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m'étcndrc, mais, en un mot, vous avez trouvé les deux partis (') des dés et des parties dans la parfaite justesse : j'en suis tout satisfait, car je ne doute plus maintenant que je ne sois dans la vérité, après la rencontre admirable où je me trouve avec vous.

J'admire bien davantage la métbode des parties que celle des dés; j'avois vu plusieurs personnes trouver celle des dés, comme M. le chevalier de Méré, qui est celui qui m'a proposé ces questions, et aussi .M. de Roberval : mais M. de Méré n'avoit jamais pu trouver la juste valeur des parties ni de biais pour y arriver, de sorte que je me trouvois seul qui eusse connu cette proportion.

2. Votre méthode est très-sùrc et est celle qui m'est la première venue à la pensée dans cette recherche; mais, parce que la peine des combinaisons est excessive, j'en ai trouvé un abrégé et proprement une autre méthode bien plus courte et plus nette, que je voudrois vous pouvoir dire ici en peu de mots : car je voudrois désormais vous ouvrir njon cœur, s'il se pouvoit, tant j'ai de joie de voir notre rencontre. Je vois bien que la vérité est la même ii Toulouse et à Paris.

Voici à peu près comme je fais pour savoir la valeur de chacune des parties, quand deux joueurs jouent, par exemple, en trois parties, et chacun a mis 32 pisloles au jeu :

Posons que le premier en ait deux et l'antre une; ils jouent maintenant une partie, dont le sort est tel que, si le premier la gagne, il gagne tout l'argent (jui est au jeu, savoir G'\ pistoles; si l'autre la gagne, ils sont deu,v parties à deux parties, et par conséquent, s'ils veulent se séparer, il faut qu'ils retirent chacun b'ur mise, savoir chacun 32 pistoles.

( I ) l'arii signifie ici réparlilioii eiUrc des joueurs, d'après leurs chances nilalives, de la masse des enjeux, dans le cas où le jeu esl abandonné avant sa fin.

Le parti des de'i dont il s'agit ici parait avoir clé simplement demandé dans le cas oii cckii (pii tient les dés a parié d'amener un point déterminé en un nombre de coups convenu (i)0(> Lettre LXIX et ci-après, LXX, 7).

Quant au parti des parties, la question est clairement exposée ci-aprcs (2 à 6). Comparer, à la suite du Traité du triangle arithmétique de Pascal, l'application i]ui en est faite à ce même problème (OEuitcs de Pascal, édition de 1779, V, p. ii).

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Considérez donc, Monsieur, que, si le premier gngne, il lui appartient G/|; s'il perd, il lui appartient 32. Donc, s'ils veulent ne point hasarder cette partie et se séparer sans la jouer, le premier doit dire : « Je suis sûr d'avoir 32 pistoles, car la perte même me les donne; mais » pour les 32 autres, peut-être je les aurai, peut-être vous les aurez, le » hasard est égal. Partageons donc ces 32 pistoles par la moitié et me » donnez, outre cela, mes 32 qui me sont sûres. » 11 aura donc 4^^ pistoles et l'autre lO.

Posons maintenant que le premier ait f/ewa; parties et Vautre poinl, et ils commencent à jouer une partie. Le sort de cette partie est tel que, si le premier la gagne, il tire tout l'argent, G4 pistoles; si l'autre la gagne, les voilà revenus au cas précédent, auquel le premier aura deii.v parties et l'autre une.

Or, nous avons déjii montré qu'en ce cas il appartient, à celui qui a les deux parties, 48 pistoles : donc, s'ils veulent ne point jouer cette ])artie, il doit dire ainsi : « Si je la gagne, je gagnerai tout, ({ui est G^; )) si je la perds, il m'appartiendra légitimement 4^ : donc donnez-moi » les 48 qui me sont certaines, au cas même que je perde, et partageons » les iG autres par la moitié, puisqu'il y a autant de hasard que vous » les gagniez comme moi. » Ainsi il aura 48 et 8, (jui sont jG pistoles.

Posons enfin que le premier n'ait q\i une partie et l'autre />oi>?^ Vous voyez. Monsieur, que, s'ils commencent une partie nouvelle, le sort en est tel que, si le premier la gagne, il aura deux parties à point, et partant, i)ar le cas précédent, il lui appartient 5G; s'il la perd, ils sont partie à partie : donc il lui appartient 32 pistoles. Donc il doit dire : « Si vous voulez ne la pas jouer, donnez-moi 32 pistoles qui me sont » sûres, et partageons le reste de "ÏG par la moitié. De 5G ôtez 32, » reste 24; partagez donc al par la moitié, prenez-en 12 et moi 12, » qui, avec 32, font 44- "

Or, par ce moyen, vous voyez, par les simples soustractions, que, pour la première partie, il appartient sur l'argent de l'autre 12 pistoles; pour la seconde, autres 12; et pour la dernière, 8.

Or, pour ne plus faire de mystère, puisque vous voyez aussi bien

tout à découvert ot que je n'en faisois que pour voir si je ne me troni- |)ois j)as, la valeur (j'entends sa valeur sur l'argent île l'autre seulement) de la dernière partie de deux est double de la < dernière >■ partie de trois et quadruple de la dernière partie de quatre et oetuple de la dernière partie de cinq, etc.

