ANALYSE POUR LES REFRACTIONS

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Soit le- cercle ADBI ', dont *Je diamètre- ADB

sépare deux milieux de diverse nature', le plus rare desquels soit du côté ACB, et le plus dense ¥ du côté À1B. Que le cèntre du cercle soit D, où tombe le rayon CD du point donné C; il est

1 Figure lA, * %

question dé chercher le rayon diaclastique

c’est-à-dire de trouver ler point I , où tend le r;

LETTRES.. {\-jb

rayon

rompu. ^ .

Pour le faire soient menées sur le diamètre, les deux lignes droites perpendiculaires CF, III. Et.' puisque le point C est donné, avec le diamètre AB, et le centre D, le point F est aussi donné , et la ligne droite FD. * .

De plus, que la raison des milieux, c’est-à-dire que la raison de la résistance du milieu le plus dense soit à la résistance, du milieu le plus rare .comme la ligne droite donnée DF à une autre mise *

hots le cercle, à savoir M, laquelle ser$ plus pe~

tite que la ligne droite DF, puisque, panune raison

plus naturelle, la résistance du milieu le plus rare

est moindre que celle du plus dense.

Nous avons donc à mesurer les mouvements qui

se font par /les lignes droites CD et DI, par.le

moyen ‘des deux lignes droites M et DF, c’esb-à- * . .D ,*.*■ dire ique le mouvement qui se fait par les 'deux

lignes droites CD et III est représenté par la »

somme des deux rectangles, dont l’un est contenu

sous les lignes CD et M, et l’autre scrus les lignes

DI et DF. >' ' 1 •> ^ - •

La question se réduit donc à cejxunt, de couper tellement le diamètre AB au point H, qu’ayant* mené de ce point-là la perpendiculaire III, et ayaiit joint du centre I) au point-! la ligne DI , il arrive

4yS

(jue la somme tics deux rectangles sous Cl) et M et sous 1)1 et DF .contienne le moindre espace.

Et , afin d’en venir a bout par notre méthode, qui a déjà eu cours parmi les géomètres, ''et qu’Hérigone a rapportée dans le sixième tome de son Cours de mathématique , il y a près de Vngt ails :

Que le rayon CD qui est donné soit nommé N , le rayon DI sera aussi 3N ; que la droite DF soit * nommée B, et soit supposé qùë la ligné droite DU soit A; il faut donc que NlVL-f NB soit la moindre quantité. •'

. Concevons que la ligne droite DO prise à discrétion est égale à Fineonnue E, puis joignons les .deux lignes droites CO, OI. Le carré de la ligne droite CO , parlant en termes analytiques , sera N a + E 2-2 BE; et le carré de la droite OI sera N*2 -j- E 2 -J- 2 AE, par conséquent le rectangle con- .

• tenu sous les deux lignes CO etM sera, sèlou ces . mêmes termes analytiques, la racine carrée de M 2

• N 2 j M 2 E 2 — 2 M 2 BE, et le rectangle contenu sous les deux lignes OI et B sera la racine carrée de B 2 N 2 + B a E 2 + a B 2 AE. Or, -ces deux

• rectangles doivent, selon les. préceptes de. l’art, être égaux aux. deux rectangles MN .et BN.

• Après cela il faut carrer le tout, afin d’en ôter l’asymétrie, et apiès avoir retranché les ternies communs, et avoir mis d’un côté’ le terme asy-»

• » , LE.TTHES. 4 7"

métrique, on carrera derechef le reste, après

quoi, ayant ôté les termes communs, et divisé lés’ t autres par E, et ayant enfin retranché les termes . homogènes qui sont affectés de là lettre E; selon les préceptes de notre méthode, qui est connue depuis. long-temps de tout le monde, puis ayant \ fait nu parubniisme, il arrive enfin une équation^

* très simple entre A et M; c’est-à-dire que depuis le premier jusqu’au dernier, et ayant ôté tous leà obstacles des asymétries’; il se trouve enfin que la v ligne droite DH dans la figure est égale à la ligne . droite M. * ■ ■ ' \ ,

D’où l’on voit que le point diaclastique se trouve de la sorte. Si après avoir mené les deux lignes droites DG et GF, l’on fait que comme la résis-, tance du milieu dense est à la résistance du milieu

rare,- ou bien comme B est, à M, ainsi la droite FD soit à la droite DH, et que du point H l’on élève sur le diamètre la perpendiculaire HI, qui rencontre le cercle au point I, ce point^era celui où la réfraction portera le rayon. Et partant lerayon passant d’un milieu rare dans Un dense, se rompra en approchant de la perpendiculaire;1 Ce qui s’ac- ©Ordeentièremcnt et généralement avec lethéoreme de iM. Descartes, dont notre analyse* a fait voir la démonstration très exacte tirée de notre principe.

