GE
et DE
fy* — \ay* 4- 5a‘*
y» f+- 1 ax'
— 4 fla ®
-4- aa6*
a ab *x
-f. aa 3 æ
y* — aay
Faisons maintenant NF = c , FE ~= d , «eux * quantités qu’il faudra trouver de ce que ^équation qbe donne le triangle rectangle FDË, dont les? côtés soi} t déterminés, doit être égalée à celle-ci x' — 2 ex-+-e% faisant seulement la différence = x ,
fi • . % » •»
et en même temps e=x° , FD=‘a — c — x, ou biqn
V x' + a s -t- c‘ — 2 ax -f- a ex — 2 ac. •
Étant donnés les points ca — 5, ba^*n ( 2 ), et ar -- 5, imaginons que soit décrite la courbe ae par le fil af fixé au foyer c, de là passant à c et à b , pour revenir ensuite à « et de là s’étendre à l’infini vers /t, de manière qu’elle devienne plfls lon-
( 1) Le ternie nue esi ^îlilié dans le texte.
(a) Il faut ici un chiffre, et non une lettre.
- , le cercle dé-
guc à mesure que l’angle erc s’ouvre davantage, on aura toujours
er = + 77
, eb » + 5 y
ec = 5 — 5y da = 2 / -f- 5y
de — V— 49 / — 20 / + 4 / + 2 0 y
. „ ~ . „ aqy -h 10 ,
et ensuite si Ion tait ta = — , le cercle dé-
crit du centre f avec le rayon fe sera tangent à la
Qy I j
courbe , ef le produit de fc = — — par
er = 3 + 7 y , sera au produit de fr — —
par ec = 5 — 5y, comme 3 est à 7 . Si donc la courbe ea contient un corps solide transparent dans lequel la réfraction se fasse ^ : 3 7 , tous les rayons venant du point r se dirigeront vers c après s’être' réfractés.
Soit maintenant ac = a, ar = a , ab == b be — b+y, nous aurons er =
et ec— y -4- a , ai ~ — -f. y ,
de = * / 4^+ W .4* , , ,,
l^b'y -f- zba' -f- a y
* ~ 4 by + a‘
et cf X er : fr x. ce : ia — zb-.a-t-zb.
Soit maintenant at—a , ab — b ,jic = c,be = by,
5ay — cy -f- [\by -f- a' -4- ac er = — : >
* ce —
ay — 5 cy -4- [\by -f- ac -|- c’
du =
fa —
4ay» — 4ey* 4 - 83y* 4 - 3a*y 4 - 3c- y — zacy+jaby — jeiy a» 4- aoc-J-c*
4a*M-4a4»— 44»£-t-46«»4-a»y-4-8afry+i6t*y-f-2acy4-®y— ^ 86cy
3a* -f- 3c* — aac 4- $ab — ■ 4 ic 4- 8ay 4- 1 66y — 8cy
Étant donnés les trois points a, b, c , on cherche la ligne au moyen de laquelle tous les rayons qui , dans le verre, paroissent venir du point a, se disposent, au sortir de la surface du verre, dont le sommet est en c , comme s’ils venoient du point 6, ou comme s’ils tendoient vers b; ou encore, telle que les rayons qui dans l’air paroissent venir du
point a 'se disposent dans le verre comme s’ils ve-
noient du point b.
Supposons que le point b tombe entre a et c , et que le centre f du cercle tangent à la courbe tombe entre a et b ; si l’on fait ae = a — y, be = cy -f- b , il y aura la proportion
fa : fl : :’y a : ccy + bc , *
c’est-à-dire, l’inclinaison du rayon ae dans le verre
à l’inclinaison du rayon be dans l’air comme x à c ; et la meme chose auroit lieu lorsque le rayon passe de l’air dans le verre, si l’on faisoit 1 plus grand que b. Mais cette supposition est erronée , et la ligne (que nous considérons) sert seulement pour la réflexion inégale, et non pour la réflexion, le point f tombant entre a et b.
