du tome III.}

D'AmslFrdam , le i3 novembre 1619.

Monsieur,

Vous m'avez fait plaisir de me déduire tout au long vos difficultés sur ce que je vous avois mandé , et je tâcherai d'y répondre suivant le même ordre que vous les proposez. J'ai marqué avec les lettres A, B, C, les points auxquels je réponds, afin que vous les puissiez revoir dans la lettre que vous m'aviez écrite.

Je supposois, ce que vous dites, que la ligne CD passoit au travers des deux planches ; et pour

' « n bat iiuérer à la iin de cette lellre na grand fragment que j'ai di- ■> crlt dacu II page io3 de mes collectioiu. -

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cela j*aTois mis le point D beaucoup plus bas que L , qui est celui que je faisois rencontrer entre les deiix planches.

Tout ce que je vous avois écrit n'étoit que pour le verre concave , afin de ne pas vous brouiller du commencement; mais je suis bien aise que vous i'ajez rapporté au convexe, pour lequel toutefois il Ëtudra de beaucoup plus grandes machines.

Il est vrai qu'il n'y faut point deux planches , s'il vous est plus commode autrement, et je ne les avois laissées que pour vous mieux faire entendre ma pensée. Toutefois vous devez remarquer que le tranchant Piio doit être en une supei^ ficie parfaitement plate , autrement il ne prendroit pas la figure requise; et pourceque ce tranchant se fait, non pas contre la planche vx, lorsque la lame nm est appliquée dessus, mais au-dessus, vers l'axe AB, et que la pièce CD, en limant la ligne Ptw, pourroit courber la superficie plate Pniwn, je suis d'avis que vous appliquiez donc encore au-dessus de la lame nm quelque autre pièce plate de cuivre ou autre matière , qui même se lime avec la ligne Pno , où bien qui en ait déjà la figure , afin d'empêcher que la lame ne se courbe ; ou, si \<nis l'aimez mieux, il faut appliquer les lames nm au-dessous de la planche vx , et non pas au-dessus. Ceci est pour le verre concave seulement ; car au convexe , le tranchant de la ligne

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3o LETTRKS,

Pno est contre la planche vx , et dessus. Il faut remarquer ici que la lame nm, en quelque façon que vous l'affermissiez sur la ligne vXj n'y doit pas être toùt-à-lait immobile , mais qu'il &ut que quelque poids ou ressort la presse continuellement contre la ligne LD ; car si elle étoit immobile , et que LD ne s'avançât point aussi vers elle , comme elle ne le doit pas , elle ne pourroit être taillée.

Toute l'importance est de bien achever la lame nmj toutefois je croisque si elle n'a été bien taillée avant la trempe , il seroit presque impossible de la raccommoder par après ; c'est pourquoi je vous conseille d'ébaucher même les lames nm avec cette machine; et je ne trouve pas qu'il y ait tant de difScullé à changer la pièce CD ', et en mettre une autre qui garde la même inclination , par le moyen d'un petit modèle de cuivre Z , ou ZZ , qui soit taillé selon l'angle de l'inclination , comme Z , ou bien selon son complément, comme ZZ. Car . vous devez remarquer qu'il n'est pas nécessaire que toute la ligne CD garde cette inclination. Je vous avois tracé des lignes AB et CD toutes nues, comme les lignes mathématiques , pour tous faire mieux comprendre les fondements de la machine; mais vous les pouvez faire tout d'une pièce, ou comme vous voudrez , pourvu seulement que la

■ Pignre 9.

partie qui doit être taillée en lime , à savoir LD , garde l'inclination requise. Encore que je sois fort mauvais peintre , vous ent^idrez peut-être bien mes figures.