M. Descartes, très savant géomètre, a proposé une raison des réfractions, laquelle, à ce que l’on

4^8 *• LF.TTRÇS: * ’

dit, est conforme à l'expérience.;, pais pour en faire « 1.1 démonstration, il a demandé qu’on lui accordât,

» et on a été obligé de le faire, que le mouvement . de la lumière se faisoit plus facilement et plus 9 vite par un milieu dense que par un rare; ce qui * toutefois semble contraire à la lumière naturelle. ^Or, cela nous ayant porté à tâcher de déduire la . ’ * vraie raison des réfractions d’un axiome tout cou- * traire , savoir est que le mouvement de la lumière * r se fait plus facilement et plus vite par un milieu rare que par un dense, il est arrivé néanmoins

* que je suis tombé dans la même proportion que ‘ M. Descartes. Cependant je laisse aux plus subtil set

sévères géomètres à voir si l’on peut par une voie

• '" tout opposée rencontrer .la même vérité sans

tomber dans le paralogisme; car pour moi, pour parler sans feintise, j’aime beaucoup mieux connoître certainement la vérité que de m’arrêter plus long-temps à des débats et contentions su- • perdues et inutiles*. , .

ija démonstration que j’avance est appuyée sur f ce seul postulat au fondement , Ravoir est , N aluram per via » breviores operari , c’est-à-dire que la nature agit par les moyens qu par les voies les ^ plus faciles * étalés plus promptes; car c’est ainsi que j’estime que l’ou doit entendre cet axiome , et non pas comme font plusieurs , que la nature agit toujours par les lignés lés plus courtes.

LETTRES. '* [ÿjQ

Car tout de même que quand Galilée examine le mouvement naturel des corps pesants, il ne le mesure pas tant par l’espace que parle temps; de même je ne considère point ici l’espace plus petit ou la ligne la plus courte, mais ce qui se peut parcourir plus promptement, plus commodément, et en moins de temps.

Cela posé , supposons deux milieux de diverse nature dans cette première figure’, et que le. diamètre ANB du cercle AIIBMV sépare ces deux milieux, dont l’un , qui est du côté de M, soit le plus rare , et l’autre ,;qui est du côté de TI, soit le plus dense; et du point M vers TI soient menées les lignes droites MN , NH , MR , RII , qui se rompent dans le diamètre aux points K et R , puisque la vitesse du mobile par le milieu MN , qui eSt supposé rate, est plus grande, selon notre axiome ou postulat, que celle du mèfne mobile par le ruilieuNII, et que les mouvements sont supposés uniformes dans chacun de ces mibeux, la raison du temps du mouvement par le milieu MN au temps du mouvement par le milieu NH , est composée^ comme tout le monde sait , de la raison de l’espace MN à l’espacé NII , et réciproquement de la raison de la vitesse par le nfilieu NI! à la vitesse, par le -milieu MN. ,, p '■*' - •

Si donc l’on fait que c.ornînèt la vitesSe par le

Fignre i5.

Diç

4^0 • lETTRES.

milieu MN esta la vitesse par le milieu &H , niysi la ligne droite MN est à NI ; le temps par le milieu MN au temps par le milieu NII sera comme IN *à NÎI.

De même l’on démontrera que si l’on fait que comme la vitesse par le milieu plus rare est à la

^■vitesse par lé milieu plu§ dense , ainsi la ligne MR est à RP » temps du mouvement par le milieu

MR sera au temps du mouvenjent par le milieu RH comme la ligne PR esjt à la ligne RH.

D’où il suit que. le temps du mouvement par les deux lignés MN, NII , est an temps du mouvement par les deux autres MR, RH , comme l’agrégé des deux lignes IN, NH, est à l’agrégé des deux autres PR, RH.

Quand donc la nature dirige un rayon de lumière du point? M vers le point H, il faut chercher

un point quel qu’il* soit , comme N,j>ar lequel la .lumière puisse parvenir par inflexion ou réfraction du point M au point H en moins de temps. Car H est- trè* probable, qufe la nature, qui avance toujo.urs le plus quelle peut ses opérations, tendra d’elle-méme vers ce point-là. Si donc l’aggrégé .ou la somme des deux lignes droites IN , NH, qui est la mesure du temps du mouvement par la ligne rompue MNII, se trouve être la moindre quantité, on attrapé que l’on cherche.

Or cela suit du théorème proposé par M. Des-

. LETTRES. 48t

carte® , .comme je vais vous faire voir par ma bonne géométrie.

