VOICI MAINTENANT LE BILLET DE M. DE FERMAT

(Version.)

« Vouloir délivrer entièrement l'algèbre des asymétries, c'est un ouvrage difficile, et sur lequel les analystes ne se sont pas encore assez exercés.

• Qu'on propose, par exemple, plus de quatre termes asymètres qu'il faut faire évanouir suivant les règles de l'art , quel analyste se retirera de cet embarras ? U travaillera beaucoup, il se cassera la tête; après une infinité d'opérations, il se trouvera aussi avancé que s'il n'avoit rien fait. L'analyse restera donc en chemin, accablée de tous côtés par les asymétries, et ne pourra plus faire un seal pas. C'est à nos habiles à la tirer de cet embarras, et à lui ouvri r une route pour arriver à son but.

• Soit, par exemple, la racine (b in a, a quar.)\ la racine (z quar. \ d in a,-\ a quar. \ la racine (m ma) fia racine (d quar. -a quar. )- la racine (r in a\a quar.) qu'on suppose égaux a, a\ b.

» Que l'analyste se tire de cette asymétrie selon les règles de l'article, ou qu'il avoue l'inefficacité de ses règles. Il me semble que les illustres en cette science ne sauraient prendre un plus digne et plus nécessaire emploi que celui d'aplanir ces

difficultés; pour les y exciter, vous leur pourriez dire par avance que j'ai fait quelques progrès en cette matière , et qu'il y a beaucoup à découvrir et à inventer; vous pourrez même en écrire en Italie et en Hollande, afin que la prophétie du chancelier d'Angleterre s'accomplisse : Plusieurs passeront, et la science augmentera. %

Pour le billet de M. <[e Fermât, puisqu'il est en latin, il faut que j'y réponde aussi en latin, et ensuite de ces mots , L'analyse restera donc en chemin, etc. , je réponds :

Notre analyste ne s'arrête pas en si beau chemin , et voici une méthode pour y parvenir. Otant tous les signes de la symétrie , il fout joindre ensemble tous les termes donnés (qui de cette manière sont devenus commensurables), et ensuite les multiplier carrément. Il faut les multiplier ainsi trois fois si Ton a donné cinq termes asymètres, quatre fois si l'on en a donné six, cinq fois si l'on en a donné sept, et ainsi à l'infini.

Ensuite des termes produits par la dernière multiplication , ou de leurs multiples joints ensemble par la seule addition ou soustraction , résulte une équation qui n'est embarrassée d'aucun terme fcsymètre, et qui est égale à la première*

Ainsi dans l'exemple donné il y a six termes asymètres que j'écris ainsi : ba-aa \ %z \ da \ a a f ma\ddd*aa\ra\ aa f bb \%ba\aa.

Ces termes multipliés une seule fois carrément produisent seulement vingt-un termes ; car il faut observer qu'on doit conserver à part toutes les parties du produit de chaque terme (quand il y en a plusieurs), et ne les point confondre avec d'autres termes , quoique entièrement semblables , avant la fin de l'opération. Ces vingt-un termes multipliés carrément en produisent beaucoup davantage ; mais parceque ces multiplications se peuvent faire par un simple calcul de plume, et qu'un habile analyste corrige aisément les fautes qui se pourroient glisser dans le calcijUd'un arithméticien, la longueur de l'opération ne doit pas être mise au nombre des difficultés; j'âi encore une méthode plus courte, mais qui ne seroit pas si fort à la portée d'un simple arithméticien.

Mais je demande ici à M. de Fermât, et à M. de Roberval (et principalement à ce dernier ; car, puisqu'il occupe la chaire de Ramus, il doit répondre à cette question, ou avouer qu'il ne mérite pas ce poste), comment on trouvera dans le produit de la dernière multiplication quels sont les termes qu'il faut ajouter et quels sont ceux qu'il faut soustraire pour avoir l'équation demandée. Que M. de Roberval n'aille pas dire, selon sa coutume, qu'il loi faudrait beaucoup de temps pour satisfaire à cette question , et qu'il a d'autres affaires ; car j'assure ici, et même, s'il est besoin , je le dé-

montrerai, qu'un savant analyste peut trouver en très peu de temps ce que je demande , et je puis protester que je n*ai pas employé plus d'un demiquart d'heure à chercher cette méthode , à la trouver, et à me convaincre qu'elle s'étend à toutes les espèces d'asymétrie.