La première est pour le verre concave, où la pièce CXiYD tourne sur les deux pôles A et B ; la ligne VX marque la planche que vous avez tracée dans votre lettre, 'laquelle doit être parallèle à l'axe AB , et percée eo sorte que YD passe pardessous; la ligne LD est ce qui doit être taillé en lime , pour tailler les lames nm ; et cette ligne LD doit être affermie aux points L et D , ainsi qu'il vous sera plus commode , ou par des vis , ou autrement. Au reste, vous donnerez à LD l'inclination requise par le moyen de votre triangle ZZ , un côté duquel vous appliquerez sur la ligne VX , au lieu où est nm , en sorte que l'autre se rapporte justement contre LD. Vous ferez le même avec le triangle Z pour le verre convexe, où il n'y a de différence que pour la grandeur de la machine, laquelle se mesure par la distance qui est entre les lignes AB et VX; laquelle machine, pour le petit verre , c'est-à-dire pour le verre concave, ne doit pas être de plus de deux ou trois pouces, ni par conséquent le de^i-diamètre de la roue^, ainsi que je dirai ci-a{À;|je ; et les pôles A et B peuvent être soutenus sur des pièces qui descendent vers la planche VX. Mais pour le verre con-

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vexe, il faut que depuis ÀB jusqu'à VX il y ait huit ou dix pieds de distance, au moins pour les rares effets : c'est poiarquoi les pôles A et B doivent être appuyés au plancher de la chambre où vous travaillerez , à quelque poutre qui soit bien ferme; je dis bien ferme, car le moindre tremblonent ôteroit toute la justesse de la Hgne. Vous pouvez, au lieu d'attacher cette seconde machine au plancher de la chambre, la coucher tout du long sur une table ou sur quelque autre chose, et je crois que son mouvement sera plus assuré en cette sorte ; et il faut que la pièce CIjYD soit de telle grosseur et de telle matière qu'elle ne plie en aucune façon. Il n'y a rien à con^dérer en ces machines que les trois lignes AB, LD et VX , ou plutôt la lame nm posée sur VX , dont la superficie doit être exactement plate du' côté qu'elle doit trancher; pour tout le reste de la machine , &itesle gros ou petit, droit ou courbé, il n'importe. Or, si vous trouvez encore de la difficulté à mettre les pièces LD selon l'iDclination requise, j'ai à vous dire , pour vous consoler , et afin que vous ne laissiez pas d'ébaucher les lames nm avec ces machines, qu'encore même que l'inclination n'y fût pas exactement obsei;vée, toutefois la ligne que vous traceriez seroit sans comparaison plus propre à tailler les verres que toutes celles que vous sauriez faire autrement , et même il seroit par

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LETTIllîS. 33

après beaucoup plus aisé de lui donner la vraie figure que si vous l'aviez ébauchée autr^oent.

Ce qu'il y a de plus ici à r^narquer, c'est que la pièce LD', taillée en lime ou autrement , laquelle je vous ai fait jusques ici considérer comme une ligne simplement, peut être, assez' grosse et taillée en rond conome un cylindre pour le petit verre ; mais pour le convexe , elle doit avoir une ligne droite au milieu, comme une arête, plus relevée que le reste , et ses deux côtés doivent être un peu creusés en rond , afin qu'en se mouvant les côtés ne dissent pas la figure qui doit être donnée seulement par la ligne du milieu , laquelle doit croiser justement la U^e VX lorsque la machine n'est point remuée ; et pour ne point faillir , vous devez imaginer que l'axe indivisible AB-, sur lequel tourne la machine , la ligue VX ou nm, et cette ligne qui est la plus avancée sur la lime LD, doivent toutes se rencontrer en un même plan , lequel vous imaginerez tomber à plomb et à angles droits sur la planche hgKi.

Je m'étonne que vous n'ayez point trouvé de difficulté à faire que les lames ntn puissent tailler la roue tj , étant posées toutes droites sur cette roue , car de cette sorte elles ne peuvent faire que racler, et non point couper , comme font les rabots des menuisiers , le fer desquels est couché de

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biais, et sans cela ils ae s'en pourroient servir; mais il y- a moyeu de'&iire aus» des lamés ntn , lesquelles étant coueliées sàaei qae le fer des- rabots, auront le même «Set que les pvécédêntes qui seroieDt toutes droites^ Il £aat smiEemeuft (^Qgen en vos nwu;bÊne» l'angle de rim^a^Mi» pour lai Ix^ei Lï>, sekm la proportioD (pie je voua écrirai è k> 6n- de cette lettre , si j'en ai le le^-.

