LXVIII. — SAMEDI 20 AOUT 1G

priété soit, en prônant A pour l'appliquée et E pour la portion du diamètre (|ui lui correspond :

Lalusciih. ('Atj.\ti\ — Ac.)-i-lat.qtnirl.qii(id.{'lij)l./>l.— \)q. in 15 in A -H A -77.) -(- lat. ijiiad. (H in A — A7.) + lat. (juad. cub. {\qc. — B77. in A).

[lœc omnia quatuor hoinogenea, quœ, in hoc casu, su/H reclœ, œqucn-

lur

Quœnlur langcns ad punctum daturn in carra cujus saperior œt/ua/ilas proprielalem speci/icam reprœsentat .

Que fera en ce rencontre la méthode de M. Descartes que vous savez être infiniment plus embarrassée que la mienne? mais que fera encore la mienne, si les asymmétries ne sont otécs?

Pour les oter, la méthode que je vous envoyé en vient à bout sans nulle dillicullé. car, qw donnant à chacune des lignes irrationelles le nom d'une seconde racine, tierce, quarte etca?t., on vient toujours :i des doubles égalités lesquelles se réitèrent jusques à ce que l'application (ou la division) ùte la dernière de ces racines, puis la pénultième, et ainsi en rétrogradant jusques à ce que toutes les nouvelles racines inconnues que vous aurez jtriscs à discrétion aient entièrement disparu, et pour lors il vous restera une équation sans asvmmétrie en laquelle il n'y aura de racines inconnues que les deux premières A et E, qui n'auront cjue changé de degré à cause des multiplications fréquentes et nécessaires à chaque opération, et cette équation exempte d'asymmétrie représentera la propriété spécifique de la courbe.

Or, (jiiand nous avons la propriété spécifique de la courbe sans asvmmétrie, ma méthode de langenlibus donne la tangente très simplement et par la seule application à tous les cas généralement, soit (|ue la propriété spécifique aie relation à des lignes droites seulement, soit qu'elle l'aie aussi à des courbes. Et partant, en joignant les deux méthodes, la tangente de la question proposée se trouve par l'application simple, ce qui semble merveilleux.

•28G (J'. L V l« E S 1) K F E W M AT. — C O 11 H E S IM ) N I) A N C E.

.le n'ajouto pas l'opéralioii onlii're, pomro (]ii(' la longueur du (lavail me lasscroit, mais, on un mot, il sulFit que vous voyez 1res dairenieut le progrès el la fin de l'ouvrage; ce que je crois avoir é(é inconnu jusques à présent, puis(|ue M. Descartes, que je nomme avec tout le respect qui est dû à la mémoire d'un si merveilleux homme, ])roposoit comme une diinculté insiirnionlahlc la <|uestion suivante :

Jùa/il donnés r/itatre points et une ci)urhe, en Inquelle prenant un jxtint à discrétion, les droites menées de ce point aux quatre donnés fassent une somme donnée, trouver un:' tau^e/ite à {/ue/eonr/ue poi/it donné de cette courbe.

ainsi (jue je puis faire voir par une de ses lettres ('). Pourtant, mes méthodes jointes ensemhie en donnent la solution simple, et l'cqjération < se fait > en se jouant.

Vous comprenez parla que le principal el plus considérahie ell'ef de cette méthode paroit aux tangentes de toutes sortes de lignes courhes il l'infini, puisque les tangentes s'y trouvent toujours |)ar application simple, et après cela aux questions que j'appelle al/ondantes, qui se résolvent aussi par la seule division, sans aucune extraction de racines et ca't.

3. Mn voilà trop pour une seconde lettre, mais je suis d'humeur à vous l'aire paroitre ce que peut notre ancienne amitié. Peut-être (|ue ces petits éclaircissements serviront à ce ()u'il y aura de tro[» concis dans mon écrit latin, quoique je ne doute point qu'après que vous el messieurs à qui vous le communiquerez y auront un peu rêvé, ils n'en trouvent l'intelligence et la pratique aisée.

.îe n'ai qu'à vous avertir que l'ordre des pages de mon petit Traité i>sl marqué par chiffres, et qu'il y a un endroit, en la page septième, qui semble défectueux, qui pourtant ne l'est pas, et il faut tout écrire comme un sens continu, ainsi que vous comprendrez d'abord.

l') Celle lollre n'a pas clé conservée.

