REGLE DIX- SEPTIÈME

U faut parcoutir directement.la difficulté proposée, en fuisant abstraction de ce que quelques uns de ses termes sont connus et les autres inconnus , et en suivant, par la-marche véritable, la mutuelle dépendance

des unes et des autres. - 4 , ”

Lès quatre dernières règles ont appris comment les difficultés déterminées et parfaitemen/t- comprises doivent être abstraites de chaqife«ô|et, et réduites au point qu’on n’ait plus rien a.Sbeicher que quelques grandeurs que l’on connoitra', par*cequ’elles se rapportent de telle on telle 'façon à certaines données. Maintenant nous exposerons dans les cinq règles suivantes comment ces difficultés doivent être traitées, de façon que toutes les grandeurs inconnues, contenues dans u<ie proportion, soient subordonnées les«mes%yx autres , et que le rang que la premièrè occupe ,par 'rapporf à l’unité, -la seconde, l’occupe à l’egard de la puemière, la troisième à l’égard de la seconde , la quatrième à l’égard de la troisième, et ainsi de suite , si le nombre va plus loin, pour tpi’elles fassent une somme égale à une grandeur connue; et tout cela par une méthode tellement certaine, que nous pouvons affirmer sûrement qu’aucun autre procédé n’eût pu la réduire à des termes plus simples..

Mais quant à présent, il faut remarquer que.

dans toute question à résoudre par déduction, il est une voie simple et directe par laquelle .nous pouvons passer d’un terme à un autre avec la plus grande facilité , tandis que tous les autres chemins sont indirects et plus difficiles. Pour comprendre ceci, il suffît de se rappeler ce que nous avons dit à la règle xi% où nous avons exposé quel est l’enchaînement des propositions, qui, comparées isolément, chacune avec la plus voisine, nous laissent facilement apercevoir comment la première et la dernière sont en rapport, encore bien que nous ne puissions pas aussi facilement déduire les intermédiaires des extrêmes. Maintenant, si nous considérons ■ la dépendance de chacune entre elles, sans que l’ordre soit nulle part interrompu, pour conclure de là comment la dernière dépend de la première, nous parcourons directement la difficulté. Mais au contraire, si, de ce que nous sav onsque la première et la dernière sont jointes entre elles par une connexion quelconque, nous voulions en déduire les intermédiaires qui les unissent, ce seroit suivre la marche indirecte et contraire à l’ordre naturel. Mais comme ici nous ne nous occupons que de questions enveloppées, dans lesquelles il faut découvrir par une marche inverse, les extrêmes ' étant connus, certains termes intermédiaires, tout l’art en ce lieu doit con- * *

r Le texte : extern is. Lisez : extremis,

DE L ESPRIT

sister à pouvoir, en supposant connu ce qui ne l’est pas, nous munir d’un moyen facile et direct de recherche même dans les difficultés les plus embarrassées; et rien n’empêche que cela n’ait toujours lieu, puisque nous avons supposé, au commencement de cetle partie , que nous reconnoissons que les termes inconnus dans la question sont dans une mutuelle dépendance des termes connus, tellement qu’ils en sont parfaitement déterminés. Si donc nous réfléchissons aux choses qui se présentent d’abord aussitôt que nous reconnoissons Cette détermination, et que nous les mettions, quoique inconnues, au nombre des choses connues , pour en déduire, graduellement et par la vraie route, le connu même comme s’il étoit inconnu , nous remplirons tout ce que cette règle exige. Nous en remettons les exemples, ainsi que d’autres choses dont nous avons à parler, à la règle vingt-quatrième, parceque ce sera mieux là leur place.

bèglf. dix-huitième.’

Pour cela il n’est besoin qu ç de quatre opérations , l’addition, la- soustraction la multiplication et la division ; même tes deux dernières n’ont souvent pas besoin d l être faites, tant pour ne rien embrasser inutilement . que parcequ’ elles peuvent par la suite être plus facilement exécutées.

