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g.iuchc il la droite restoit la même, puisque la balle allant toujours (le même vitesse pouvoit conserver l'une de ses visées ou déterminations lors(|ue l'autre seule étoit empêchée; que d'ailleurs le mouvement se f'aisoit dans un même milieu; et qu'enfin, la détermination de haut en bas étant enfii'rement empêchée, il n'y avoit pas grand mal de consentir que celle de la gauche î» la droite restât tout entière : eomme, quand on perd un œil, on dit que la vertu visive se conserve entière en celui qui reste.

Mais, en la rélVaction, tout y est différent. Veut-on y obtenir le consentement de notre sc('[)tique sans preuve? I>a détermination de la gauche ;i la droite denieiirera-t-elli' la même, l()rs(|ue tontes les raisons ([ui le lui avoieiil (lersuadé en la réflexion se sont évanouies? Mais ce n'est i)as tout : il a sujet d'appréhender l'équivoque et, lors- (|u'il aura accordé que cette détermination de gauche i» droite demeure! la même, il a occasion de soupç,^onncr que l'auteur le chicanera sur l'explication de ce terme. Car, quoiqu'il ait protesté que la détermination est différente de la puissance qui meut, et que leur quantité doit être examinée séparément, si notre sceptique lui accorde en cet endroit que cette détermination de gauche h droite demeure la même en la réfraction, c'est-à-dire qu'elle conserve la même visée ou direction, il va apparence que l'auteur voudra l'obliger ensuite à lui accorder ([ue la balle, dont la détermination vers la droite n'est i)oint changée, s'avance autant et aussi vite vers la droite qu'elle faisoit auparavant, (juoique sa vitesse et le milieu par oii elle passe soient changés.

Mais parce qu'il ne paroit pas sitôt qu'on veuille lui faire une si grande violence, il ne croit pas être encore temps de se départir du respect qu'il doit au nom de M. Descartes, et il veut bien lui avouer, sur sa seule parole, que cette détermination vers la droite demeurera la même, pourvu qu'il ne se parle point du temps que la balle doit emplover ii s'avancer de ce coté là : parce que M. Descartes même a avoué que la force qui meut et la détermination sont deux quantités (|ui n'ont rien de commun, et qu'elles doivent être séparément examinées).

4. « Puis, ayant décrit du centre B le cercle AFD et tiré à ans^les droits sur GBE les trois lignes droites AC, HB, FK, en telle sorte qu'il V ait deux fois autant de distance entre FE et HB qu'entre HB et A(', nous verrons que cette balle doit tendre vers le point I. Car, puisqu'elle perd la moitié de sa vitesse en traversant la toile CBE, elle doit employer deux fois autant de temps à passer au-dessous, depuis 15 jusques à quelque point de la circonférence du cercle AFD, qu'elle

Fis. 56.

a fait au-dessus, à venir depuis A jusques à B. Et, puisqu'elle ne perd rien du tout do la détermination qu'elle avoit à s'avancer vers le côté droit, en deux fois autant de temps qu'elle en a mis à passer depuis la ligne AC jusques à HB, elle doit faire deux fois autant de chemin vers ce même côté ('). »

5. (C'est ici le guet-apens, et la trop grande crédulité de celui qui avoit franchi tous ses scrupules sur le premier article, reçoit en cet endroit une nouvelle attaque. L'auteur a sujet d'espérer que, puisque notre sceptique lui a déjà accorde que la détermination vers la droite resloit la même, il ne doit pas le dédire non plus, que cette détermination ou cette visée et direction vers le côté droit ne soit également vite et n'avance toujours autant qu'elle faisoit auparavant.

Mais le sceptique commence à n'entendre plus raillerie et, s'il a consenti de bonne foi que la détermination vers la droite ne changeoit

(I) Discours de la méthode, etc. A Leyde, CIOIDCXXXVIII, p. i8 (a" pagination).

