TOUCHANT LA DIOPTRIQUE

{Lettre 5i du tome III.)

A Toulouse, le i°* jour de Pan 166 a.

Monsieur,

11 est juste de vous obéir , et de terminer enfin par votre entremise le vieux démêlé qui a été depuis si long-temps entre M. Descartes et moi, sur le sujet de la réfraction , et peut-être serai-je assez heureux pour vous proposer une paix que vous trouverez avantageuse à, tous les deux partis.

Je vous ai dit autrefois dans ma première lettre que M. Descartes n'a jamais démontré son principe; qu'outre que les comparaisons ne servent guère à

fonder des démonstrations, il emploie la sienne à contre-sens , et suppose même que le passage de la lumière est plus aisé par les corps denses que par les rares , ce qui est apparemment faux. Je ne vous dis rien du défaut de la démonstration en ellemême, quand bien la comparaison dont il se sert seroit bonne et admissible en cette matière , pourceque j'ai traité tout cela bien au long dans ûies lettres à M. Descartes pendant sa vie , ou dans celles que j'ai écrites à M Clerselier depuis sa mort. J'ajoute seulement qu'ayant vu le même principe de M. Descartes dans plusieurs auteurs qui ont écrit après lui , leurs démonstrations, non plus que la sienne , ne. me paraissent point recevables , et ne méritent point de porter ce nom. Herigone se sert pour le démontrer des équipondérants, et de la raison des poids sur les plans inclinés; le père Maignan y veut parvenir d'une autre manière: mais il est aisé de voir qu'ils ne démontrent ni l'un ni l'autre, et qu'après avoir lu et examiné avec soin leurs démonstrations , nous sommes aussi incertains de la vérité du principe qu'après avoir lu M. Descartes.

Pour sortir de cet embarras, et tâcher de découvrir la véritable raison de la réfraction , je vous indiquai dans ma lettre que si nous voulions employer dans cette recherche ce principe si commun et si établi , que la nature agit toujours par les voies

les plus courtes > nous pourrions y trouver facilement notre compte. Mais parceque nous doutâmes d'abord que la nature, en conduisant la lumière parles deux cotés d'un triangle, puisse jamais agir par une voie aussi courte que si elle la conduisoit par la base ou par la sous-tendante, je m'en vais vous faire voir le contraire de votre sentiment, ou plutôt de votre doute , par un exemple aisé. Soit en la figure le cercle ACBG , duquel le diamètre soit AOB , le centre O, et un autre diamètre GOC} des point G et C soient tirées les perpendiculaires sur le premier diamètre GH , CD. Supposons que le premier diamètre AOB sépare deux milieux différents, dont l'un qui est celui de dessous AGB soit le plus dense, et celui de dessus ACB soit le plus rare, en telle sorte, par exemple, que le passage par le plus rare soit plus aisé que celui par le plus dense en raison double. Il suit de cette supposition que le temps qu'emploie le mobile , ou la lumière de C en O , est moindre que celui qui les conduit d'O en G; et que le temps du mouvement de C en Q, qui se fait dans le milieu le plus rare , n'est qfae la moitié du temps du mouvement d'O en G ; et par conséquent la mesure du mouvement entier parles deux droites CO et OG peut être représentée par la somme de la moitié de CO et de la totale OG. De même , si vous prenez un autre point comme F, le temps du mou-

vement par les deux droites CF et FG peut être représenté par la somme de la moitié de CF et de la totale FG. Supposons maintenant que le rayon CO soit 10, et par conséquent le diamètre total COG sera 20 ; que la droite HO soit 8 , la droite OD soit aussi 8 , et qu'enfin la droite OF ne soit que 1 : je dis qu'en ce cas le mouvement qui se fait par la droite COG se fera dans un temps plus long que celui qui se fait par les deux côtés du triangle CF, FG.