3 aa règles po u k la juirection

La multiplicité des règles vient souvent de l’iguorance des maîtres, et ce qui pourroit se réduire à un principe général unique est moins clair lorsqu’on le divise en plusieurs règles particulières. Aussi réduisons-nous sous quatre chefs seulement toutes les opérations dont nous avons besoin pour parcourir les questions, c’est-à-dire pour déduire les grandeurs les unes des autres. Comment ce nombre est-il suffisant? c’est cfc que l’explication de cètte règle démontrera.

En effet , si nous parvenons à la connoissance d’une grandeur parceque nous avons les parties dont elle se compose, cela a lieu par l’addition; si nous connoissons une partie parceque nous avons le" tout et l’excédant du tout sur la partie, cela se fait par soustraction. Il n’y a pas d’autre moyen pour déduire une grandeur quelconque d’autres grandeurs prises absolument, et dans lesquelles elle est contenue de quelque manière que ce soit. Si au contraire une grandeur est intermédiaire entre d’autres, dont elle .est entièrement distincte et qui ne la contiennent nullement, il faut l’y rapporter par quelque point; et ce rapport, si c’est directement qu’on le cherche, on le trouvera par la multiplication; si c’est indirectement, par la division.

Pour éclaircir ces deux choses, il faut savoir que l’unité, dont nous avons déjà parlé, est ici la base

iogie

1)E L ES PR 1 T

et le fondement de tous les rapports, et que dans une série de grandeurs en proportion continue elle occupe le premier degré; que les grandeurs données sont au second degré; que dans le troisième, le quatrième et les autres sont les grandeurs cherchées si la proportion est directe; si au contraire elle est indirecte, l’inconnu est dans le second degré et dans les degrés intermédiaires, et le connu dans le dernier. Car si l’on dit: comine, l’unité est à a ou à 5, nombre donné, ainsi b ou 7 , nombre donné, est à l’inconnu, lequel est a 6 ,ou 55 , alors a et b sont au second degré-, et ab qui eu est le produit est au troisième; si l'on ajoute, comme l’unité est à c ou g, ainsi a b ou 55 est à l’inconnu abc ou 5 1 5 , alors abc est au quatrième degré, et le produit de deux multiplications d’a b et de c qui sont au second degré , et ainsi du reste. De même, comme l’unité est àa= 5, ainsi à = 5

est à a * ou a5 ; et d’autre part , comme l’unité est à

a = 5,ainsifl’ou 25 estàa’ou i25;et enfin, comme l’unité est à a = 5, ainsi a’ = J25 est à a* qui égale fia5 , etc. En effet , la multiplication ne se fait pas autrement, qu’on multiplie une même grandeur par elle-même, ou qu’on la multiplie par une autre qui en diffère entièrement.

Maintenant si l’on dit : comme l’unité esta a = 5, diviseur donné, ainsi B ou r inconnu est à ab ou 35 , dividende donné, l’ordre est renversé. Aussi B

Digitiz

3a4 R KG LES POUh LA.DIRECTIOPf

inconnu ne peut se trouver qu’en divisant a b par a donné aussi ; de même si l’on dit, comme l’unité est à a ou 5 inconnu, ainsi a ou 5 inconnu est à A* ou 25 donné, ou encore comme l’unité est à A=5

inconnu, ainsi A* ou ü5 cherché, est à A 1 ou i 25 donné, et ainsi de suite. Nous embrassons toutes ces opérations sous le titre, de division , quoiqu’il faille noter que ces dernières espèces renferment plus de difficultés que les premières, parceque souvent la grandeur cherchée y est contenue, laquelle par conséquent renferme plus de rapports. Car ces exemples reviennent à dire, qu’il faut extraire la racine carrée de a’ ou a5, ou le cube de a s ou ia5, et ainsi de suite. Cette manière de s’exprimer, usitée parmi les calculateurs, équivaut, pour nous servir des expressions des géomètres, à cétte forme, qu’il faut chercher la moyenne proportionnelle, entre cette grandeur de laquelle on part,*et que nous nommons unité, et celle que nous désignons par a*, ou l'es deux moyennes proportionnelles entre l’unité et a 3 , et ainsi des autres.

Delà, on comprend facilement comment ces deux opérations suffisent pour faire trouver toutes les grandeurs, qui par un rapport quelconque doivent se déduire de certaines autres. Cela bien entendu, il nous reste à exposer comment ces opérations doivent être ramenées à l’examen de l’imagination, et comment il faut les figurer aux

de l’esprit. 3a5

yeux, pour ensuite en expliquer l’usage et la pratique.

