partie

iGo

7. Je n'ai pas le temps de vous envoyer la démonstralioii d'une dilliculté qui étonnoit fort M. ■< de Méré >, car il a très bon esprit, mais il n'est pas géomètre (c'est, comme vous savez, un grand défaut) et

iiK'im' il ne comprend pas qu'une ligne mathématique soit divisible à l'intini et croit fort bien entendre qu'elle est composée de points en nombre fini, et jamais je n'ai pu l'en lirer. Si vous le pouviez faire, on le rendroit parfait.

Il me disoit donc (ju'il avoit trouve fausseté dans les nombres par lelte raison :

Si ou entreprend de faire un six avec un dé, il y a avantage de l'en- I reprendre en 4, comme de G71 à Ga').

Si ou entreprend de faire sonnés avec deux dés, il y a désavantage de l'entreprendre en 2].

Va néanmoins 2^ est à 3G (qui est le nombre des faces de deux dés) comme '1 à G (qui est le nombre des faces d'un dé).

Voilà quel étoit son grand scandale qui lui faisoit dire hautement (]ne les propositions n'étoient pas constantes et que l'Arithmétique se (lémentoit : mais vous en verrez bien aisément la raison par les principes où vous êtes.

Je mettrai par ordre tout ce que j'en ai fait, quand j'aurai achevé des Traités géométriques où je travaille il y a déjà quelque temps.

8. .t'en ai fait aussi d'arithmétiques, sur le sujet desquels je vous supplie de me mander votre avis sur cette démonstration.

.le pose le lemme que tout le monde sait : que la somme de tant de

nombres qu'on voudra de la progression continue depuis l'unilé,

comme

étant prise deux fois, est égale au dernier, .], mené dans le prochainement plus grand, 5 : c'est-à-dire que la somme des nombres contenus (|ans A, étant prise deux fois, est égale au produit

A in (A + i).

Maintenant je viens à ma proposition :

Duorum quorumlibet cuborum proximorum differenlia, unilale deinplù , sextupla est omnium numerorum in minoris radice contenlorum.

LX\. - 29 JUILLET 165i. 297

Si/i/ duœ radiées l{, S unitale dijferenles : dico

/f"— S^ — I œquari summœ numcroriim i/i S conlcnlorum sexies siimplœ. Eleniin S rocctur A : ergu It est

Igittir cubus radicis II, scu .4 + i , csl

Cuhus vcro S, seu A . est

l'I Itornm differenlia esl

id est Ji' — S^ ; igi/ur, si au/eratnr imitas,

3 4'- -h 3.1 av/. /,'3 si,.

Scd dupluin sii/nmœ numerorum in A seu S conleitluniin av/iiattir, rx

Icmmale,

A in {A ■+- 1), lioc est ,(-4- A :

igUiir sexluplum summœ numerorum in A contentorum œquatur

Sed

iisitur

IP — .S' — I œq. sexliiplo summœ nunieroruni in A scu S contentorum. Quod erat demonslrandum .

On ne m'a pas fait de difficulté là-dessus, mais on m'a dit qu'un ne m'en laisoit pas par cette raison (]uo tout le monde est accoutumé aujourd'hui à cette méthode; et moi je prétends que, sans me taire i^râce, on doit admelde cette démonstration comme d'un genre excellent : j'en attends néanmoins votre avis avec toute soumission.

Tout ce que j'ai démontré en Arithmétique est de cette nature.

Fermât. — U. 38

298 ŒUVKES DE FERMAT. — CORHESPOiNDANCE.