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nombres ne font pas une proportion continue, mais, en aillant de façons que l'un est comparé à l'aulre, autant font-ils de proportions difl'ércntcs; de sorte que ce sont plusieurs proportions ou progressions disjointes et ainsi, quand on prendroit un terme moyen entre i et G, il n'auroit rien de commun avec les autres nombres.

Toute la proportion ou suite, qu'on peut remarquer entre ces nombres, consiste au rapport qu'ont entre eux les nombres dont ils proviennent par multiplication, aux(juels on voit une espèce de progression arithmétique. Néanmoins il ne sçauroit passer aux nombres susdits, en telle sorte que, par icelui, on puisse donner un terme moyen cuire deux des nombres, qui ait correspondance à toute la suite.

Au contraire, la propriété même de cette progression fait qu'il n'y en peut avoir; voici comment :

Les nombres donnés

sont produits par les suivants en multipliant :

ou les équivalents

q -> 4 -' M ïï^ 1 2 o

En ces nombres, qui servent à faire les donnés, il est facile de voir où est le rapport. Il consiste, aux premiers, en la seule augmentation du dénominateur de la fraction qui y est jointe, ce qui fait diminuer les nombres d'autant plus qu'ils s'éloignent du premier terme, savoir

de i; et aux seconds

I, -) — ) etc.,

qui sont les mêmes en autres termes, les numérateurs des fractions augmentent de 4 <^t l^s dénominateurs de l'unité, ce qui fait pareillement diminuer les nombres tant plus la progression avance : en sorte

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que celui qui est le plus proche du premier terme i, savoir l\- ou -> qui vaut G, est le plus grand de tous.

Il faut aussi remarquer que le rapport des nombres de la dite progression n'arrive pas jusques au premier terme i, ou plutôt ne commence pas dès le premier terme, mais au second seulement, qui est sa borne. De sorte que, si on vouloit augmenter les termes de la dite progression, en la changeant et mettant un nombre moyen entre le

premier et le second terme, savoir entre i et l\- ou -> il ne faudroil pas avoir égard ii i, mais aux autres nombres

ou à ces autres qui sont les mêmes :

6 ro i4 iS -) — I ^5-) -1-', 13 3 4

car cette progression n'auroit pas de suite, si on la commcnçoit par i. Puis donc : qu'il ne faut pas avoir égard au premier terme i, qui n'a rien de commun avec les nombres de la dite progression, mais aux autres seulement; et qu'ils augmentent à mesure qu'ils aj)prochent du |)remier terme 1 : il s'ensuit que le nombre, qu'on prendroit entre i

el '\ - ou -I seroit plus grand (|ue h* dit - ou G, et il faudroit multiplier

le premier terme i par ce nombre moyen qui seroit plus grand que G, pour avoir le moyen terme enire les deux premiers des nombres premièrement donnés, qui sont i et G (car les dits nombres donnés

n'ont point d'autre rapport ou liaison que celle qu'ils empruntent de leurs multiplicateurs, autrement ils n'en ont aucune). Et ainsi on auriiit un nombre plus grand que G pour le moyen terme d'entre i et G ; ce qui est absurde.

De là s'ensuit qu'on ne peut donner le moyen terme entre i et G, en