Supposons que le point a tombe entre b et c , ce sera encore la même espèce de courbe , car les points a et b sont réciproques, et toujours le point/* tombera entre a et b, lorsque l’on fera ae = a— y, et be = b -f- cy. Mais que l’on fasse ae =a-f-y , et be = b — cy, le point f tombera entre b et c. Mais il ne paroît pas que cela puisse se faire , et par conséquent cette ligne ne sert point aux réfractions, mais seulement aux reflexions ; et il faut revenir à l’autre déjà trouvée , qui a trois foyers. Et même le point f peut alors tomber au-delà du point a vers g, dans lequel cas assurément la ligne ainsi décrite fait que les rayon qui dans le verre paroissent venir du point a, paraissent, dans l’air, venir du point B, après la réfraction faite dans la su i face dont le sommet est en cj ou au contraire, que les rayons qui , dans l’air , viennent du point b , se réfractent dans la surface concave du verre ayant le sommet en c, de manière qu’ils paraissent venir du point a.
Supposons maintenant ae=a — y , et be=b cy,
le point /'tombe entre b et c, et alors assurément tous les rayons qui viennent de a prennent des directions divergentes dans le verre, comme s’ils venoient de b, ou au contraire les rayons qui dans le verre paroissent venir de b prennent des directions convergentes dans l’air comme s’ils venoient de a.
ac — a , ac ~ a — y bc = b , be — b -f- cy de = ay' — y’ -f- 2 ay -f- 2 ay
de—.
y 4 4 bC l
— 4 ac'
-t-4A*| — 4 atc»i — 8aé»
-b \bc
+4a»c» — 8aic, -f-8 a'bc
— 44*e*l 1 — 8 ab'c
4a* — Sab -f-
Cherchons maintenant le point f, centre du cercle tangent à la courbe au point e, et faisôns fc = f
,, y ' — cy' — 2 bey — nay -f- zaf — 2 bf
Ajoutant le carré de fd au carré de ed , nous aurons
4 nb
y» +4 af
y — 8 abcf
-e 4 bff
— 8 ai»
+ « 6‘zf
-f- 8a* bc
-4 bf
- — 8ab*c
+ 8a bf
— 8 akf'
4«* — 8 ab ■+. 4 6*
D’où , par le théorème général pour trouver les lignes tangentes , je tire
— û6 y + bb
— abc *
■+■ bfc‘
= — a» b -f. «Ac/ 1, -f- a6» — b*cf — a*bc -f • a* f -f- ab'c — abf
et par conséquent la valeur de la droite cf = f sera
— aby + 4*y -f- a*c* y — a6r»y -f- a*6 — a*b + a*bc — ab'c ' — ay — bc'y -f- ae>y f 4y -f- a' — a 6 -f. abc — b c
fa=z — a’y -j- 2aby — b'y -{-a 3 — 2a’b -f- a'b' , à diviser comme ci-dessus.
fb — a'c'y — aabc’y -j- b'c’y -f- a'bc — 2 ab'c -f- b\ à diviser de la même manière ; ou bien , en divisant l’un et l’autre par a’ — 2ab-\-b', on a fa — — y -[-a, et fb — c’y -f- bc\ multipliant fa par be on a — O ' 1 + ac y — by -j- ab ; et multipliant fb par ae on a — c’y ’ -f- ac'y — bcy -f- abc.
Donc fb X ac : fa x be : : c : 1 , c’est - à - dire ,
: : fk : fh.
Supposons maintenant que le point c tombe entre a et b, et le point d entre a et c, il pourra se faire queae soit = a-f-y, ou qu’il soit = a — y, et que a" soit = a — y; dans ce second cas, la courbe est une de celles que nous cherchons. Mais si l’on fait ae = a-f-y, le point f tombera au-delà du point a, et la courbe , inutile pour notre but, ne pourra servir qu’aux réflexions inégales.