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pas, il proteste qu'il n'est point engage à consentir qu'en cliani^eanl dr milieu elle fasse toujours un égal progrès, puisque l'auteur a si souvent et si solennellement assuré que la détermination et la force mouvante sont tout à fait différentes et distinctes; et pour se confirmer en son doute, il ajoute que si, dans la figure de la page 17, la balle étoil poussée depuis H jus(jucs ii B, et qu'elle continuât son mouvement vers BG, le raisonnement de celui qui diroit :

« La détermination de la balle sur la route HBG n'est point changée au point B, car clic est la même, et le mouvement perpendiculaire se continue dans la même ligne IIBG; donc cette balle avance autant et aussi vile au dessous de B qu'elle faisoit auparavant. »

ce raisonnement, dis-jc, scroit ridicule, parce que la détermination ou direction du mouvement diffère de sa vitesse.

Pourquoi donc notre sceptique sera-t-il obligé d'accorder gratuitement et sans preuve que le mouvement qui se fait vers la droite dans la figure de la page 18 avance également vers le dit coté droit, apri-s qu'il a changé de milieu? Ce n'est pas que cette proposition ne puisse être vraie, mais elle ne l'est qu'au cas que la conclusion que M. Descartes en lire soit véritable, c'est-à-dire que la raison ou proportion pour mesurer les réfractions ait été par lui légitimement et véritablement assignée. Il ne l'a donc pas prouvée par une proposition si douteuse et si peu admissible.

En un mot, (|uand toutes les oppositions qu'on peut faire à son r;iisonnement seroient fautives, peut-il faire passer pour véritable ce quin'est ni axiome, ni déduit par une conséquence légitime d'aucune pr(imière vérité? Les démonstrations qui ne forcent pas de croire ne peuvent point porter ce nom.)

Va croiriez-vous. Monsieur, que si la proposition de M. Dcscarles étoit démonstrativement prouvée, son évidence et sa clarté n'eussent pas percé les ténèbres de mon entendement, pendant vingt années qui se sont écoulées depuis notre ancien démêlé, puisque je vous ai protesté, dès le commcncemenfdo ma lettre, que je travaille sincèrement

Mk (KUVUES DE FERMAT. — COR RESPON I) ANGE.

il ino lircr d'erreur, el que je ne cherelie qu'un lionnèle préLexle ii nie

rendre? Je serois même ravi d'établir l'honneur de M. Desearles aux

(li'pens du mien, et je voudrois, s'il m'étoit possible, en recoiinoissant

la vérité de sa preuve, ajouter avant que de finir :

Se cl.ii'a vidciidaiii Oljtiilit et piira |icr noclem in liice rcfiilsil ( ').

Il en sera pourtant ce que M. le chevalier IVighy et vous. Monsieur, trouverez bon. .Te vous soumets à tous deux ma logique et ma malbéniatique, et je consens ii ce que vous en Cassiez un sacritic(> ii la mémoire de cet illustre, qui n'est plus en état de se défendre; mais, jus- ([ues h ce que vous ayez prononcé, je prétends que la véritable raison ou proportion des réfractions est encon^ inconnue et (|ue O^wv h Yoûvaai xa-rat (^), en compagnie de tant d'autres vérités (|ue l'avenir découvrira peut-être mieux que n'a pu faire le passé.

Excusez ma lonarueur et faites moi l'honneur de me croire, Monsieur. Votre trJ's humble et très alTectionné serviteur.

•KUMAT,

FERMAT A DlGin'.

DiMANcnKTAViiii. IG.'jS.

[Comm. en., 37.)

MoNsn:i;r,,

1- .l'ai reçu les nouvelles solulions de la proposition (') de .Monsieur Wallisius, que Monsieur Frcnicle a ajoulées aux premières, .le

(■ ' ) Virgile, Éiiéidc. Il, 58()-Ji)o.

(-) Homcrc, Iliade. XVII, 5i4.

(3) II Trouver deux nombres entiers carrés lois que les somincs foniires \m\v chacun d'oux cl par ses parties aliquoles soient ég.ile.s. u

luette question avait été proposée parWiillis dans sa Lettre à Digl)y du 21 luivcudnc idj; (Comm. iG). Les solutions de Frenicle sont dans sa Lettre à Digliv {Comm. 3i) i]ue KrouncWcr reçut le 5 avril iG58.

