Je vous propose

I" Trouver un triangle rectangle duquel le plus grand côté soit un quarré et la somme des deux ou trois autres soit quarrée.

(') f^oir pour CCS questions : i° l'Observation XLIV sur Diophanlc; 2" l'Observation XXIII; 3° les LeUres LIX, 2, cl LX, 2.

■2° T/oiaer qualre triangles de même aire.

.'>" Un triangle duquel l'aire, ajoutée au rjuarrc de la somme des deux petits côtés, fasse un quarré.

FERMAT A MERSENNE (')

< AOUT l()i3 >

.Mon RÉVKnnxi) Pkkk,

1. Vous m'écrivez que la proposition do mes questions impossil)les(-) a fàclié et refroidi MM. de Saint-Martin et Frenicio, et que (;'a été le sujet qui m'a rompu feur communication. J'ai pourtant it leur représenter que tout ce qui paroft impossible d'abord ne l'est pas pourtant, et qu'il y a beaucoup de proldi'mes desquels, comme a dit autrefois Arcbimède, où/. îOaéOooa tw TtpcÔTw çav£\rra /povoj rr]v

Vous vous étonnerez bien davantage si je vous dis de plus que toutes' les questions que je leur ai proposées sont possibte^s et que j'ai découvert leur solution. Ce n'est pas qu'elles ne soient très malaisées et que, pour les soudrc, il ne faille faire quelque démarche au delà du Diophante et des Anciens et Modernes. Mais, comme toutes les inventions n'arrivent pas et ne se produisent pas en même temps, celle-ci est du nombre de celles dont la méthode n'est pas dans les Livres et que je puis attribuer au bonheur de ma recherche.

2. Et, afin que je ne vous tienne pas plus longuement en suspens,

(') Lettre inédite, dont la date approximative est indiquée par celle de la suivante.

(2) Les questions de la Lettre LVIII, 3.

(3) Préaniijule du Traité De tincis spiralilnis. Fermât a cité de mémoire; dans le texte d'Arcliimède, au lieu de t'λ npoiioi. on lit h àp/î.

MX. - VOUT lGi;î. 2CI

j'ai résolu toutes los (|uestions que j'ai proposées à ces Messieurs, doiil je ne vouseotcrai maintenant qu'un exemple, pour leiiroler seulemenl la mauvaise impression qu'ils avoient conçue contre moi, comme leur ayant proposé un amusement et un travail inutile, h' choisirai pour mon exemple une des plus belles propositions que je leur ai faites (' ) :

Trouver un triangle duquel le plus grand côté soit quarrc, et la soinnir des deux autres soit aussi quarrée.

Voici le Iriani^le :

3. S'ils veulent la solution de quelqu'une des autres questions, je la leur envolerai dès qu'ils voudront; ils n'ont (|u'à me marquer celle on celles qu'ils désirent.

Il iaut proposer les autres à soudre à (;eux qui disent (comme M. de C.arcavi m'a écrit) que j'ai trouvé ma métliode de ma.rima et miitiniu par hazard. Car peut-être ne croiront-ils pas que j'aie trouvé ces (|uestions à tâtons et par rencontre. iM. Hardy est un de ccux-li».

Vous m'obligerez de saluer M. de Saint-.Martin de ma part. Peul-èlre (jue, pour l'amour de lui, je mettrai par écrit mes inventions sur Diopliante, où j'ai découvert plus queje ne m'étois jamais promis. La métliod(! pour soudre les questions que je lui ai proposées est un échantillon de mon travail.

Je serai bien aise que M. de Freniclc souiïre le renoucment ^\v notre commerce.

4. M. (le Carcavi vous fera part de quelques nombres sous-multiples que je lui ai envoyés (-).

j'en ai trouvé quantité d'autres et la méthode générale pour trouver tous les possibles.

5. N'oubliez pas de presser M. de La Chambre ( ') et de le faire agii'

(') Comparer l'Observalion XLIV sur Dioplianlc.

(2) rojVLeUrc LUI, 2.

(») Cp. Lettres LL 1 el 6; LU, 2; LIV, 6.

d(! la bonne façon. S'il me considère, comme il fait semblant, celte petite affaire vaut faite.

Je suis, mon Révérend Père, votre etc.

Fermât.

6. Le théorème que vous m'avez proposé de la part du géomi^tre de ("hâlons ('), marque qu'il n'a pas fait grand progrès en l'Algèbre, car les plus médiocres ne peuvent pas douter que ce théorème ne soit généralement vrai.

Si MM. de Saint-Martin et de Frenicle veulent renouer le commerce des lettres, nous vous ferons voir des choses nouvelles et qu'il ne faut pas chercher dans les Livres.

Si M. de La Chambre n'agit pas bientôt et avec affection, je songerai à ne l'employer plus.

FERMAT A MERSENNE (')

MARDI !'•'■ SEPTEMBRK 1C4-3.

(A, f° 3i; B, t'27 ter.)

Mon Révérend Père,

i- J'ai vu, par la lettre de M. de Saint-Marlin, que mes questions lui ont paru impossibles (') et à M. Frenicle aussi.

C'est une marque infaillible de la dilTiculté qu'ils y ont trouvée ; pourtant, non seulement elles sont toutes faisables, mais j'en ai découvert la solution et, afin qu'ils n'en doutent pas, j'ajouterai à la solution

(') Nous n'avons trouvé aucune indication sur ce géomètre, ni sur son problème.

(') Lettre inédite.

(') roir LeUres LVIU, 3, et LIX, 1.