Vous devez swvoir que la rooe qui taille le v^rre' ccncave ne le doit toucher qued-'unesetUeligiie, nonp^ que cellie qui- taille le conT«Ke, laquelle vous avez.' fort tàen eeniprise , sans qne je vons en^ eiuse rien écrit; or c'est pour cette raison qpe la Fouef ne doit pas^ excéder certaine grandeur , car veu» savez que 1» circon^enee des petits- caries est plus coorbe quecefe des grsidsv conune vous voyez, au point F ' ; et si' lai eirconférence étoit moins courbe que la ligne Vno , ce seroit «î&e qui donneroit la figure an vc»re, et no» pas Pno ; et ainsi le verre seroit spbérique : mais il Caut qu'elle soit plus courbe qae ^19 , sans qu'il importe de combien; seulement faut- il observer, pour sa plus juBte grandeur , que le demi-diamècre de ta roue 9 n'excède pas la tcauteur qu'il y a en la première machine , depuis- la planche VX jusquès à l'axe AB, c'est-à^ire deux ou trois pouces, et qu'il

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soit plutôt un peu moindre. Pour le convexe. Eûtes la Foiie grands ou petite , il n'importe pas. J'approuve bien que la roue ij soit de telle ma* tière que vous jugez b propos , et que le tour soit tourné ainsi que tous le trouvez plus commode. Mais il fantremarquer que les mouvements du tour et de la roue q ne doivent point être ëgaux , car au contraine c'est ce que j'estime un des princi^ paux secrets de tout l'artifice , qu'en rendant l'un plus vite et l'autre plus lent , selon que vous jugerez être de besoin, vous pourrez perfectionner Les figures autant qu'il est possible par la main d'un homme ; mais la proportitm de ces mouvements ne se peut avoir que par l'usage, c'est-à- Aire que, fussiez-vous un ange , vous ne sauriez si bien faire la première année que la seconde ; seulement puis-je dire en général que pour les VMres concaves la roue doit tourner fort vite , et le tour fort lentement , et au contraire pour les convexes. Il faut aussi remarquer que ta roue q ne puisse varier ni çè ni là en tournant, et toutefois qu'elle soit libre de descendre à mesure que le verre se taille, et qu'dle le presse toujours, car autrement elle ne le tailleroit pas-; si vous ne trouvez inveation pour cela , j'en trouverai assez.

La ligne des verres convexes sera d'une si grande étendue qu'elle semblera à l'œil être toute droite;

ctest pourquoi vous ne devez rien craindre pour les difficultés que vous y proposez ; car il n'est quasi pas question de tailler le verre , mais seulement de le polir, à quoi toutefois je ne juge pas l'usage de la roue moins nécessaire que pour les concaves; je veux dire qu'après raéine que le verre est tout taillé, comme je vous l'ai vu polir avec un morceau de cuir on de bois, je voudrois que ce cuir même, ou ce bois, ou quoi que ce fut, fût une roue qui eût la figure requise : car la justesse de cette figure doit être si précise, que je ne doute point qu'encore que le verre eût la figure arant que d'être poli, toutefois, le polissant après sans machine , vous la lui pourriez ôter. D'où vient que si vous pensiez seulement appliquer contre le verre une des lames nm., ou plutôt un modèle taillé par son moyen , tous les déÉiuts qui seroient en la lame «m (car vous ne devez pas espérer qu'il n'y en ait point) feroient un cercle de fautes, tant au modèle qu'au verre; ou au contraire , ce qui est principalement à estimer en la roue , c'est qu'elle est composée tout autour d'une infinité de lignes Vno toutes diverses , en sorte que ce qu'il peut y avoir de défaut en chacune ne touche le verre qu'en un poiiit , et incontinent il succède une autre ligne qui raccommode ce que la précédente a pu gâter ; et pourvu qu'en toute la superficie de la roue il y ait plus de points qui

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correspondent à la vraie figure qu'il n'y en aura d'autres, elle donnera !a figure exacte' au verre , sans lui communiquer aucun de ses défauts; au lieu que tous les défauts qui sont aux modèles se communiquent au verre. C'est aussi la raison pourquoi j'avois marqué qu'il faut avoir plusieurs lames nm toutes semblables , et ne se contenter pas d'une seule pour tailler la roue q , afin que si l'une manque en quelques points , l'autre supplée au défaut ; et il est probable que se servant ainsi de pinceurs lames tout à la fois on pourra faire la roue f en sorte qu'elle approcbera fort de la vraie figure, et le verre en approchera"davantage; ce que je vous ibaiide afin que vous sachiez en quoi consiste l'artifice et l'utilité de tous ces mouvements, qui est qu'encore qu'il y ait quelque chose à redire en tous vos modèles , c'està-dire aux lames nm et à la roue g , vous ne laisserez pas de pouvoir tailler Je verre exactement.