Car si nous prouvons que la moitié de CO jointe à la totale OG contient plus que la moitié de CF jointe à la totale FG , la conclusion sera manifeste , puisque ces deux sommes sont justement la mesure du temps de ces deux mouvements ; or la somme de la moitié de CO et de la totale OG fait justement 1 5. Et il est évident par la construction que la droite CF est égale à la racine carrée de 1 1 7, et que la droite FGest égale à la racine carrée de 85. Mais la moitié de la première racine jointe à la seconde fait moins que 59 et 4 , et 59 et 4 sont tencore moindres que i5. Donc la somme de la moitié de CF et de la totale FG est moindre que la somme de & moitié de CO et de la totale OG, et partant le mouvement par les deux droites CF, FG se fait plus tôt et en moins de temps nue par la base ou sous-tendante COG.

Je suis venu jusque là saus beaucoup de peine ;

mafs il a fallu porter la recherche plus loin ; et parceque, pour satisfaire à mon principe, il ne suffît jpas d'avoir trouvé un point comme F , par où Je mouvement naturel se fait plus vite , plus aisément et en moins de temps que par la droite COG, mais qu'il faut encore trouver le point qui fait la conduite en moins de temps que quelque autre que ce soit , pris des deux côtés, il ma été nécessaire d'avoir en cette occasion recours à ma méthode De maximis et minimi$ , qui expédie ces sortes de questions avec assez de succès.

Dès que j'ai voulu entreprendre cette analyse, j'ai eu deux obstacles à surmonter : le premier, que bien que je fusse assuré de la vérité de mon principe , et qu'il n'y ait rien de si probable ni de si apparent que cette supposition , que la nature agit toujours par les moyens les plus aisés , c'est-à-dire, ou par les, lignes les plus courtes lorsqu'elles n'emportent pas plus de temps -, ou en tout cas par le temps le plus court , afin d accourcir son travail et devenir plus tôt à bout de son opération ( ce que le présent calcul confirme d'autant plus, qu'il paroît par là que la lumière a plus de difficulté à traverser les milieux denses que les rares, puisque vous voyez que la réfraction vise vers la perpendiculaire dans mon exemple, ainsi que l'expérience le confirme, ce qui pourtant est contraire à la supposition de M. Descartes), néanmoins j'ai

été averti de tous cotés , et "principalement par M. Petit, que j'estime infiniment, que les expériences s'accordént exactement avec la proportion que M. Descartes a donnée aux réfractions ; et que , bien que sa détermination' soit fautive , il est à craindre que je tenterai inutilement d'introduire une proportion différente de la sienne , et que les expériences qui se feront après que j'aurai publié mon invention la pourront détruire sur l'heure. Le second obstacle qui s'est opposé à ma recherche a été la longueur et la difficulté du calcul , qui » dans la résolution du problème dont je vous parlai dans ma lettre , et que je vous témoîgnoîs n'être pas des plus aisés , présente d'abord quatre lignes par leurs racines carrées , et engage par conséquent en des asymétries qui aboutissent à une très grande longueur.

Je me suis défait du premier obstacle par la connoissance que j'ai qu'il y a infinies proportions > différentes de la véritable , qui approchent d'elle si insensiblement, qu'elles peuvent tromper les plus habiles et les plus exacts observateurs. Ainsi n'y ayant que le second obstacle à vaincre, je m'étais résolu très souvent d'employer la bieu-aimée géométrie], c'est ainsi que Plutarque l'appelle , pour vous satisfaire, et pour me satisfaire moi-même î mais l'appréhension de trouver, après une longue et pénible opération , quelque proportion irrégu-

Hère et fantasque , et la pente naturelle que j'ai vers la paresse, ont laissé la chose en cet état, jusqu'à la dernière semonce que M. le président de Miremont vient de me faire de votre part , que je prends pour une loi plus forte que ni mon appréhension ni ma paresse ; si bien que je me suis résolu de vous obéir sans autre retardement.

J'ai donc procédé sans remise, en vertu de l'o-i bédience, comme parlent les moines, à l'exécution de vos ordres ; et j'ai fait l'entière analyse en forme, dans laquelle le désir passionné que j'ai eu de vous satisfaire m'a inspiré une route qui a abrégé la moitié de mon travail , et qui a réduit les quatre asymétries que j'avois eues en vue la première fois à deux seulement , ce qui m'a notablement soulagé.

