VI. 15 JUILLET IC3G. -i
6. Je n'ai pas cncort^ pu cxainiiUT les propositions (') de la Iriserlion (le l'angle, ni de l'invention dos deux moyennes proportionnelles. (!e seia au |)lus lot.
7- A la (|uestion numéri(|ue (^), je réponds qu'elle )'eeoi( intinies solnlions, et mènu' plusieurs manières difl'éronies de la résoudre. Voici la meilleure et la [>lus aisée (|iie j'ai imaginée :
Soient li'ouvés deux quarrés des(|uels la somme soit (juairée, cduime I) et iG; ce (|ue je n'enseigne |»as, pour être trop trivial. Soil chacun d'eux mulli|dié par un même nombnr composé de trois <|nari'és senlenu'ul, comme 1 1. (les deux [troduits seront 99 et 17G qui satisrer(ui( ii la (|in'stion. car chacun d'eux et leur somme sont eom|)osés de (rois (juarrés seulement (^ ).
Va ainsi, par la même voie, vous eu trouverez infinis, car, au lieu de 9 et i(j, vous pouvez prendre ttds autres deux quarrés (jue vous voudrez, (les(|uels la somme soit quarrée, et au lieu de 11, lid au(re nombre (|ue vous voudrez couiposé de trois quarrés seuiemen(.
Si vous |»rencz, au lieu île 1 1, un nombre composé de (jua(re quarro
i ' 1 On ne roUuin c plus Iraco, dans lu Correspondance de l'ermaL, do rus l)roposilion^. On pcnl croire (pi'il s'agit des eonslrnelions données par Dcscartes dans sa C,co/iiclnc (éd. llermann, p. 7">-70') pour les dcu\ célèbres problèmes de la Gc'oinélrie anti(ini!. Mersenne, à ipii elles avaieiiL été eoMiiniini([iiécs avant la publication, les imra eavoy('es ^'1 t'erinal sans démonsi ration et snns révéler le nom de leur anteiir.
(-) C'est 1.1 qiiatricMne des cinq (pn^stions nniiv/rirpics proposées par Sainte-Croix (André .Ininean, pri(Mir de) à Descartes en avril itJjS (»'«//■ Lellres (l(^ Dcscartes. éd. Clerselier, III, 74). tille était ainsi con(;ne (pour Deseartes ) :
Il Trouver deux nombres, eliaciin iles(piels. comme aussi la somme de leur agt;réj;al. ne eonstc que de trois tétragonos. J'ai donné 3, 11, 14. J'alteinls que (pielqn'un \ satisfasse par d'autres nombres ou qu'il montre cpio la chose est impossible. »
La première solution donnée par cet énoncé ne parait avoir été indiquée à l'"crniat ipic dans la réponse do .Mersenne à la Lettre V(. f'^oir Lettre X, i.
(') B ajoute en marge les ticcomposilions suivantes :
iG
sciileiiicnt, comme 7, cliaciin dos deux produils, ciisomhli' leur somme, seront composés de quatre quarrés seulement.
Oue si vous voulez non seulement deux noml)res, mais trois ou tel nombre que vous voudrez, desquels un chacun, ensemble la somme de tous, soient composés de trois ou de quatre quarrés seulement, il ne faudra que trouver autant de quarrés que vous voudrez de nombres, desquels la somme soit quarrée, et les multiplier, chacun d'eux ut supra.
J'ajou(erois la démonstralion, mais le temps ne me le permel pas. Va\ lon( cas, vous pourrez l'aire l'essai sur la consiruclion ((ue je vous
envoie.
8. l-ll vous (lirai (|ue j'ai trouvé de fort belles |)ropositions sur ce sujel, comme :
.SV, (le deux plans sernblahlcs ('), l'un est compose de trois <piarrés seulement, l'autre le sera aussi;
el plusieurs autres.
9. .le désirerois (|ue .M. de Koberval travaillai aux queslioiis ({iie je vous ai |)roposées (-).
10. .l'ai achevé tout le Trailé De loris planis ('), oii il y a trente ou ([uaranle propositions toutes tri's belles.
.le suis, mon Révérend Père, voire Iri's alTeelioiiné servileui',
Feumat.
A Toulouse, ce 1 j j(jillul lIJiij.
( ' ) Nojiibrcs (|iii sont cuire eux clans le rapport de deux earrés.
(2) /■(«'/■ la Lettre 1, 12.
(3) Fuir la Lettre 1, 10.