Dans la seconde figure, soit g le sommet de la courbe, de manière que bg soit plus grand que bd ; en supposant ne = a H- y , et be = b -j- cy ,
nous aurons dg =
c'y'A-abcy- — y — 2 ay
; faisons,
au — 2 b
pour abréger, le carré de cette quantité, = x', et nous aurons
de
c’ay' — by' -f- aabcy — aaby
soit h le centre du cercle tangent à la courbe au
ac'y — by- f- abc — ab
point e, hg sera = .
r 0 c'y — y -\-bc— a
, Maintenant, dans la figure première, je cherche
deux autres foyers de la courbe trouvée, que je
suppose être en g et en A, et je prends
ge =g -i- cy — dy,
ke — A + y -\-djr, gd — g — x , hd = h — x;
d’où je tire la valeur de x ou de de, et j'ai
idy* -f- y* -f- icdy* — c*y % 2 gdy — 2 gey -f* 2 hdy ihy de = ig-ih 1 ■)
qui doit être identique à la valeur précédente de
, C Y — y‘+2ay-\-abcy
de = (d=c — n, cest-
à-dire, à la différence entre les termes du rapport); j’égale donc les deux diviseurs , c’est - à - dire g = a -f- b -h h ; ensuite les termes affectés de y ' , et ensuite les termes affectés de y ; d’où je tire c % — 1
d = — — — ’ si c est plus grand que l’unité , et c — 1
ac' - 4 “ abc' - 4 — 2flc - 4 — 2^c - 4 - a
ensuite s = ou bien
. bc' - 4 - 2ac -f- 26c -f- 2a -f- b
la droite cg, et h = ,
ou bien la droite ch , et la droite bc' -4- 2 ac -4- 2 bc -4- 2a -4- b
he =
ge =
ac’ -f- 2 bc' 2ac -4- 26c a
• cy, et la droite
N. B. cg =
ac a-\- zbc , 2a -4- bc -h b
- — ’ ch — ,
et alors gh devient = a -\-b, si a et b sont égaux; soit
ac — a
g — ,ac = a,ae=a -\-jr,bc = b, be—b-{-cy,
de = c 'y'~y' + 2 °y + 2bc y ->
de-
v< — 4ac»
y 3 — 4a» y* (i) \ab
-4 bd
— - S abc
-f-4 abc' 4 a ’c*
-f- 8ab»c
-f- 8a* bc
» 4 a* ’rf- 8 ab -f 46*
Et soit f dans la droite acb , entre a et c, le centre du cercle tangent à la courbe au point c ; on a
abc'y + aby + b’y + a»c*y — fl*6 — ai* -f- ab’c-f- a‘bc fc - — a c'y -f~ b c'y — ay — by -i- a* + ab + abc + b‘c ^
d’où il est démontré clairement que tous les rayons venant du point b tendent vers a après s’être réfractés dans la courbe ec , ou au contraire, lorsque #
(l) Ici manquent les signes.
la courbe est convexe comme lorsqu’elle est concave, pourvu que la réfraction vers a soit à la réfraction vers b comme l’unité est à c.
Faisons maintenant ,
= a+yM = b+cy,cd = r ~ CV+2ay + 2l,Cy '
•ia — 2 b
ae
de
y* —4 te'
Y*(0 8a*6cl y
-t-4 oc*
« — \abc*
— 8ab*c\
4«* — Sa6 -f- 46*
Ici nécessairement le point d tombe entre f et c ac'y — by - +- abc — ab
ou b , et j’ai fc =
bf =
y — c'y a — bc ac' — bc'y -f- abc — b'c y — c'y -i- a — bc
af=
a y by-fca' — ab
, deux quantités qui sont
y — C'y a — bc entre elles comme c'd -f- bc : y -J- a.
Maintenant, pour énumérer toutes les espèces de courbes qui changent les réfractions d’un point à un autre, je suppose que a soit toujours plus grand que b, et c plus grand que d, et je fais E = b -f- ' cy , ou b — * cy. Ensuite AE = a -f- cy , et BE == b + 3 dy ou b — 4 d/. Et encore AE = a-\-dy et BE = b ou b — C cy. Enfin E = b -\- n dj ou
b — *dy. Ce sont donc huit chefs, pour chacun des- • quels il faut voir si le sommet de la courbe est en C
(0 Ici manque le signe.
ou en B entre A et C, et encore si la concavité de la courbe regarde vers A , ou vers le côté opposé.
C entre A et B. Pour le premier chef D tombe entre A et C , et l’on a
__ c'y' — d'y' -t- 2 bcy -4- zady ,
•dont le carré soit nommé x et l’on aura
x' -t-ac'y’ -}- bd'y' -+- 2 abcy -f- 2 abdy