3. Mais la proportion des premières parties n'est pas si aisée à trouver : elle est donc ainsi, car je ne veux rien déguiser, et voici le problème dont je faisois tant de cas, comme en effet il me plait fort :

Etant donné tel nombre de parties qu'on voudra, trouver la valeur de la première.

Soit le nombre des parties donné, par exemple 8. Prenez les huit premiers nombres pairs et les huit premiers nombres impairs, savoir :

I, 3, 5, 7, 9, II, i3, i5.

.Mulli|)liez les nombres pairs en cetti^ sorte : le premier par le second, le produit par le troisième, le produit par le quatrième, le produit par le cinquième, etc.; multipliez les nombres impairs de la même sorte : le premier par le second, le produit par le troisième, etc.

Le dernier produit des pairs est le dénominateur et le dernier produit des impairs est le numérateur Aq la fraction qui exprime la valeur de la première partie de huit : c'est-à-dire que, si on joue cliacun le nombre de pistoles exprimé par le produit des pairs, il en appartiendroit sur l'argent de l'autre le nombre exprimé par le produit des impairs.

Ce qui se démontre, mais avec beaucoup de peine, par les combinaisons telles que vous les avez imaginées, et je n'ai pu le démontrer par cette autre voie que je viens de vous dire, mais seulement par celle des combinaisons. Et voici les propositions qui y mènent, qui sont proprement des propositions arithmétiques touchant les combinaisons, dont j'ai d'assez belles propriétés :

L\\. - 29 JUILLET IGS't. 293

4. Si (l'un iionihiT' (jiiolcoiiquc de loUres, par cxoinple do iS :

A, n, C, I), E, F, (i, II,

vous en prenez toutes les combinaisons possibles de 4 lettres et ensuite toutes les combinaisons possibles de 5 lettres, et puis de G, de 7 cl de 8, etc., et qu'ainsi vous preniez toutes les combinaisons possibles depuis la multitude qui est la moitié de la toute jusqu'au (oui, je dis (|ue, si vous joignez ensemble la moitié de la combinaison de 4 avec chacune des combinaisons supérieures, la somme sera le nombre tantième de la progression quaternaire à commencer par le binaire, qui est la moitié de la multitude.

Par exemple, et je vous le dirai en latin, car le français n'y vaut rien :

.SV quotlibet Utterarurn, verbi gratia octo :

sumarUur ornnes combinaliones quafernani. quinqnenarii, senarii, etc. , iisquc ad oclonarium, dico, si jungas .dimidiurn combiiiationis qualernarii, neinpe 35 (^dimidiurn 70), ciim omnibus combinai ionibiis quinqnenarii, nempe 5G, plus omnibus combinationibus senarii, nempe 28, plus omnibus combinationibus seplenarii, nempe 8, plus omnibus combinationibus octonarii, nempe i , factum esse quartum numerum progressionis quaternarii cujus origo est 1 : dico quartum numerum, quia 4 octonarii dimidium est.

Sunt enim numeri progressionis quaternarii, cujus origo est 2, isti :

2, 8, Sa, 128, 5i2, etc.,

quorum 1 primus est, 8 sccundus , Si tertius et 128 quartus : cui 1 28 œquantur

-+- 35 dimidium combinalionis \ lilleraruni -t- 56 combinalionis 5 littcrarum -h 28 combinalionis 6 lilleraruni -f- 8 combinalionis 7 litlerarum -+- I combinalionis 8 littcrarum.

5. Voilà la première proposition qui est purement arithmétique; l'aulre regarde la doelrinc des parties et est telle :

Il l'aul dire auparavant : si on a une partie de ^, par exemple, et qu'ainsi il en manque '\, le jeu sera infailliblement décidé en 8, qui est double de 4-

La valeur de la première partie de 5 sur l'argent de l'autre est la fraction qui a pour numérateur la moitié de la combinaison de f\ sur H (je prends /| parce qu'il est égal au nombre des parties qui manque, et 8 parce qu'il est double de 4) et pour dénominateur ce même numérateur plus toutes les combinaisons supérieures.

Ainsi, si j'ai une partie de 5, il m'appartient, sur l'argent de mon

joueur, -^ : c'est-à-dire que, s'il a mis 128 pistoles, j'en prends 35 et

lui laisse le reste, r)3.

Or cette fraction ^ est la même que celle-là : :j3v, laquelle est faite 120 ' 004 '

par la multiplication des pairs pour le dénominateur et la multiplication des impairs pour le numérateur.

Vous verrez bien sans doute tout cela, si vous vous en donnez tant soit peu la peine : c'est pourquoi je trouve inutile de vous en entretenir davantage.

6. Je vous envoie néanmoins une de mes vieilles Tables; je n'ai pas le loisir de la copier, je la referai.

Vous y verrez comme toujours que la valeur de la première partie est égale à celle de la seconde, ce qui se trouve aisément par les combinaisons.

Vous verrez de même que les nombres de la première ligne augmentent toujours; ceux de la seconde de même; ceux de la troisième de même.

Mais ensuite ceux de la quatrième diminuent; ceux de la cinquième, etc. Ce qui est étrange.

29 JUILLET lGo4.

Si on jonc cliacim 206 en

parties.

i™ p.Ti'iie .

■i' partie.

3'' partie.

•g ■"" 1 r parlie.

j" partie.

G' partie.

parties.