LWllI. ^ -10 AOUT IGoO. -287

Jo vous ri'itoi'c encore (lue je vous reiivoierai vos écrits de mes Traités au |)lus tôt avec le Livre de M. Gaignières ('), sinon que vous en trouviez à Paris un autre exemplaire, auqu(d cas vous m'obligerez de le bailler à mondit S'' Gaignières, et j'en rembourserai le prix au messager ([ni vous porte mes lettres.

Je suis, Monsieur, votre du tout acquis scrvit(>ur,

KF.r.MAT.

A Casi.i'os, l'c 20 iiDiU i(i)i)

( ' ; l.a siiilc (le la phrase luoutro qu'il s'agit d'un ouvrage j»r(jté par Gaignières. Celui-ci n'est pas Kogcr de Gaignières dont les collections ont enrichi la Bil)liotlio(|uc du roi, puiscpie ce célèbre colleclionueur est no vers 1G44, mais sans doute son père Aimé de Gaignières, secrétaire du duc de Bcllcgarde, gouverneur de Bourgogne. (.Léopold Dclislc, Le cahiiict (les tiit//iii\crih-, Tome 1, p. 33).)

2,S8 (EUVHES DE EEUMAT. - CO [UlESPOND A NC K.

FERMAT A PASCAL (')

{OEuffcs lie Pascal, 177*), I\', p. ^(^l'-^V--)

MossiF.un,

Si j'cnfrcpivnds île faire un j)niiit avec un seul dé eu liuil coups; si uuiis couvenons, après que l'argent est dans le jeu, ([U(^ je ne joiu/rai pas le premier coup, il faut, par mon j)rincipe, que je tire du jeu ,! du total pour être désiulérossé, à raison dudit premier coup.

Oue si encore nous convenons après cela que je n(! jouerai pas le s(M'ond coup, je dois, pour mon indemnité, tirer le G'"" du restant, tjui est ^ du total.

i']! si a|)rès c(da nous convenons que je ne jouerai pas le Iroisil'me coup, je dois, pour mon indemnité, tirer le (')""■ du restant, qui est f'^ du total.

Va si apri's cela nous convenons encore (|ue je ne jouerai pas le (|iiatrii'me coup, je dois tirer le G""" du restant, qui est ;^',t du total, et je conviens avec vous que c'est la valeur du ((uatrii'iue coup, supposé (ju'on ait déjà traité des précédents.

i\Iais vous me proposez dans l'exemple dernier de votre lettre (je

(1) « Imprimée pour la promicrc fois. Cctlc Lcltrc; esl sans dalc dans la copie (pip j'en ai; elle paroit répondre ù une Icllre de Pascal (]iie je n'ai pu recouvrer. » (Note de Jins.iut.) — L'éditeur des OEuvrcs de Vancal a d'ailleurs placé celle LeUre entre celles nnuiérnlées ci-après LXXIV cl LXXV.

L\X. - 29 JUILLET lGa4. 289

mets vos propres (ormes) que si j'entreprends de trouver le six en liiiil coups et que j'en aie joué trois sans le rencontrer, si mon joueur me propose de ne point jouer mon (|uatrième coup et qu'il veuille me désintéresser à cause que je pourrois le rencontrer, il m'appartiendra 7^ de la somme entière de nos mises.

Ce qui pourtant n'est pas vrai, suivant mon principe, (^ar, en ce cas, les trois premiers coups n'ayant rien acquis ii celui qui tient le dé, la somme totale restant dans le jeu, celui qui tient le dé et qui convient de ne |»as jouer son quatrième coup, doit prendre pour son indemnité ;, du total.

Va s'il avoit joué ([uatre coups sans trouver le point cherché et qu'on convînt qu'il ne joueroit pas le cinquième, il auroit de même pour son indemnité ^ du total. Car la somme entière restant dans le jeu, il rusuit pas seulement du principe, mais il est de même du sens naturel que chaque coup doit donner un égal avantage.

Je vous prie donc que je sache si nous sommes conformes au principe, ainsi que je crois, ou si nous dilTérons seulement en l'application.

Je suis, de tout mon c(eur, etc.

Fi:ii.>iAT.