LVII. — lGi

composé de deux nombres, et, si les quarrés sont premiers entre eux, les nombres compositeurs le sont aussi. Mais si les quarrés ont entre eux un commun diviseur, le nombre en question sera aussi divisible ])ar le même commun diviseur, et les nombres compositeurs seroni divisibles par le coté de ce commun diviseur.

Par exemple : 4^ (^"st composé de 5 et de f), de 3 et de ij, de i et d(> Vj- Partant, il sera trois fois la difTérence de deux quarrés : savoir de /\ et de /(9, qui sont premiers entre eux, comme aussi sont les compositeurs correspondants 5 et 9; plus, de 3G et de 81, qui ont <) pour commun diviseur, et les compositeurs correspondants, 3 et i j, ont le coté de 9, savoir 3, pour commun diviseur; enfin 4 * o^l la différence de 484 et 529, qui ont i et 45 pour compositeurs correspondants.

Il est fort aisé de trouver les quarrés satisfaisants, quand on a le nombre et ses parties, et d'avoir les parties lorsqu'on a les quarrés.

Cette proposition se trouve quasi tout par tout. On en pourrait quasi autant dire des paircments pairs, excepté 4. avec quelque petite modification.

(]ela posé, qu'un nombre me soit donné, par exemple 2027GJ1 281, on demande s'il est premier ou composé, et de quels nombres il est composé, au cas qu'il le soit.

J'extrais la racine, pour connoitre le moindre des dits nombres, e( trouve 45029 avec 4o44o de reste, lequel j'ote du double plus i de la racine trouvée, savoir de 90009 : reste 49(^19. lequel n'est pas quarré. parce que aucun quarré ne finit par 19, et partant je lui ajoute 900G1, savoir 2 plus que 900J9 qui est le double plus i de la racine 45 029. Et parce que la somme 139680 n'est pas encore quarrée, comme on b> voit par les finales, je lui ajoute encore le même nombre augmenté de 2, savoir 90063, et je continue ainsi d'ajouter tant que la somme soit un quarré, comme on peut voir ici ('). Ce qui n'arrive qu'à io4o4oo, qui est quarré de 1020, et partant le nombre donné est composé; car il est aisé, par l'inspection des dites sommes, de voir qu'il n'y u au-

(') Fermât avait dû elTectuer en marge les calculs indiqués, qui n'ont pas été reproduits snr la copie.

Fermât. — M. 33

cune qui soit nombre quarré que la dernière, car les quarrés ne peuvent souffrir les finales qu'elles ont, si ce n'est 499944 qui néanmoins n'est pas quarré.

Pour savoir maintenant les nombres qui composent 20276J1281, j'ote le nombre que j'ai premièrement ajouté, savoir 90 oGi , du dernier ajouté 90081. Il reste 20, à la moitié duquel plus 2, savoir à 12, j'ajoute la racine prcmi(\remenl trouvée 45029. La somme est 4jo4i> auquel nombre ajoutant et otant 1020, racine de la dernière somme io4o4o<>, on aura 4Go(ji et 4^1021, qui sont les deux nombres plus prochains qui composent 2 027()5i 281. Ce sont aussi les seuls, pourcc que l'un et l'autre sont premiers.

Si l'on alloit par la voie ordinaire, pour trouver la composition d'un tel nombre, au lieu de onze additions, il eut fallu diviser par tous les nombres depuis 7 jusqu'à 41021.

Plusieurs abrégés se peuvent trouver, comme lorsqu'on ne fait qu'une additiou au lieu de dix, aux endroits où les sommes ont leurs finales quarrées, quand les compositeurs sont beaucoup éloignés l'un de l'autre.