Mais le prix de mon travail a été le plus extraordinaire , le plus imprévu et le plus heureux qui fut jamais ; car après avoir couru par toutes les équations, multiplications, antithèses, et autres opérations de ma méthode, et avoir enfin conclu le problème que vous verrez dans un feuillet séparé, j'ai trouvé que mon principe donnoit justement et précisément la même proportion aux réfractions que M. Descartes a établie.

J'ai été si surpris d'un évènemeitf si peu attendu, que j'ai peine à revenir de mon étonnement; j'ai réitéré mes opérations algébriques diverses fois,

et toujours le succès a été le même, quoique ma démonstration suppose que le passage de la lumière par les corps denses soit plus malaisé que par les rares; ce que je crois très vrai et indisputable, et que néanmoins M. Descartes suppose le contraire.

Que devons-nous conclure de tout ceci? Ne suffira-t-il pas, monsieur, aux amis de M. Descartes que je lui laisse la possession libre de son théorème? N'aura-t-il pas assez de gloire d'avoir connu les démarches de la nature dans 'la première vue, et sans l'aide d'aucune démonstration ; je lui cède donc la victoire et le champ de bataille, et je me contente que M. Clerselier me laisse entrer du moins dans la société de la preuve de cette vérité si importante, et qui doit produire des conséquences si admirahjes.

J'ajoute même, en faveur de son ami, qu'it semble que cette grande vérité naturelle n'a pais osé tenir devant ce grand génie, et qu'elle s'est rendue et découverte à lui sans s'y laisser forcer par la démonstration , à l'exemple de ces places qui , quoique bonnes d*ailleurs, et de difficile prise, ne laissent pas, sur la seule réputation de celui qui les attaque , de se rendre à lui sans attendre le canon.

Je vous annonce donc, monsieur, j'annonce à M. Clerselier, et à tous les amis de M.- Descartes, qu'il ne tiendra plus à L'incrédulité des géomètres v

qu'on ne doive attendre ces merveilles que M. Descartes a fait espérer avec raison de ses lunettes elliptiques et hyperboliques , pourvu qu'on puisse trouver des ouvriers assez habiles pour les faire et pour les ajuster.

Il resteroit encore une petite difficulté, que la comparaison de M. Descartes semble produire: c'est jqu'il ne paroît pas encore pourquoi la balle qui est poussée dans l'eau n'approche pas de la perpendiculaire , ainsi que la lumière ; mais outre qu'on pourroit soupçonner que la réflexion se mêle dans cet exemple à la réfraction, et que la figure ou la pesanteur peuvent contribuer à la différence de ce mouvement , je n'ai garde d'entrer dans une matière purement physique : ce seroit entreprendre sur vous, monsieur, qui en êtes le maître, et faire irruption dans votre domaine. Je finis donc , après vous avoir déclaré que je consens , si vous le trouvez à propos , que l'accommodement entre les cartésiens et moi soit publié dans les académies ; et après vous avoir conjuré de recevoir au moins l'effet de ma prompte obéissance pour une preuve certaine et plus q#e démonstrative de la passion avec laquelle je suis, etc.

Si vous persistez toujours à n'accorder pas un mouvement successif à la lumière, et à soutenir (ju'il se fait en un instant, vous n'avez qu'à comparer ou la facilité , ou la fuite et résistance plus

ou moins grande, à mesure que les milieux changent ; car cette facilité ou cette résistance étant plus ou moins grande en différents milieux , et ce en une proportion diverse, à mesure que les milieux diffèrent davantage , elles pourront être considérées en une raison certaine, et par conséquent tomber dans le calcul, aussi bien que le temps du mouvement , et ma démonstration y servira toujours d'une même manière.

Je n'ai pas étendu mon opération tout entière : il n'a pas été nécessaire, puisque ma méthode est imprimée tout au long dans le sixième tome du Cours mathématique d'Hérigone , et que j'en ai assez dit pour être entendu. Si vous m'ordonnez de parcourir tous les détours de l'analyse en forme, je le ferai; et je n'aurai pas même beaucoup de peine à faire la démonstration par la composition , c'est-à-dire en parlant le langage d'Euclide.