XCl. - 7 AVUIL 1G58. 375

suis ravi, aussi itirn (|iic vous, do raiiondaucc et fertilité do son cspril et do lu grande facilité qu'il s'est ae(iuisc on. ces matières. Je ni'étois contenté do donner doux solutions on nombres premiers onlro eux, et avois soulemenl indiqué qu'on ponvoit, par ma méthode, étendre la question à trois, quatre, cinq et plusieurs nombres de même nature. Mais, i)nisquo Monsieur Frcniele m'a si avantageusement préoccupé, je n'ajoute plus rien à son travail, et je consims que ma petite et maigre solution demeure en vos mains.

2. Après avoir reçu la lettre de Monsieur Wallisius ('), je suis toujours surpris de quoi il méprise constamment tout ce qu'il no sait pas. Les questions en nombres entiers ne sont point de son goût. Il s'imagine que je ne sais point les centres de gravité des hyperboles infinies, et il semble promettre sur la fin la ([uadrature de l'hyperbole, c'est-à-dire de celle d'Apollonius : car, pour toutes les autres, ni lui ni moi no l'ignorons pas.

,1e lui réponds succinctement :

3. Promioromont à ce qu'il dit que je fais grand cas des propositions négatives, comme qu'il n'y a que le seul quarré 2j qui, ajouté il 2, fasse un cube vn nombres entiers; et encore qu'il n'y a que les deux (]uarrés '\ et 121 qui, ajoutés à 4. fassent des cubes, aussi on entiers (-). Il dit (|uo ce sont dos propositions ordinaires et iieqitc rnajiis quid aitl grandius insinuant qiiam si dicerem cuhicuhum milliini in integris esse vel eliam qtiadraUim qui, numéro dijunclus, ejficial quadraUun, .... vel cliarn nullus in integris cubos esse qui ah invicem disteiil numéro viccnario nec, prœler 8 et 27, qui distenl numéro 19, etc. ; . . . , cujusmodi in/iumeras delerminationes negatwas in promptu esset comminisci.

Je réponds que je ne fais point cas de toute sorte de propositions négatives; par exemple, celles qu'il rapporte et infinies de telle nature ne sont que des amusements d'un arithméticien de trois jours, et leur

(') Lettre 16 (lu Conintercium epistolicuni. (f-'oir la note qui précède.) (») roi> Lettre LXXXIV, 5.

raison est d'abord connue cliam lippis cl tonsoribiis ('). De sorte que d'en inférer de là qu'il faut faire peu de compte de toutes sortes de propositions négatives, voyez, Monsieur, quelle logique! Mais je ne veux point d'autre preuve que celles que je vous ai proposées sont du liant étage et dignes d'être recherchées, c'est que ni lui, qui s'estime (ant, ne les a pas encore démontrées, ni Monsieur Freniclc même, que je mots au-dessus de lui, sans lui faire tort; et ce dernier, qui connoit merveilleusement les mystères les plus cachés des nombres, ne les a pas méprisées.

4. Mais, parce que les nombres entiers ne plaisent pas à Monsieur Wallisius, en voici une autre, à laquelle il pourra s'occuper et en laijuelle je n'exclus point les fractions (-) :

// n'y a aucun triangle rectangle en nombres dont l'aire soif quarrèe.

5. Et, pour lui faire voir qne le défaut de connoissance de celle sorte de questions Ini fera quelquefois concevoir plus grande opinion de ses forces qu'il n'en doit raisonnablement avoir, il dit qu'il ne doute point que le Mylord Brouncker ne résolve les deux (|ueslions (•') :

Datum numcrum cuhum in duos cuhos rationales dividere,

et

Datum numcrum ex diiohus cuhis composilum in duos alios cuhos rationales dis'idere ;

je lui réponds (jn'il pourra, par aventure, ne se méconipter pas en la seconde, quoiqu'elle soit assez difficile, mais que, pour la première, c'est une de mes propositions négatives que ni lui ni le Seigneur Rrouncker ne démontreront peut-être pas si aisément. (]ar je soutiens qu'il ny a aucun cube en nombres qui puisse être divise en deux cubes rationaux.

( ' ) Horace, Sat. I, vi, 3.

(') Problèmo impossible. — Observation XI.V sur Diopluinle.