S’il s’agit de faire une division, ou une soustraction, nous concevons le sujet sous la forme d’une ligne ou d’une grandeur étendue dans laquelle il ne faut considérer que la longueur. Car i

s’il faut ajouter la ligne a à la ligne

b, nous joindrons l’une à l’autre de cette

manière a b , et nous aurons

c . Si 'au contraire il faut extr.fi re

la plus petite de la plus grande, par exemple b de a, jious les appliquons l’une sur l’autre ainsi,

I — — a, et nous avons la partie de la plus *

grande que la plus petite ne peut couvrir, à savoir . Dans la multiplication, nous aurons.

aussi ces -grandes données sous la forme de lignes ; mais nous imaginons qu’elles forrîient un rectangle, -c«*r si nous multiplions a par 6, nous adoptons, nos ;*deux lignes à angle droit ab de cette

, et nous avons le rec-

maniéré a

tangle

3a6 RÈGLES P QU R LA DlRECTIOM

De plus , si nous voulons multiplier ab par c , il faut concevoir ab comme

ab , pour avoir

une ligne , savoir

pour abc.

Enfin dans la division où le diviseur est donné,

nous imaginons que la grandeur à diviser est un rectangle , dont un des côtés est diviseur et l’autre

quotient. Ainsi soit le rectangle a

diviser par a , on ôte la largeur a et

b , pour quotient, ou au contraire

b on ôtera la largeur

on a

si on divise pal-

et le quotient sera a

Mais dans les divisions où le diviseur n’est pas donné, mais seulement indiqué par un rapport quelconque, comme quand on dit qu’il faut extraire la racine carrée ou cubique, etc. , il faut alors concevoir le dividende et tous les autres termes , comme des lignes existant dans une série de proportions continues , dont la première est l’unité, et la dernière la grandeur à diviser; au reste, com-

ment il faudra trouver entre cette dernière et l’unité toutes les moyennes proportionnelles, c’est ce qui sera dit en son lieu. Il suffit d’avêrtir que nous supposons de telles opérations non encore achevées ici, puisqu’elles ne peuvent avoir lieu que par une direction inverse et réfléchie de l’imagination , et que nous ne traitons ici que des opérations qui se font directement.

Quant aux autres opérations , elles sont très faciles à faire , de la manière dont nous avons dit qu’il faut les concévoir. Il reste cependant à exposer comment l^s termes en doivent être préparés; car, encore bien qu’à la première apparition d’une difficulté nous soyons libres d’en concevoir les termes, comme des lignes ou des rectangles, sans jamais leur attribuer d’autres figures , ainsi qu’il a été dit règle xiv*, souvent cependant, dans le cours de l’opération, le rectangle une fois produit par la multiplication de deux lignes doit être bientôt conçu comme une ligne pour l’usage d’une autre opération, ou bien le même rectangle, ou la ligne produite par une addition ou une soustraction, doit être conçu comme un autre rectangle indiqué au-dessus de la ligne par laquelle il doit être divisé.

Il est donc nécessaire d’exposer ici comment tout rectangle peut se transformer en une ligne, et, d’autre part, la ligne ou même le rectangle en

3a8 RÈGLES POUR LA DJREPTION

un autre rectangle, dont le côté soit désigné; cela est très aisé pour les géomètres pour peu qu’ils remarquent que par lignes, toutes les fois que nous les comparons, comme ici , avec un rectangle, nous concevons toujours des rectangles dont un côté est la longueur que nous avons prise pour unité. Ainsi toqt se réduit à cette proposition-ci : Étant donné un rectangle , en construire un autre égal sur un côté donné.

Quoique cette opération soit familière aux moins avancés en géométrie, je l’exposerai cependant pour ne pa» paroître avpir rien oublié.

RÈGLE UIX-ltEUVlÈME.

C’est par cette méthode qu’il faut chercher autant de grandeurs exprimées de deux manières différentes que nous supposons connus de térlkes inconnus , pour parcourir directement la difficulté ; car, par ce moyen , nous aurons autant de comparaisons entre deux choses égales.