Il est très certain que la vision est toujours plus tlistincte lorsque l'on regarde par un petit trou que lorsque l'on regarde par un plus grand , mais il nimporte pas tant que le trou soit grand quand la figure estexacteque quand elle ne l'est pas. Et il ne vous faut pas persuader que les verres taillés pour les grandes lunettes soient bous pour les lunettes à puce ; il y a bien de la différence, car pour celles-ci ils doivent être taillés des deux côtés. Je

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38 LETTBES.

VOUS manderai une autre fois toutes les figures et applications des verres pour toutes sortes de lunettes, feites-m'en souvenir.

Encore que les triangles de verre d'un même diaphane soient différents, et par conséquent qu'ils aient différentes réfractions , toutefois, suivant la méthode que je vous avois donnée, ils vous donneront tous la même ligne pour tailler tes verres brûlants; mais pourceque je vois bien que vous avez oublié une partie de ce que je vous en avois dit à Paris , il faut que je me frotte un -peu le front , et que je m'effbrce de vous, en écrire tout au long une bonne fois.

Soit la ligne de votre cadran AE' , le triangle de verre appliqué dessus FGH , de quelque grandeur qu'il puisse être , pourvu que la ligne GH d'îcelui tombe à angles droits sur AE, afin que le rayon du soleil, passant par la pinnule I, aille tout droit jusques à D, sans faire de réfraction en entrant dans le verre , mais seulement lorsqu'il en sort , à savoir au point D. Remarquez donc la ligne GDF, qui représente l'inclination du verre , dans laquelle se fait la réfraction, et le point D, auquel elle est coupée par le rayon du soleil , et le point À , auquel le rayon du soleil IDA coupe la ligne de votre cadran. Vous avez donc l'angle ADF. Maintenant du point D tirez une autre ligne DC ,. en sorte que

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l'ADgJe FDC soit égal è l'angle ADF, et par conséquent qve tout l'aigle AJX soit double de l'angle ADF ; et remarquez en quel point cette ligne DC coupent votre cadran, savoir au point C, lequel étant trouvé, prenez la ligne CK égale k CD, et la ligne AX* égale AD ; cherchez après le milieu entre les points K. et L, k savoir B; et a^nt les trois points ABC , qui vous donnent la proportion qui est -entre les lignes AB et BC , vous a'avez plus que faire de tout le resfte : or ceCle proportion viendra toujours sembl^le, quelque triangle de veireque vouS'jH-oiiez, pourvu qu'ils soient tous (Tan m^ne diaphane.

Ajant les points ABC, v>oii8 pourrez décaire la ligne pour brûler en cette sorte: mettez la pointe du compas au centre fi '., et l'ayant ouvert si peu que vous voudree, marquée sur la ligne AC deux points N et O également distants de B ; après , ra{^rtant un pied du cosnpas eo A , et l'autre «n O, tirez une ptu^ioii de cerde TOV; et tcnimant derechef le confias , un pied eu C et l'autre en N , tirez une autre portion de cercle qui -coupe la ppécédenteaux points Tet Vf par tesqods dort passer votre ligne, -conmie aussi par le point B. Voos pouvez ainsi trouver une infiotté de pcÔnts ; car mettant derechef ^uu pied da cenopas en B , et l'ouvrant un peu plus que la pnemière fiais , vous