( 3) Foir Lellrc LXXXIV, 4 cl 8. — Observations II et IX sur Dioplianle.

XCl. - 7 AVRIL 1058. 377

Pour la seconde question, elle n'est pas d'une extrême ditriculté et, pour lui témoigner que je veux même la lui proposer en cas dos plus aisés en prenant un petit nombre, je me contente que lui ou Mylord Hrouncker divisent le nombre 9, qui est composé des deux cubes 8 et I, en deux autres cubes rationaux. S'il rejette cette proposition, qui n'est pas des plus dilTiciles, je n'oserai plus leur en proposer ni en entiers ni en fractions.

6. Pour son canon ad iinmiendos quadratos qui, ducli in datiim niuncrum non quadralum, adscila luiilatc, conficianl quadraluin, je ne sais pas [)()urquoi il doute que celle invention nous paroisse malaisée, puisqu'il n'est point d'algébriste novice qui ne trouve sa règle d'abord. Mais ma question en entiers est si fort au dessus de ces petites règles de irii'io, que iM. Frenicle l'a jugée digne de l'occuper, et c'est tout dire, il a si exactement répondu à tout le reste qui regarde les questions numériques que j'aurois tort d'ajouter (juelque chose du mien à ses réponses ( ' ).

1- Pour ce qui regarde les centres de gravité des hyperboles intinies et la ri'gle pour distinguer celles qui en ont de celles qui n'en ont pas ■< je répondrai ]> que je l'avois résolu pleinement et envoyé tant à Torricelli qu'aux géomètres de Paris dix ans avant l'impression du livre Aritlimelica infinilontm ('-). S'il ne m'en veut pas croire, les Hoberval <'l les Pascal, qui ont toutes mes propositions sur ce sujet depuis plusieurs années, b^ pourront désabuser.

8. La promesse qu'il l'ait sur la quadrature de l'hyperbole s'exécutera sans doute comme celle du cercle : la voie qu'il tient eu se servant tle certaines progressions, inter quorum lerminos uilerpolatwnern (fu(vrii , est de ces méthodes qui aboutissent à trouver une chose aussi ditlicile que celle (ju'ou a p(Uir but de chercher. Ohscurum autcrn

(') Disby avait tout d'abord comnmijiqiic à Frenicle la leUro de Wallis du '.i novembre 1GJ7 et Frenicle avait rédigé en réponse une épitre latine à Di,i;by, datée dn 3 lévrier i())S (Camin. cp.. 22).

(2) Jmr Lettre LXXXII, 2.

FtnuAT. — 11. 48

cxplicare pcr ohscuriiis, malœolechnia est, comme a très bien dit notre Viète (').

Mais pour lui faire voir que je ne manque pas de théorèmes effectifs ettri's beaux en la véritable hyperboTe d'Apollonius, voici un problème dont je puis donner la construction.

Soit {fig. 88) l'hyperbole d'Apollonius ABC, ses asymptotes 31N0; soient (irées les deux parallèles à NO, les droites MA, HH. Je propose la figure AMHB contenue sous l'hyperbole et sous les droites AM, MH, Hl$. Il la faut diviser < par > une parallèle aux bases comme Qll, en sorte (juc le s(>gment RQHB soit au restant AMQR en raison donnée.

Ce problème sera construit par moi bien plus tôt que M. Wallisius ne donnera la quadrature de l'hyperbole d'Apollonius.

Kn voilà de reste pour ce coup. Ce n'est pas pour faire un démêlé formel avec M. Wallisius, mais c'est seulement pour me justificM' à vous, consentant que vous ne lui envoyiez que ce qu'il vous plaira du contenu en celte lettre. J(^ ne réponds pas aux dernières réponses, parce (jue ce n'est pas moi qui lui avois fait les objections auxquelles il répond.

.le suis, Monsieur, Votre très humble et très obéissant serviteur,

Ff.«m.\t.

A Toulouse, le - avril i (;'')«.

(') VliiTiî, Ad Adnaiii Romani pvohlcina rcxpoiisnni, Ca|i. V. I.eydc, lO.jd, p. Jog. — Le mot outem w été ajouté |)ar Fermai.

— Édition Ëlzcvir