.Car M. Descartes dit que si du point M on mene le rayon MN , et que du même point M on abaisse la perpendiculaire MD , et si avec cela l’on fait que comme la plus grande vitesse est à la moindre , ainsi la ligne DN est à NS, et. que du point S soit élevée la perpendiculaire SH , et mené le rayon NH, pour lors le rayon de lumière , qui vient du milieu rare M au point N, se rompt à la rencontre r , du milieu dense, et va au point H, en approchant «le la perpendiculaire. Y ....

% Or notre géométrie ne répugne en façon quelconque à ce théorème, comme l’on verra par la proposition suivante , qui est purement géométrique.

Soit le cercle ÀHBM dont le diamètre soit ANB, le -centre N, dans là circonférence duquel ayant pris un point à discrétion comme M, soit mené le fayon MN , et sôit abaiSsée sur le diamètre la perpendiculaire MD ; que l’on sache outre cela la proportion qui est entre le plus ou moins defacilité que les différents milieux donnent au passage de la lumière, 'et qu’ainsi Ton fasse DN à NS. Que DN soit plus grande que NS, et que du point S soit élëvée la perpendiculaire SH qui rencontre la circonfâtertee du cerclé ad point H , duquel soit mené au centre le rayon HN ; puis soit fait comme DN est à NS , ainsi le rayon MN soit à la ligne droiet

NI. Je dis que la somme des deux lignes, droites IN, NH , qui est la mesure du temps par les deux lignes MN , NH, comme il a été prouvé ci-dessus, est la moindre de toutes; cest-à-dire que si , par exemple, l’ou prend un point tel que l’on voudra, comme R , du côté du semi-diamètre NB , et si l’on joint les deux lignes droites MR, RH , et que l’on fasse que comme DN est à NS , ainsi MR soit à RP , pour lors la somme des deux droites PR et RII , qui est aussi la mesure du temps par les deux lignes MR , RII , comme il a été aussi prouvé cidessus , sera plus grande que la somme des deux autres droites IN et NH.

Or , pour le prouver , soit fait comme le rayon MIS est à DN , qu’ainsi RN soit à NO; et comme DN est à NS , qu’ainsi NO soit à NV. Il paroît par la construction que la ligne NO est plus petite que la ligne NR , d’autant que la ligne DN est plus petite que le rayon MN ; il est évident aussi que la ligne NV est plus petite que la ligne NO , puisque la ligne NS est moindre que la ligne ND.

Cela étant posé , le carré de la ligne MR est égal au carré du rayon MN, plus au ‘carré de la ligne NR , et à deux fois le rectangle sous DN et NR par la i a du a. Mais puisque par la construction, comme MN est à DN , ainsi NR est à NO , il s’ensuit que le rectangle fait de MN , NO , est égal au rectangle de DN , NR, par la 16 du 6. Et

partant lè rectangle de MN , NO, pris deux fois , est égal à deux fois le rectangle de DN, NR.

Par conséquent le carré de la ligne MR est égal aux deux carrés MN et NR , et a deux fois le rectangle sous MN , NO. Or, le carré de la ligne NR est plus grand que le carré de la ligne NO, puisque NR est plus grand que NO. Partant le carré de la ligne MR est plus grand que les deux carrés MN , NO avec deux fois le rectangle sous MN, NO. Or est-il que ces deux carrés MN, NO avec deux fois le rectangle sous MN , NO, sont égaux au carré qui est fait des deux lignes MN, NO comme d’une seule ligne droite, par la 4 du 2. Donc la ligne .droite MR est plus grande que la somme des tleux lignes droites MN et NO.

Mais puisque par la construction comme DN est à NS , ainsi MN est à NI , et ainsi aussi NO est à NV, partant comme DN eàt à NS , ainsi sera la somme des deux lignes MN, NO, à la somme des ‘ deux lignes IN , NV , par la 1 2 du 5. Or, comme DN est à NS , de même aussi MR est à RP ; par conséquent comme la somme des deux lignes MN, NO esta la somme des deux lignes IN, NV, ainsi la ligne MR est à RP. Or est-il que la ligne MR est plus grande que la somme des deux lignes MN , NO , par conséquent la ligne PR est aussi plus grande que la somme des deux lignes IN , NV, par la i4 du 5. . .. v', ' f*, ' t

' ‘ *’ Sis

Tl ne reste plus qti a prouver que la ligne RH est plus grande ou du moins n’est pas plus petite que la ligne IIV, après quoi il sera constant que la somme des deux lignes droites PR , RH est plus