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prenez deux autres points paiement distants de B , à savoir P et q ; puis du centre  tirant le cercle xqY , et du centre C le cercle xPY, l'intersection de ces deux cercles vous donne darech^ les deux points X et y, et ainsi à l'infini ; et je crois que c'est là toute la laçon dont se sert M. Mydoi^e. Vous pouvez pratiquer cela sans mettre qu'une fois le pied du compas en chacun des points A,B et C , à savoir si ayant le pied du compas en B , vous prenez les points NO et Vq, et infinis autres; puis, ayant le pied du compas en A , vous tirez les cercles TOV, xqY, et semblables ; et après , mettant le compas en C , vous tracez les autres cercles TNV , xPY : ceci est le plus court , mais il ne se faut pas méprendre, et marquer l'intersection d'un cercle au lieu de l'autre. Or la ligne ainsi décrite brûlera à la distance qui est depuis A jusques à B.

Que si vous en voulez tracer une qui brûle à une plus grande ou moindre distance, par exemple à la distance de DE , cberchez EF, qui soit à DE comme BC est à AB, et, l'ayant trouvée , servez-vous des points DEF pour tracer votre ligne , comme vous avez fait des points ABC, c*est>à^re que si vous avez une fois la proportion qui est entre les lignes AB et BC , par le moyen de voire cadran , elle vous servira pour tous les verres d'un même diaphane, à quelque distance que vous les vouliez faire brûler. Posons le cas que la ligne

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ÂB soit sis fois aussi grande que BC , et vous voulez tailler un verre qui brûle à six pouces de distance , faites DE de six pouces , et EF d'un pouce , et décrivez votre ligne sUr les trois points DEF. Si vous eu voulez tailler un qui brûle à six pieds , faites DE de six pieds , et £F d'un pied , et ainsi à quelque distance qu'il vous plaira.

Que si vous avez un morceau de verre lequel vous vouliez tailler pour brûler, sans rien perdre de son épaisseur du milieu ni de son diamètre, Élites ainsi : servez-vous de quelque ligne pour l»iiler que vous ayez déjà toute tracée , par exemple de la ligne hyperbolique EM', et sur la ligne EF marquez EG , qui soit l'épaissem- du milieu de votre verre, et tirez à angles droits GH, qui soit le demi-diamètre du même verre donné; puis tirez une ligne, qui passe par les points E et H , laquelle coupera la ligne brûlante en quelque endroit, à savoir en M; tirez donc du point M une perpendiculaire ML , puis cherchez une ligne qui soit à D£ comme GH est à ML, et encore une autre qui soit à EF comme GH est à ML, et servez-vous de ces deux lignes, au lieu des lignes DE et EF, pour tracer la ligne requise. Par exemple, DE est de six pouces, et GH est double de ML; il ùait donc prendre une ligne de douze pouces , à savoir KI> : puis EF est d'im pouce , prenez donc

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4s LETS'RES.

LM de deux poucas, et avec les trois poists iL.LM vous tracerez la ligne requise pour ne ri^ perdre de votre verre , et faire qu'il brûle à la distance de la ligne KL. Vous m'av^ fait rire de nommer cela un secret^ ce n'est rien que vous n'eausiez fort aisément trouvé de vous-même Ai vous eusâ^ bien entendu ce qui précède, et, si vous en parlet, je serai bien aise 'que vous dînez que vous l'avez trouvé de vous-même , sur ce que je vous avois x^ généralement la façon de tracer la ligtK; et voils pourrez dire que ce n'est rien qu'une règle de trois ; car vous dites , si la l^e ML me donne DE et ;1^, que me donnera <^H? et ainsi vous trouvères KL etLM.

Mais c'est un plus grand secret, ayant Iw trcHs points ABC ou DËF ', ou autres semblables , de trouver, par leur moyen, l'ange de t'iadinationque doit avoir votre machine, et je ne sais si quelque autre vous le poiuroit dire, enc(»« que la pratique n'^ soit pas difficile ; elle est ^le : chercheB le milieu entre les points A et C, à savoir G, et d*icelui tirez un cercle qui passe par les points A et C , à savoir AHC; pius de B élevez une pwpeadiculaire B H qui coupe le cercle au point H , duqUel\ vous tirerez la ligne HG, et l'angle HGB est celui q«e vous cherchez, selon lequel il faudra tailler un modèle de cuivre Z pour ajuster l'inclination de vottw

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