* grande que la somme des deux lignes droites IN,

♦ Dans le triangle NITR , le carré RII est égal aux deux carrés TIN et NR , moins deux fois le rectangle sous SN, NR par la i3 du a. Mais puisque par la construction , comme le rftyon'MN, ôti sbn égal NH, est à DN , ainsi NR est à NO ; et que comme DN e$t à NS, ainsi NO est à NV ; il s’en-

suit qu’en raison égale comme -HN est à NS, ainsi

• NRest à NV , par la 22 du 5, où l’qn voit que NR est plus grande que NV. Et partant*!^ rectangle des deux lignes 1IN et NV est égal au rectangle

..de SN et NR, par la 16 du 6. Par conséquent le rectangle sous RN et NV pris deux fois est égal à deux fois le rectangle sous SN et NR. C’est pourquoi le . carré de II R est égal aux deux carrés HN , NR , moins deux fois le rectangle sous HN . NV. Mais le carré NR a été prouvé plus grand que le carré NV, partant le carré HR est plus j^rand que les deux carrés HN , NV , moins detix ' foi? le rectangle sous HN , NV. Mais les deux carrés HN, NV, moins deux fois le rectangle sous ’ •‘■IIN NV y sont égaux au carré de la droite HV, . par la 7 du 2. Paÿ,, conséquent le carré de HR

est plus grand que le carré de HV , et partant la ligne TIR est plus grande que la ligne HV. Ce qui nous restait à prouver.

Que si l’on prend lé point R ' du côté du semidiamètre AN , quoique les deux lignes droites MR et RH se rencontrent directement , et ne constituent qu’une seule ligne droite , comme dans la w seconde figuré, la même chose arrivera (car la démonstration est générale et pour toute sorte de * cas), c’est-à-dire que la somme des deux lignes droites PR, RTI sera plus grande que la somme des -, deux lignes droites IN, N H. Et pour le prouver, soit (ait comme ci-devaut, comme le rayon MN est à la ligne UN , ainsi RN soit à NO, et comme DN est à NS , ainsi NO soit à NV. Il est évident que la ligne NR est plus grande que NO , et que la ligue NO est plus grande que VN. De plus, que le carré MR est égal aux deux carrés MN , MR, moins deux fois le rectangle sous DN , NR, par 1 5 de 29 , ou bien , comme i 1 a été prouvé ci-dessus , moins deux fois le rectangle MN , NO.

Mais puisque le carré NR est plus grand que le • carré NO, il s’ensuit que le carré MR sera plus grand que les deux carrés MN, NO, moins deux fois le rectangle fait sous MN, NO. Or est-il que les deux carrés MN, NO, moins deux fois le rectangle fait sous MN , NO, sont égaux au carré de la

* Fi^iA t6«

LJiTT-RES.

ligue MO par la 7 du a. Par conséquent le carré de la ligne MR est plus grand que le carré de la ligne MO , et partant aussi la ligne MR est plus grande que la ligne MO.

Mais puisque par la construction , comme DN est à NS ‘ ainsi MN est à NI , et ainsi aussi NO est à NV; donc comme MN est à IN , ainsi NO est à NV; et en permutant , comme MN esta NO, ainsi IN est à NV. Et en divisant , comme MO est à ON, ainsi IV est à VN; et en permutant, comme MO est à IV, ainsi ON est à NN , ou DV à NS, ou MR à RP.

Or l’on a prouvé auparavant que MR étoit plus grande que MO, donc PR est aussi plus grande que IV ; partant il ne reste plus qu a prouver, afin que la preuve soit entière , sinon que la droite RH est plus grande, ou du moins 11’est pas plus petite que la somme des deux lignes droites HN , NY, ce qui n’est pas difficile.

Car le carré RH est égal aux deux carrés de NH et NR joints à deux fois le rectangle sous SN et NR, ou bien , par ce qui a été prouvé ci-devant , joints à deux fois le rectangle sous HN et NV; mais le carré RN est plus grand que le carré NV, donc le carré HR est plus grand que les deux carrés HN et NV, avec deux fois le rectangle sous HN et NV ; mais le carré de NN, NV , comme une seule ligne droite, est égal aux deux car^çs de

HN , NV, avec deux fois le rectangle sous HN, NV, par la 4 du 2 : donc le carré de IIRest plus grand que le carré de HN, NV, comme une seule ligne; et partant la ligne droite HR est plus grande que la somme des deux lignes droites IIN , NV, ce qui restoità prouver. D’où il suit, par ce qui a été montré ci-devant , que la ligne droite HR est plus grande que la somme des deux lignes droites HN , NV.

Partant il est évident que les deux lignes droites PR et RH, ou la seule ligne droite PRH (quand il arrive que ce ne soit qu’une seule ligne droite), sont toujours plus grandes que les deux lignes droites IN et NH; ce qu’il falloit démontrer.

LETTRE DE M. CLERSEUER